第11章 三角形学案.docx

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第11章三角形学案

第十一章三角形导纲

第1课时三角形的边

一、学习目标：

1．认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类．

2．知道三角形三边不等的关系．

3．懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题

二、重点与难点：

重点:

知道三角形三边不等关系．难点:

判断三条线段能否构成一个三角形的方法．

三、前置铺垫：

回忆你所学过或知道的三角形的有关知识。

四、探究新知：

知识点一：

三角形概念及分类

1、学生自学课本63-64页探究之前内容，并完成下列问题：

（1）三角形概念：

由不在同一直线上的三条线段___________________所成的图形叫做三角形。

如图，线段____、______、______是三角形的边；点A、B、C是三角形的______;_____、______、_______是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

图中三角形记作__________。

（2）三角形按角分类可分为_____________、______________、_________________。

（3）三角形按边分类可分为_____________

三角形_____________

———————_____________

（4）如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC,腰是__________，

底是_________,顶角指_______，底角指_____________.

等边三角形DEF是特殊的_______三角形，DE=____=_____.

对应练习一：

图1

1、如图2．下列图形中是三角形的有_______________？

图2

2、图3中有几个三角形？

用符号表示这些三角形．

知识点二：

知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形

1、探究：

请同学们画一个△ABC，分别量出AB，BC，AC的长，并比较下列各式的大小：

AB+BC_____ACAB+AC_____BCAC+BC_____AB

从中你可以得出结论：

__________________________________________。

2、对应练习二：

（1）下列长度的三条线段能否组成三角形？

为什么？

（1）3，4，8；

（2）5，6，11；（3）5，6，10

（2）有四根木条，长度分别是12cm、10cm、8cm、4cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是_______个。

（3）如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（）

A、1B、9C、3D、10

3、阅读课本64页例题，仿照例题解法完成下面这个问题：

仿例：

一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长。

五、达标练习：

1、课本69页1、2题

2、一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（）

A、7B、9C、12D、9或12

3、若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：

4：

5，则三边长分别为___________.

4、（选做）若△ABC的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是___________.

5、（选做）已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3，5，x为边能组成______个三角形。

六、课堂小结：

本节课你学到了那些知识？

七、作业习题7．1第7题

第2课时三角形的高，中线，与角平分线

一、学习目标：

1.认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题；

2.认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题；

3.认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题；

二、重点与难点：

重点:

认识三角形的高线、中线与角平分线，并会画出图形

难点:

画出三角形的高线、中线与角平分线．

三、前置铺垫：

1、三角形按边分可分为什么？

按角分可分为什么？

2、下列长度的三个线段能否组成三角形？

（1）3，6，8

（2）1，2，3（3）6，8，2

四、新知探究：

知识点一：

认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题

自学课本65页三角形的高并完成下列各题：

1、作出下列三角形三边上的高：

2、上面第1图中，AD是△ABC的边BC上的高，则∠ADC=∠=°

3、由作图可得出如下结论：

（1）三角形的三条高线所在的直线相交于点；

（2）锐角三角形的三条高相交三角形的；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交三角形的；（4）直角三角形的三条高相交三角形的；（5）交点我们叫做三角形的垂心。

4、对应练习：

如图所示，画△ABC的一边上的高，下列画法正确的是（）．

知识点二：

认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题

自学课本65页三角形的中线并完成下列各题：

1、作出下列三角形三边上的中线

2、AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD==

，

3、由作图可得出如下结论：

（1）三角形的三条中线相交于点；

（2）锐角三角形的三条中线相交三角形的；（3）钝角三角形的三条中线相交三角形的；（4）直角三角形的三条中线相交三角形的；（5）交点我们叫做三角形的重心。

4、对应练习：

如图，D、E是边AC的三等分点，图中有个三角形，BD是三角形中边上的中线，BE是三角形中边上的中线；

知识点三：

认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题

自学课本66页三角形的角平分线并完成下列各题：

1、作出下列三角形三角的角平分线：

2、AD是△ABC的∠BAC的角平分线，则∠BAD=∠=

3、由作图可得出如下结论：

（1）三角形的三条角平分线相交于点；

（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的；（5）交点我们叫做三角形的内心。

4、对应练习：

如图，已知∠1=

∠BAC，∠2=∠3，则∠BAC的平分线为，∠ABC的平分线为.

