中央电大土木工程本科工程数学形成性考核册答案解析.docx

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中央电大土木工程本科工程数学形成性考核册答案解析

工程数学作业

（一）答案（满分100分）

第2章矩阵

一）单项选择题（每小题2

分

，共20分）

a1

a2

a3

a1

a2

a3

1•设

b1

b2

b3

—

2，则

2a

1-旳

2a2-

3b2

2a3—3b3

=（D）

C1

C2

C3

C2

C3

A.4

B.

一

4

C.6

D

一6

0

0

0

1

0

0

a

0

2•若

0

2

0

0

=

1,则

a:

二（A）

•

1

0

0

a

1

1

A.—

B

-1

C.-

—

D.1

2

2

j

1

一

们「一10

31

3•乘积矩阵

1-

中兀素

C23—

（C

）•

2

4

[52

A.1

B

.7

C.10

D.8

4•设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）

11_1

A.A+B|=A+BB.（AB）」=|BA

C.（AB）」二A」B」D.（AB）」=A」B」

5•设A,B均为n阶方阵，k.0且k=1，则下列等式正确的是（D）

B.若A,B均为n阶对称矩阵，贝VAB也是对称矩阵

C.若A,B均为n阶非零矩阵，贝UAB也是非零矩阵

D.若A,B均为n阶非零矩阵，贝UAB式0

8•方阵A可逆的充分必要条件是（B）.

A.AHOB.A|^0C.A*式0D.A*>0

9•设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则（ACB）4二（D）•

A.（B）4A4C4B.BC’A'

C.A4C4（B4fD.（B'c*

•设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A）

A.（AB）2二A22ABB2B.（AB）B=BAB2

C.（2ABC）-=2CJBJAJD.（2ABC）=2CBA

CI.

（二）填空题（每小题2分，共20分）

2

-1

0

1.

1

-4

0

=7.

0

0

-1

-1

1

1

2.

1

-1

x

是关于X的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是

2

1

1

-1

3•若A为34矩阵,

B为25矩阵，切乘积ACB•有意义，贝V

卫一3

_A1O]

-4

耐O1

A?

一

7。

心

10•设几,A2是两个可逆矩阵，则

（三）解答题（每小题8分，共48分）

■-1们

_43

_121

1•设A=

[-35j

（AB）C.

54

_3-1

，求⑴AB:

⑵AC:

⑶2A3C:

⑷A5B•，⑸AB;（6）

答案：

A+B=f3]

J8J

26

12

A5B

22

0

A60AT

6

4

7

12

"1716]

2A3C=

_37

5621

J5180

（AB）C=

2•设A二T2

L0-1

‘B=i10

21

C=

■-1

|3

：

0

-2

41

，求ACBC•

0解:

ACBC=（AB）C=

-2

41

1

‘2

-410

210

■3

3•已知A=—1

01

1

■1

B=—1

一2

21

1

求满足方程

3A—2X=B中的X•

解：

；3A-2X

1

0

2

0

-1

4

3

6

0

2

-53

3

1

1

0

a41,a42的代数余子式，并求其值.

020

1

2

0

a41=（—1）4十436=0a42=（—1）4七

-1

3

6

=45

2—53

0

-5

3

4.写出4阶行列式

中元素

答案：

5•用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:

_1

2〕

-2

解:

-2

01

0

]=

2

1

-2

2

-2

1

-2

2

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

2

-6

-3

1

_3

2

3

2

9

"22

-6

-26

17

—17

5

20

—13

_1

0

2

-1

.4

-1

-5

3

（过程略）

（2）A4

1

-2

-2

1

9

2

9

2

9

0

-3

0

一2

-6

9

1

3

-2

2

2

3

1

-2

2

9

1

9

2

_9

2

9

2

9

1

一

9

1-92-

2-91-

A4

_1

-1

92-9_

-2-9

9

2-9291-9

0

.0

-1

1011011

1101100

6.求矩阵的秩.

1012101

（四）证明题（每小题4分，共12分）

7•对任意方阵A，试证AA•是对称矩阵.

证明：

（AA'）'二A'（A'）'二A'A=AA'

，"”A+A"是对称矩阵

8•若A是n阶方阵，且AA'=I，试证A=1或-1.

