x2<1的否定为x2≥1，
故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选D．
3．命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则（ C ）
A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真
B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假
C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真
D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假
[解析] 如：
当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，
该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；
若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．
4．已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中（ B ）
A．真命题个数一定是奇数
B．真命题个数一定是偶数
C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数
D．以上判断都不对
[解析] 因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B．
5．对于实数a、b、c，下列命题中是真命题的是（ B ）
A．若a>b，则ac>bc
B．若ac2>bc2，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2
D．若a>b，则
<
[解析] ∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b.
6．有下列四个命题：
（1）“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
（2）“对顶角相等”的逆命题；
（3）“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
（4）“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．
其中真命题的个数是（ B ）
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]
（1）“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．
（2）“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．
（3）原命题的否命题是“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．
（4）“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．
二、填空题
7．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是__逆命题：
若x＋y＝8，则x＝3，y＝5__；否命题是__否命题：
若x≠3或y≠5，则x＋y≠8__，逆否命题是__逆否命题：
x＋y≠8，则x≠3或y≠5__.
8．命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是__若a≤b，则2a≤2b__，为__真__（填“真”或“假”）命题.
[解析] 指数函数y＝2x在R上为增函数，所以其否命题为真．
三、解答题
9．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
（1）如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；
（2）如果x>10，那么x>0；
（3）当x＝2时，x2＋x－6＝0.
[解析]
（1）逆命题：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线；
否命题：
如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面；
逆否命题：
如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线．
（2）逆命题：
如果x>0，那么x>10；
否命题：
如果x≤10，那么x≤0；
逆否命题：
如果x≤0，那么x≤10.
（3）逆命题：
如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；
否命题：
如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；
逆否命题：
如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.
B级 素养提升
一、选择题
1．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是（ B ）
A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数
B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数
C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数
D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数
[解析] 命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s、p的逆命题为t，则s是t的（ C ）
A．逆否命题B．逆命题
C．否命题D．原命题
[解析] 解法一：
特例：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
p：
若∠A＝∠B，则a＝b，
r：
若∠A≠∠B，则a≠b，
s：
若a≠b，则∠A≠∠B，
t：
若a＝b，则∠A＝∠B．故s是t的否命题．
解法二：
如图可知，s与t互否．
3．命题：
“若a2＋b2＝0（a、b∈R），则a＝0且b＝0”的逆否命题是（ D ）
A．若a≠b≠0（a、b∈R），则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0（a、b∈R），则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0（a、b∈R），则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0（a、b∈R），则a2＋b2≠0
[解析] 命题中的条件及结论的否定分别是a2＋b2≠0，a≠0或b≠0（a、b∈R），所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0（a、b∈R），则a2＋b2≠0”．
4．（2016·山东济南高二检测）原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是（ C ）
A．原命题是真命题B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题
[解析] 原命题可改写为：
若一个四边形是圆内接四边形，则该四边形是等腰梯形，为假命题；逆命题为：
若一个四边形是等腰梯形，则该四边形是圆内接四边形，是真命题；原命题的否命题是真命题，逆否命题为假命题，故选C．
5．给出命题：
若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ）
A．3B．2
C．1D．0
[解析] 由题意，知原命题为真命题，则逆否命题为真命题．
逆命题为“若函数y＝f（x）的图象不过第四象限，则函数y＝f（x）是幂函数”．若f（x）＝3x2，假命题．则否命题也为假命题．
二、填空题
6．（2016·山东枣庄高二检测）有下列三个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
③“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中所有真命题的序号为__②__.
[解析] 命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的逆命题：
“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题①是假命题；命题②是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；命题③是假命题．
7．已知命题“若m－1[解析] 由已知得，若1∴
，∴1≤m≤2.
8．已知p（x）：
x2＋2x－m>0，若p
（1）是假命题，p
（2）是真命题，则实数m的取值范围为__[3,8）__.