总结：

三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。

五、达标练习：

1．课本69页第4题。

1．三角形的角平分线是（）．

A．直线B．射线C．线段D．以上都不对

2．下列说法：

①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

3.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，写出图中所有相等的角和相等的线段。

5．（选做）在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长

分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长．

6.（选做）课本70页第8题

六、课堂小结：

本节课你学到了那些知识？

七、课后作业：

1．如图所示，已知△ABC：

（1）过A画出中线AD；

（2）画出角平分线CE；（3）作AC边上的高．

2．课本70页第9题

板书设计

第3课时三角形的稳定性

一、学习目标：

1．认识三角形的稳定性，并会用其解决一些实际问题；

2、通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段。

二、重点与难点：

重点：

三角形的稳定性难点：

三角形的稳定性的理解

三、探究新知：

知识点一：

三角形的稳定性

自学课本67-68页内容，回答下列问题：

1、通过观察，你发现生活中哪些物体的结构是三角形？

2、

（1）如图1

（1），将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

（2）如图1

（2），将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

由此我们可以验证哪些结论？

3、用什么方法能使这个不稳定的四边形变得稳定呢？

4、如图1

（2），在四边形木架上再钉一木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，这对木架的形状还会改变吗？

5、如图4所示，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

6、想一想：

在实际生活中还有哪些地方利用了“三角形的稳定性”来为我们服务？

“四边形易变形”是优点还是缺点？

生活中又有哪些应用？

对应练习

1.如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条，这样做的数学道理是；

2.⑴下列图中哪些具有稳定性？

。

⑵对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性。

4、造房子的屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了______________，而活动接架则应用了四边形的_______________。

知识点二：

通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段

1．如图：

（1）在△ABC中，BC边上的高是________

（2）在△AEC中，AE边上的高是________

（3）在△FEC中，EC边上的高是_________

（4）若AB=CD=2cm,AE=3cm,则＝_______,CE=_______。

2.以下列各组线段长为边,能组成三角形的是（）

A.1cm,2cm,4cm;B.8cm,6cm,4cmC.12cm,5cm,6cm;D.2cm,3cm,6cm

3.已知等腰三角形的两边长分别为6cm和3cm,则该等腰三角形的周长是（）

A.9cmB.12cmC.12cm或15cmD.15cm

4.如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取

一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离

不可能是（）

A.20米B.15米C.10米D.5米

5、如图，点D是BC边上的中点，如果AB=3厘米，AC=4厘米，

则△ABD和△ACD的周长之差为________，面积之差为__________。

四、课堂小结：

本节课你学到了那些知识？

五、课外作业

课本70页第8题

板书设计

第4课时与三角形有关的线段练习

一、学习目标：

通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段。

二、重点与难点：

重点：

巩固三角形的边和相关线段；难点：

三角形三边不等关系的运用

三、知识点复习

1、什么叫做三角形？

2、三角形按边可分为什么？

按角可分为什么？

3、三角形三边不等关系是什么？

4、三角形的高、中线、角平分线各有什么特征？

5、三角形具有_______性，四边形具有_________性。

四、达标检测：

1.如图1，图中所有三角形的个数为，在△ABE中，AE所对的角是，∠ABC所对的边是，在△ADE中，AD是∠的对边，在△ADC中，AD是∠的对边；

2.如图2，已知∠1=

∠BAC，∠2=∠3，则∠BAC的平分线为，∠ABC的平分线为；

3.如图3，D、E是边AC的三等分点，图中有个三角形，BD是三角形中边上的中线，BE是三角形中边上的中线；

图1图2图3

4.若等腰三角形的两边长分别为7和8，则其周长为；若两边长分别为4和8，则其周长为_____.

5.如右图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示

那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB、CD），

这样做的数学道理是；

6.一个三角形的三边之比为2∶3∶4，周长为36cm，则此三角形三边的长分别为_____________.