证明：

；A是n阶方阵，且AA=\

2

|aa|=a|a"=a=1=1

|A=1或A=-1

9•若A是正交矩阵，试证A•也是正交矩阵.

证明：

幕A是正交矩阵

.A1二A

（A），=（A」）‘二A=（A）

即A•是正交矩阵

工程数学作业（第二次）（满分100分）

第3章线性方程组

%+2x2—4x3=1

_xj

1X2+X3

=0的解

X2

L._X3

=2

-

X3一

（一）单项选择题（每小题2分，共16分）

1•用消元法得

为（C）.

B.[-7,2,-2]

D.[-11,-2,-2]

=2

2•线性方程组*X1

=6（B）.

A.有无穷多解

-X3

-3x2'3x3

B.有唯一解C.无解D.只有零解

=4

-

11

[

■01

[

11

[

11

4•设向量组为切=

1

Ct2=

0

°3=

0

Ct4=

1

，则（B

0

1

1

1

-

0_

1

1_

L

0_

1

1_

D.5

）是极大无关组.

A.:

■1,:

■2

B.：

1,：

2,〉3

C.4,：

•2,「4

D.:

-4

5.A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（

A.秩（A）二秩（A）B.秩（A）：

：

：

秩（A）

C.秩（A）•秩（A）D.秩（A）二秩（A）-1

6•若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）

A.可能无解B.有唯一解C.有无穷多解D.无解

7•以下结论正确的是（D）

A.方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解

B.方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解

C.方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解

D.齐次线性方程组一定有解

8.若向量组宀，：

・2,…，线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出.

A.至少有一个向量

B.没有一个向量

C.至多有一个向量

9.设A,B%n阶矩阵，

A.，是AB的特征值

C.，是A—B的特征值

D.任何一个向量

■既是A又是B的特征值，x既是A又是B的属于■的特征向量，则结论（）成立.

B.，是A+B的特征值

D.x是A+B的属于■的特征向量

10.设A,B,P为n阶矩阵，若等式（C）成立，则称A和E相似.

A.AB=BAB.（AB）=ABC.PAPD.PAP：

=B

（二）填空题（每小题2分，共16分）

1Xix?

=01•当■二1时，齐次线性方程组12有非零解.

Ix1x^0

2•向量组1-0,0,02=1,1,11线性相关.

3•向量组1,2,31,1.1,2,01,1,0,01,0,0,01的秩是3.

4•设齐次线性方程组C（1X1+5X2+5X3=0的系数行列式妝10（203=0，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量〉1,〉2,〉3是线性相关的.

5•向量组=〔1,01,〉2=•0,11〉3「0,01的极大线性无关组是冷，〉2.

6•向量组：

',〉2,…，〉s的秩与矩阵L\,「2,…，〉s1的秩相同.

7•设线性方程组AX=0中有5个未知量，且秩（A）=3，则其基础解系中线性无关的解向量有2个.

8•设线性方程组AX=b有解，X0是它的一个特解，且AX=0的基础解系为X1,X2，则AX=b的通解为

X0k1X1k2X2.

9.若■是A的特征值，则’是方程，1—A=0

的根.

10.若矩阵A满足AJ^A

，则称A为正交矩阵.

11分）

（三）解答题（第1小题9分，其余每小题

1•用消元法解线性方程组

'X1

—3x2

-2x3

—X4

=6

3x1

J

—8x2

+X3

+5x4

=0

-2x1

+x2

-4x3

+x4

=-12

.一X1

+4x2

—X3

—3x4

=2

解:

■1

-2

-1

61

⑶1曲

1-3

-2

-1

61

■1

0

19

23

_48「

3

-8

1

5

0

2r1七

LrJr^__.

01

7

8

—18

5r2十3

|0

1

7

8

—18

-2

1

-4

1

-12

0-5

-8

-1

0

0

0

27

39

-90

4

-1

2一

I

01

-3

-4

8一

0

0

-10

-12

26一

A工

2•设有线性方程组

1九1

y

=

J1―

1i

n2A

1[「x]

_11

1

其中

当，1且，_2时，R（A）=R（A）=3，方程组有唯一解当’=1时，R（A）二R（A）=1，方程组有无穷多解

-8

-3

-5

0

-6

3

-10.