[解析] 因为p
（1）是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p
（2）是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8）．
C级 能力提高
1．（2016·山东菏泽高二检测）设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假.
[解析] 逆命题：
已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．
如a＝
，b＝－
，a＋b＝0为有理数，故为假命题．
否命题：
已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．
由逆命题为假知，否命题为假．
逆否命题：
已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．
如a＝2，b＝
，则a＋b＝2＋
是无理数，故逆否命题为假．
2．（2016·山西太原高二检测）在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列.
（1）写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题；
（2）判断这个命题的逆命题何时为假，何时为真，并给出证明．
[解析]
（1）这个命题的逆命题是在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．
否命题是：
在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列，则am，am＋2，am＋1不成等差数列．
逆否命题是：
在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1不成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．
（2）设等比数列{an}的公比为q，则当q＝1时，这个命题的逆命题为假，证明如下：
易知am＝am＋2＝am＋1＝a1≠0，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm＋2－Sm＝2a1，Sm＋1－Sm＋2＝－a1，显然Sm＋2－Sm≠Sm＋1－Sm＋2.
当q≠1时，这个命题的逆命题为真，证明如下：
因为am＝a1qm－1，am＋2＝a1qm＋1，am＋1＝a1qm，
若am，am＋2，am＋1成等差数列，则a1qm－1＋a1qm＝2a1qm＋1，
即1＋q＝2q2，也就是1－q2＝q2－q，
又Sm＋2－Sm＝
－
＝
，
Sm＋1－Sm＋2＝
－
＝
＝
，
即Sm＋2－Sm＝Sm＋1－Sm＋2.
第一章1.21.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是（ A ）
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
[解析] 首先要分清“条件p”（此题中是选项A或B或C或D）和“结论q”（此题中是“x>2”），p是q的必要不充分条件，即p不能推出q且q⇒p，显然只有A满足．
2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是（ A ）
A．若
＝
，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则
＝
D．若x[解析] B项中，x2＝1⇒x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，
，
无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．
3．（2016·福建厦门高二检测）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为（ B ）
①若f（x）是周期函数，则f（x）＝sinx；
②若x>5，则x>2；
③若x2－9＝0，则x＝3.
A．0B．1
C．2D．3
[解析] ①中，周期函数还有很多，如y＝cosx，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题个数为1，故选B．
4．（2016·广西南宁高二检测）“x（2x－1）＝0”是“x＝0”的（ B ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 由x（2x－1）＝0，得x＝0或x＝
，故x（2x－1）
x＝0一定成立，而x＝0⇒x（2x－1）＝0成立，
∴“x（2x－1）＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
5．“a＝－2”是“直线l1：
（a＋1）x＋y－2＝0与直线l2：
ax＋（2a＋2）y＋1＝0互直垂直”的（ A ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 由l1⊥l2，得a（a＋1）＋2a＋2＝0，
解得a＝－1或a＝－2，故选A．
6．（2016·天津文）设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的（ C ）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．
二、填空题
7．已知p：
x＝3，q：
x2＝9，则p是q的__充分不必要__条件．（填：
充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）
[解析] x＝3⇒x2＝9，x2＝9
x＝3，
故p是q的充分不必要条件．
8．已知a、b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的__充要__条件.
[解析] a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，故填充要．
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？
（1）p：
x＝1； q：
x－1＝
；
（2）p：
－1≤x≤5； q：
x≥－1且x≤5；
（3）p：
三角形是等边三角形；
q：
三角形是等腰三角形．
[解析]
（1）充分不必要条件
当x＝1时，x－1＝
成立；
当x－1＝
时，x＝1或x＝2.
（2）充要条件
∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5.
（3）充分不必要条件
∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．
B级 素养提升
一、选择题
1．（2015·北京理）设α、β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的（ B ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由面面平行的判定定理可知，由m∥β
α∥β，故充分性不成立；而α∥β
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