7.已知△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=10cm，AC=6cm，则△ABD与△ACD的周长之差为________.

7．如右图，图中共有三角形（）

A、4个B、5个C、6个D、8个

8.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）

A、3cm，5cm，8cmB、8cm，8cm，18cm

C、0.1cm，0.1cm，0.1cmD、3cm，40cm，8cm

9.如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（）

A、1∶2∶4B、1∶3∶4C、3∶4∶7D、2∶3∶4

10.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（）

A、5B、6C、7D、8

11.如图，分别画出三角形过顶点A的中线、角平分线和高。

12.已知：

△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：

△ABC的各边的长。

13.⑴已知等腰三角形的一边等于8cm，另一边等于6cm，求此三角形的周长；

⑵已知等腰三角形的一边等于5cm，另一边等于2cm，求此三角形的周长。

14.在△ABC中AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长。

15.【探究】如图，在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则有BD==

，若过A点作BC边上的高AE，利用三角形的面积公式可求得S△ABD==

S△ABC，

请你任意画一个三角形，将这个三角形的面积四等分。

第5课时三角形的内角

一、教学目标

1.经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理

2.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题

二、重点与难点：

重点：

三角形内角和定理

难点：

三角形内角和定理的推理的过程

三、课前准备

每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形

四、探究新知

（一）知识点一：

探究三角形的内角和定理

1、自学课本72-73页内容，利用手中的硬纸片运用拼合法探究三角形的内角和。

（1）在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码

（2）叫几名同学到黑板运用不同的方法粘贴演示。

（3）由拼合过程你能想出证明三角形内角和等于180°的方法吗？

2、证明三角形的内角和定理

（1）阅读课本73页证明过程。

（2）仿照课本证明过程选择下面的任意一个图形中辅助线的做法，完成证明。

图一图二

3、归纳：

（1）三角形的内角和等于180°。

（2）证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程。

（二）知识点二：

应用三角形内角和定理解决简单的实际问题

1、填空：

（1）在△ABC中，∠A=60°∠B=30°，则∠C=；

（2）三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为；

（3）在△ABC中，∠A=∠B=4∠C，则∠C=；

（4）在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，则∠B=；

2、例：

如图，C岛在A岛的北偏东

方向，B岛在A岛的北偏东

方向，C岛在B岛的北偏西

方向，从C岛看A、B两岛的视角

是多少度？

五、达标练习：

1、判断：

（1）三角形中最大的角是

，那么这个三角形是锐角三角形（）

（2）一个三角形中最多只有一个钝角或直角（）

（3）一个等腰三角形一定是锐角三角形（）

（4）一个三角形最少有一个角不大于

（）

2、课本76页习题7.1第1、2题

3、课本74页练习1、2

六、课堂小结：

本节课你学到了什么？

七、作业：

课本76页习题7.1第3、4题

第6课时三角形的外角

一、学习目标：

1．认识三角形的外角；

2．知道三角形的外角的两个性质；

3．能利用三角形的外角性质解决实际问题。

二、重点与难点：

重点：

三角形外角的两个性质；难点：

三角形的外角性质的证明

三、铺垫回顾：

1.三角形的内角和是多少？

2．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．

3.△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

2，则∠A=_____，∠B=______，∠C=_______．

四、新知探究：

（一）知识点一：

三角形外角的定义

1、自学课本74页第一段理解三角形的外角的定义。

2、任意画一个三角形，并画出三角形的外角。

像这样，三角形的一边与_______________组成的角，叫做三角形的外角。

3、找出右图中的外角。

4、一个三角形有几个外角？

。

（二）知识点二：

三角形外角的两个性质

1、探究外角的性质

（1）如图9，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是△ABC的一个外角．能由∠A，∠B求出∠ACD吗？