解：

向量：

能否由向量组冷,〉2,〉3线性表出，当且仅当方程组

这里瓦-匕1，:

：

3:

1=

-2

_-2

3

-5

-8'

■1

0

3

7

7

-5

-6

-3

>>

0

1

-3

41

1

0

3

7

0

0

10

-117

L3

-2

1

-10

0

0

0

571

〉1Xi卜工2X2叱3X3=:

有解

R（A）=R（A）

.方程组无解

二B不能由向量s%线性表出

4•计算下列向量组的秩，并且

（1）判断该向量组是否线性相关

「11「3]--11

-1

I2

3

'.4

-7

-3

9

8

d3=

0

m4=

6

9

-3

3

」3一

1

-3

1

6

:

2

解：

、1,為

■1

3

-1

们

■1

3

-1

1_

-1

-7

-3

9

0

1

1

2

2

8

0

6

0

0

0

18

3

9

-3

3

0

0

0

0

L4

13

-3

6

0

0

0

0

•该向量组线性相关

5.求齐次线性方程组

X1

—3x2

+X3—2X4=0

-5x1

认

_2x3+3x4=0

"1

-X1

—11X2

+2x3_5x4=0

”3x1

+5x2

+4x4=0

的一个基础解系.

解:

-3

-14

-14

14

1

0

1

0

1

0

1

2

1

1

1「2

14r

_5_

14

1-220

T—

5

rl

-

A

5

3

14

0

0

1ooo_

_5_

14

3

14

0

0

1

2

1

2

1

0

"I3丄

5

1_

〒才2十1

1

0

14

2

f+4

0

-14

3

—7

l

0

0

0

0

j

0

0

0

3一

-2

1

0

0

10

_5_

14

3

14

0

0

5

Xi=—X3

14

3

二方程组的一般解为祕2=—X3

14

X4=0

-2

14

3

令X3=1，得基础解系匕=~

14

0

.1

6•求下列线性方程组的全部解.

x〔—5x?

+2x§

-3x4

=11

-3x1■'x2-4X3

2x4

--5

_x〔-9X2

-4X4

=17

5x13x26X3

-X4

--1

解:

-7

1,彳

r

r

——

9

+-k2+1

2

II

_9

2

-

x2

1

1

1

1

-2

=

zk1

-二k2-2

=k1

+k2

+

X3

7

2

7

2

0

k1

1

0

X4一

0

[

k2一

1

0_

1

1_

令X3=佥,X4=k2，这里k1,

k2为任意常数，得方程组通解

7.试证：

任一4维向量

:

=a1,a2,a3,a41都可由向量组

:

'1

_1

■1

：

'2

：

'3=

：

'4

线性表示，

和

_01

0

01

0

1

0

0

O（2—W=

口3-口2=

口4—5=

0

0

1

0

11

0一

1l

0_

11

1_

卫

写出这种表示方式.

且表示方式唯一，

证明：

二1

任一4维向量可唯一表示为

•a2（二2「二1）•a3（二3-「2）•a4（_：

i4-「3）

8•试证：

线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：

相应的齐次线性方程组只有零解.

证明：

设AX=B为含n个未知量的线性方程组

该方程组有解，即R（A）二R（A）二n

从而AX=：

B有唯一解当且仅当R（A）=n

而相应齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是R（A）二n

.AX-B有唯一解的充分必要条件是：

相应的齐次线性方程组AX=O只有零解

1

9•设'是可逆矩阵A的特征值，且■-0，试证：

一是矩阵AJ的特征值.

证明：

幕，是可逆矩阵A的特征值

.存在向量■，使A=■

IE=（A」A）三=A」（A=）=A」（敢）=XA」E=£

.A「丄

k

即-是矩阵A，的特征值

Z

10.用配方法将二次型fxfxfx22x1x2-2x2x4-2x2x32x3x4化为标准型.

解：

f=（x-!

x2）2xfx2—2x2x4-2血禺2x3x^=（x,x2）2xf2禺（一血％）£-2x2x4

=（x1x2）2（x3—X2X4）2-x；

令yiX2,y2=X3-X2X4,y3=X2,X4=『4

乂=y-—『3

x2=y3

即273

X3*2y3-y4

X47

则将二次型化为标准型f=y-2y2-yf

工程数学作业（第三次）（满分100分）

第4章随机事件与概率

B.AB7

C.AB一一且AB=U

D.A与B互为对立事件

3.10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D）

3222

A.Cio070.3B.03C.0.70.3D.30.70.3

4.对于事件A,B，命题（C）是正确的.

