八年级上数学拔高练习.docx
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八年级上数学拔高练习
八年级数学上册拔高练习（解答题篇）
1．如图，AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A，E为MN上一点，△ABC周长记为R，△EBC周长记为S．求证：
R＞S。
2．如图，已知四边形ABCD，∠C=72°，∠D=81°．沿EF折叠四边形，使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处，求∠1+∠2的大小。
3．已知一个多边形的内角和与外角和之比为9：
2，求它的边数。
4．如图AD是△ABC的角平分线，∠BAD=∠ADE，∠BDE=76°，求∠C的度数。
5．已知：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°点D是AB的中点，延长BC到点F，延长CB到点E，使CF=BE，连接DE、DC、DF．求证：
DE=DF。
6．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：
DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：
ME=BD。
7．如图，四边形ABCD中，BD＞AC，∠ACB=∠DBC，∠BAC+∠BDC=180°，E为BD上一点，BE=AC，判断△EDC的形状，并证明你的结论。
8．已知：
如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．
9．
（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长。
（2）已知x2﹣4x+1=0，求
﹣
的值。
10．如图：
在△ABC，AB=AC，AD=DE=EF=BF=BC，求△ABC各内角的度数。
11．如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上（D不在BC中点），DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BG⊥AC于G，求证：
DE+DF=BG．
12．如图，△ABC是正三角形，将各边三等分，设分点分别为D、E、F、G、H、I．求证：
六边形DEFGHI是正六边形．
13．如图：
△ABC是等边三角形，O是∠B、∠C两角平分线的交点，EO⊥BO，FO⊥CO．求证：
△AEF的周长等于BC的长．
参考答案与试题解析
一．解答题（共25小题）
1．如图，AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A，E为MN上一点，△ABC周长记为R，△EBC周长记为S．求证：
R＞S．
考点：
三角形三边关系；轴对称的性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
延长BA，取点F使AF=AC，连接EF，构造三角形全等，再利用三角形三边关系找到BC、BE、CE和BC、AB、AC之间的关系即可找到结论．
解答：
证明：
延长BA到F，使AF=AC，连接EF，
∠FAE=∠NAB=90°﹣∠BAD=90°﹣∠CAD=∠CAE，
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴CE=EF，
∵BE，EF，BF为△BEF三边，
∴BE+EF＞BF，
∴BE+CE＞AB+AF，
∴BE+CE＞AB+AC，
∴BC+BE+CE＞BC+AB+AC，
即R＞S．
点评：
本题主要考查三角形全等的判定和性质及三角形的三边关系，构造三角形全等找到边之间的关系是解题的关键．
2．如图，已知四边形ABCD，∠C=72°，∠D=81°．沿EF折叠四边形，使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处，求∠1+∠2的大小．
考点：
多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
分析：
根据四边形的内角和为180°，有∠1+∠2+∠FEA1+∠EFB1+∠D+∠C=360°，又，∠C=72°，∠D=81°，则∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=207°；又∠AEF+∠BFE+∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=360°，∠FEA1+∠EFB1=∠AEF+∠BFE，即可求出答案．
解答：
解：
由题意得：
∠1+∠2+∠FEA1+∠EFB1+∠D+∠C=360°，
又∠C=72°，∠D=81°，
则∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=207°；
又∠AEF+∠BFE+∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=360°，
又四边形A1B1FE是四边形ABEF翻转得到的，
∴∠FEA1+∠EFB1=∠AEF+∠BFE，
∴∠FEA1+∠EFB1=153°，
∴∠1+∠2=54°．
点评：
本题考查了翻转变换及多边形的内角和的知识，有一定难度，找准各个角的关系是关键．
3．已知一个多边形的内角和与外角和之比为9：
2，求它的边数．
考点：
多边形内角与外角．菁优网版权所有
分析：
根据多边形的内角和与外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可．
解答：
解：
设该多边形的边数为n
则（n﹣2）×180°：
360=9：
2，
解得：
n=11．
故它的边数为11．
点评：
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是牢记多边形的内角和公式与外角和定理．
4．如图AD是△ABC的角平分线，∠BAD=∠ADE，∠BDE=76°，求∠C的度数．
考点：
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形的外角性质．菁优网版权所有
分析：
根据三角形外角定理和角平分线的定义求得同位角∠BAC=∠BED；然后由平行线的判定定理推知DE∥AC；最后根据两直线平行，同位角相等可以求得∠BDE=∠C=76°．
解答：
解：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAC=2∠BAD；
又∵∠BED=∠BAD+∠ADE（外角定理），∠BAD=∠ADE（已知），
∴∠BED=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BED（等量代换），
∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠BDE=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴∠C=76°．
点评：
本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质．三角形外角定理：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
5．（2012•重庆模拟）已知：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°点D是AB的中点，延长BC到点F，延长CB到点E，使CF=BE，连接DE、DC、DF．
求证：
DE=DF．
考点：
全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题；压轴题．
分析：
欲证DE=DF，可利用三角形全等来证，经过观察我们不难发现要证的两条线段分别放在三角形DCE和三角形DBF中，首先我们根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出一对边CD与BD的相等，再根据等边对等角得一对对应角的相等，最后根据题中已知的CF=BE，都加上中间的公共部分BC可得CE和BF这对对应边的相等，利用SAS证得到三角形的全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．
解答：
证明：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=BD，
∴∠DCE=∠DBF，
∵CF=BE，
∴CF+BC=BE+BC，即CE=BF，
在△DCE和△DBF，
，
∴△DCE≌△DBF（SAS），
∴DE=DF．
点评：
熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等角对等边这一性质的运用．全等三角形的判定与性质是我们初中数学的重点，是中考必考的题型．
7．（2011•日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：
DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：
ME=BD．
考点：