如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？

（2）你能进一步说明任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有什么关系呢？

并说明理由？

结论：

________________________________________

理由：

（3）外角与其中一个不相邻的内角之间的关系呢？

结论：

_________________________________________

理由

2、对应练习

（1）课本75页练习

（2）在△ABC中，∠B=50°，∠C的外角等于100°，则∠A=_____．

（3）如右图所示，则∠a=________．

3、自学课本75页例2从中你会发现什么结论？

结论：

_____________________________________.

五、达标练习

1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．

2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．

3．如图1，x=______．

（1）

（2）（3）

4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．

5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数

6．如图所示，AE∥BD，∠1=95°，∠2=28°，求∠C

六、课堂小结：

通过本节课学习，你有什么收获？

七、作业：

课本76页习题7.2第5、6题

第7课时多边形

一、学习目标：

1．知道多边形、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线和正多边形的有关概念．

2．能够解决与多边形的对角线有关的问题

二、重点与难点：

重点：

多边形的相关概念；难点：

多边形对角线

三、新知探究：

（一）知识点一：

多边形、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线和正多边形的有关概念

1、自学课本79-----80页，完成下列问题：

（1）在平面内，由一些线段________________相接组成的________叫做多边形。

图1中分别是什么多边形？

（2）多边形_________组成的角叫做多边形的内角。

图2中内角有____________________。

（3）多边形的边与它的的邻边的__________组成的角叫做

多边形的外角。

图2中外角有______________________。

（4）连接多边形_________的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

（5）_________都相等，_________都相等的多边形叫做正多边形。

2、对应练习

（1）n边形有_______条边，______个顶点，________个内角。

（2）图3是_________边形，它的边是___________________，顶点是_______________，内角是________________，若图中多边形是正多边形，则_______________________________________。

（3）下列图形不是凸多边形的是（）．

（二）知识点二：

解决与多边形的对角线有关的问题

1、探究：

画出下列多边形的对角线．回答问题：

（1）从四边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把四边形分成了个三角形；四边形共有____条对角线．

（2）从五边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把五边形分成了个三角形；五边形共有____条对角线．

（3）从六边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把六边形分成了个三角形；六边形共有____条对角线．

（4）猜想：

①从100边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把100边形分成了个三角形；

100边形共有___条对角线．②从n边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把n分成了个三角形；n边形共有_____条对角线．

2、对应练习：

（1）从n边形的一个顶点出发可作______条对角线，从n边形n个顶点出发可作_____条对角线，除去重复作的对角线，则n边形的对角线的总数为_____条．

（2）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有2条对角线，则（m-k）=________．

（3）过十边形的一个顶点可作出几条对角线？

把十边形分成了几个三角形？

（4）十二边形共有条对角线，过一个顶点可作条对角线，可把十二边形分成个三角形。

四、达标练习

1、课本81页练习

2、下列图形中，是正多边形的是（）

A直角三角形B等腰三角形C长方形D正方形

3、九边形的对角线有（）

A25条B31条C27条D30条

4、过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是_______。

5、一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数。

五、课堂小结：

通过本节课学习，你有什么收获？

六、作业：

课本84页习题7.3第1题

第8课时多边形的内角和

一、学习目标：

1．知道多边形的内角和与外角和定理；

2．运用多边形内角和与外角和定理进行有关的计算．

二、重点与难点：

重点：

多边形的内角和与外角和定理；难点：

内角和定理的推导

三、课前铺垫：

1.三角形的内角和是多少？

。

2.正方形、长方形的内角和是多少？

3.从n边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把n分成了个三角形；

四、探究新知：

知识点一：

多边形的内角和定理

探究1：

任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，量一量、算一算．你能得出什么结论？

能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？

结论：

。

探究2：

从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？

观察图3，请填空：

（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等于180°×______．

（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．

探究3：

一般地，怎样求n边形的内角和呢？

请填空：

从n边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和等于180°×______．

结论：

多边形的内角和与边数的关系是。

对应练习：

1．十二边形的内角和是_________．

2．一个多边形的内角和等于900°，求它的边数．

3.课本83页练习。

知识点二：

多边形的外角和

探究4：

如图8，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

问题：

如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？

因此可得结论：

.

对应练习：

1、七边形的外角和是_________；十二边形的外角和是____________；三