A.如果A,B互不相容，则A,B互不相容

B.如果AB，则AB

C.如果A,B对立，则A,B对立

D.如果A,B相容，则A,B相容

5•某随机试验的成功率为p（0：

：

：

p：

：

：

1）,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D）

A.（1—p）3B.1-p3C.3（1—p）D.（1—p）3p（1—p）2p2（1—p）

6.设随机变量X~B（n,p），且E（X）=48,D（X）=0.96，则参数n与p分别是（A）

1.从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为

2.

0.3

已知P（A）=0.3,P（B）=05，则当事件A,B互不相容时，P（AB）二0.8,P（AB）二

3.A,B为两个事件，且BA，则P（A•B）二PA.

4.已知P（AB）=P（AB）,P（A）=p，贝yP（B）=1-P.

5.若事件A,B相互独立，且P（A）二p,P（B）二q，贝UP（AB）二pq-pq.

6.

0.3

已知P（A）=0.3,P（B）=05，则当事件A,B相互独立时，P（AB）工0.65,P（AB）

0XEO

7.设随机变量X~U（0,1），则X的分布函数F（x）=』xOcx<1.

1x

8.若X~B（20,0.3），则E（X）二.

9.若X~N（\匚2），则P（X_」乞3；「）=2：

.：

」（3）•

10.E[（X-E（X））（Y-E（Y））]称为二维随机变量（X,Y）的协方差

（三）解答题

1.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算分别表示下列事件：

⑴A,B,C中至少有一个发生；

⑵A,B,C中只有一个发生；

⑶A,B,C中至多有一个发生；

⑷A,B,C中至少有两个发生；

⑸A,B,C中不多于两个发生；

⑹A,B,C中只有C发生.

解:

（1）ABC

（2）ABCABCABC（3）ABCABCABCABC

⑷ABACBC（5）ABC（6）ABC

2.袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率:

⑴2球恰好同色；

⑵2球中至少有1红球.

B=“2球中至少有1红球”

2C；C；C；639

P（B）3勺3

5c2

3.加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是解：

设A二“第i道工序出正品”（i=1,2）

P（AA2）=P（AJP（A2|A1）=（1-0.02）（1-0.03）=0.9506

4.市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占

90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率.

解：

设A1兰产品由甲厂生产"A2="产品由乙厂生产B兰产品合格"

P（B）二P（A）P（B|AJP（A2）P（B|A2）P（Ao）P（B|Aa）

0.50.90.30.850.20.80=0.865

5.某射手连续向一目标射击，直到命中为止.已知他每发命中的概率是解：

P（X=1）=P

P（X=2）=（1—P）P

P（X=3）=（1—P）2P

I!

2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工

3%，求加工出来的零件是正品的概率.

30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为

A3="产品由丙厂生产"

p，求所需设计次数X的概率分布.

P（X=k）=（1_戸）7

故X的概率分布是

k

（1-P）k」P

123

]2

P（1-P）P（1-P）P

6.设随机变量X的概率分布为

0123456

匕0150.20.30120.10.03一

试求P（X空4）,P（2乞X乞5）,P（X-3）•

解：

P（X乞4）=P（X=0）P（X=1）-P（X=2）P（X=3）P（X=4）=0.10.150.20.3-0.12=0.87

P（2EX乞5）=P（X=2）P（X=3）P（X=4）P（X=5）=0.20.30.12•0.1=0.72P（X-3）=1_P（X=3）=1—0.3=0.7

7.设随机变量X具有概率密度

心*1

[0,其它

11

试求P（X）,P（X：

：

2）.

24

1

22xdx

1

1-解：

P（X）2f（x）dx二

9.设X~N（1,0.62），计算⑴P（0.2：

：

X:

:

18）；⑵P（X0）.

解：

X_1

P（0.2X：

：

1.8）=P（—1.331.33i：

"33）—「（T.33）=2：

fl.33T=20.9082—1=0.8164

0.2

P（X0^P