全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠CDE=60°即可．
（2）连接MC，可得△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC．再证明△ADC≌△EMC即可．
解答：
证明：
（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∠ABD=∠ABC﹣15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC．
（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．
点评：
此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．
9．（2011•郑州模拟）如图，四边形ABCD中，BD＞AC，∠ACB=∠DBC，∠BAC+∠BDC=180°，E为BD上一点，BE=AC，判断△EDC的形状，并证明你的结论．
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
根据全等三角形的判定定理SAS证明△ABC≌△ECB，又有全等三角形的对应角相等知，∠BAC=∠CEB；然后由平角是180°∠CEB+∠DEC=180°、已知条件∠BAC+∠BDC=180°，依据等量代换求得△EDC的两个底角∠DEC=∠BDC，即可判定CE=CD，所以△EDC是等腰三角形．
解答：
解：
△EDC是等腰三角形；
证明如下：
在△ABC和△ECB中，
∴△ABC≌△ECB（SAS）．
∴∠BAC=∠CEB．
又∵∠BAC+∠BDC=180°，∠CEB+∠DEC=180°，
∴∠DEC=∠BDC．
∴CE=CD．即△EDC是等腰三角形．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定．解题时，借助于平角是180°的知识，利用等量代换求得△EDC的两个底角∠DEC=∠BDC，所以由等角对等边即可判定CE=CD．
10．（2014•红塔区模拟）已知：
如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．
考点：
轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换．菁优网版权所有
专题：
作图题．
分析：
（1）根据轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点A′、B′、C′，分别连接各点即可；
（2）先找出C先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，则点p即为所求点．
解答：
解：
（1）
分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：
A′（﹣1，2），B′（﹣3，1），C′（﹣4，3）
（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，
（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，﹣2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．
点评：
本题考查的是最短路线问题及轴对称的性质，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．
11．（2014•菏泽）
（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．
（2）已知x2﹣4x+1=0，求
﹣
的值．
考点：
等腰三角形的判定与性质；分式的化简求值；平行线的性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
分析：
（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
（2）化简以后，用整体思想代入即可得到答案．
解答：
解：
（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE=BE，
∵AB=5，
∴DE=BE=AE=
=2.5．
（2）原式=
=
∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，
原式=
点评：
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．学会用整体思想解答有关问题是我们学习的关键．
12．如图：
在△ABC，AB=AC，AD=DE=EF=BF=BC，求△ABC各内角的度数．
考点：
等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
解答：
解：
设∠A=x．
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=x，
∴∠CDE=2x，
∵DE=EF，
∴∠EFD=∠EDF=2x；
∴∠BEF=3x，
∵EF=BF，
∴∠FBE=∠BEF=3x；
∴∠BFC=4x，
∵BF=BC，
∴∠BFC=∠BCA=4x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA=4x，
∵x+4x+4x=180°，
∴x=20°，
故∠A=20°，∠ABC=∠ACB=80°．
点评：
本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．
13．如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上（D不在BC中点），DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BG⊥AC于G，求证：
DE+DF=BG．
考点：
等腰三角形的性质；三角形的面积．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG．
解答：
证明：
连结AD．
则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，
AB•DE+
AC•DF=
AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BG．
点评：
考查了三角形的面积和等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形面积的两种不同表示方法求解．
14．如图，△ABC是正三角形，将各边三等分，设分点分别为D、E、F、G、H、I．求证：
六边形DEFGHI是正六边形．
考点：
等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
由条件可证明△ADI、△BEF、△CGH均为正三角形，可得到六边形DEFGHI的六个边都相等，再利用等边三角形的角都为60°，可证明六边形DEFGHI的六个内角也都相等，可得结论．
解答：
证明：
∵△ABC为正三角形，
∴∠A=60°，AB=AC，
∵D、I三等分AB和AI，
∴AD=AI，
∴△ADI为正三角形，
同理可得△BEF、△CGH均为正三角形，
∴DE=EF=FG=GH=HI=ID，
且∠ADI=∠AID=∠BEF=∠BFE=∠CGH=∠CHG=60°，
∴∠EDI=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHI=∠HID=120°，
∴六边形DEFGHI是正六边形．
点评：
本题主要考查正三角形的性质和判定，掌握证明六边形的所有的边都相等，所有的内角都相等是解题的关键．
25．如图：
△ABC是等边三角形，O是∠B、∠C两角平分线的交点，EO⊥BO，FO⊥CO．求证：
△AEF的周长等于BC的长．
考点：
等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
根据等边三角形性质求出∠EBO和∠FCO都等于30°，设OE=a，求出BE、CF，求出等边三角形EOF，求出EF，求出等边三角形AEF，求出即可．
解答：
证明：
设OE=a，因为△ABC是等边三角形，且OB，OC平分∠ABC、∠ACB，所以BE=CF=2a，
由勾股定理得：
OB=
a，又因为EO⊥BO，FO⊥CO，所以∠EOF=60°，
所以△EOF为等边三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴三角形AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF=a，所以EF=OE=a，BC=3a，AE+AF+EF=AB﹣BE+AC﹣CF+EF=3a﹣2a+3a﹣2a+a=3a=BC．
即△AEF的周长等于BC的长．
点评：
本题主要考查对等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形，够多了等知识点的理解和掌握，能求出等边三角形AEF、EOF是解此题的关键．
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