西城区学习探究诊断第11章三角形.docx

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西城区学习探究诊断第11章三角形

第11章三角形

测试1三角形的边

学习要求

1．理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法．

2．掌握三角形三边关系的一个重要性质．

（一）课堂学习检测

1、填空题：

（1）由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做______；相邻两边的公共端点叫做______，相邻两边所组成的角叫做______，简称______．

（2）如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C所对的边______还可用______表示．

（3）由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质______________________________．由它还可推出：

三角形两边的差____________．

（4）对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c同时a－b______c；又可写成______＜c＜______．

（5）若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是____________，其中x可以取的整数值为____________．

（二）综合运用诊断

2．已知：

如图，试回答下列问题：

（1）图中有______个三角形，它们分别是______________________________________.

（2）以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________.

（3）线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是________________________．

（4）△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______．

3．选择题：

（1）下列各组线段能组成一个三角形的是（）．

（A）3cm，3cm，6cm（B）2cm，3cm，6cm

（C）5cm，8cm，12cm（D）4cm，7cm，11cm

（2）现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（）．

（A）0.85m长的木条（B）0.15m长的木条

（C）1m长的木条（D）0.5m长的木条

（3）从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是（）．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

（4）若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是（）．

（A）6＜l＜15（B）6＜l＜16

（C）11＜l＜13（D）10＜l＜16

4.

（1）一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．

（2）已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．

（3）一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长．

（4）有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．

（三）拓广、探究、思考

5．

（1）若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．

（2）若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．

（3）若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．

（4）等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．

（5）等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．

6．已知：

如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点．

（1）通过度量AB、CD、DB的长度，确定AB与

的大小关系.

（2）试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．

7．已知：

如图，P是△ABC内一点．请想一个办法说明AB＋AC＞PB＋PC．

8．如图，D、E是△ABC内的两点，求证：

AB＋AC＞BD＋DE＋EC．

测试2三角形的高、中线与角平分线

学习要求

1．理解三角形的高、中线和角平分线的概念，学会它们的画法．

2．对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．

（一）课堂学习检测

1．填空题：

（1）从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．

如图，若CD是△ABC中AB边上的高，则∠ADC______∠BDC＝______，C点到对边AB的距离是______的长．

（2）连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线．

如右图，若BE是△ABC中AC边上的中线，则AE______

（3）三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．

一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是________________________________

______________________________________．

如图，若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD______∠CAD＝

______或∠BAC＝2______＝2______．

2．已知：

△GEF，分别画出此三角形的高GH，中线EM，角平分线FN．

（二）综合运用诊断

3．

（1）分别画出△ABC的三条高AD、BE、CF．

（∠A为锐角）（∠A为直角）（∠A为钝角）

（2）这三条高AD、BE、CF所在的直线有怎样的位置关系?

4．

（1）分别画出△ABC的三条中线AD、BE、CF．

（2）这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系?

（3）设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?

5．

（1）分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.

（2）这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?

（3）设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?

6．已知：

△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．

7．

（1）如果将一个三角形的三边的长确定，那么这个三角形的形状和大小就不会改变了，三角形的这个性质叫做________________________.

（2）四边形是否具有这种性质?

（三）拓广、探究、思考

8．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分（以下两问要求各画三个示意图）

（1）已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形．

（2）已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．

9．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．

测试3与三角形有关的角

学习要求

1．理解三角形的内角、外角的概念．

2．掌握三角形的内角和及外角的性质，并能运用这些性质进行简单的推理和计算．

（一）课堂学习检测

1．填空：

（1）三角形的内角和性质是____________________________________________________.

（2）三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：

已知：

△ABC，

求证：

∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______．

证明：

过A点作______∥______，

则∠EAB＝______，∠FAC＝______．

（___________，___________）

∵∠EAF是平角，

∴∠EAB＋______＋______＝180°．（）

∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．（）

即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______．

2．填空：

（1）三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角．

因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．

（2）利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质?

如图，∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD与∠ACB互为______，

即∠ACD＝180°－∠ACB．①

又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______，

∴∠A＋∠B＝______．②

由①、②，得∠ACD＝______＋______．

∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B

由上述

（2）的说理，可以得到三角形外角的性质如下：

三角形的一个外角等于____________________________________________________.

三角形的一个外角大于____________________________________________________.

3．

（1）已知：

如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角，

求：

∠1＋∠2＋∠3．

（2）结论：

三角形的外角和等于______．

4．已知：

如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．

5．已知：

如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．

6．依据题设，写出结论，想一想，为什么?

已知：

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，则：

（1）∠A＋∠B＝______．即∠A与∠B互为______；

（2）若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．

（二）综合运用诊断

7．填空：

（1）△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．

（2）△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．

（3）△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______．

（4）如图，直线a∥b，则∠A＝______度．

（5）已知：

如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．

（6）已知：

如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．

（7）已知：

如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______

（8）在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．

8．已知：

如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．

9．已知：

如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．

（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．

（2）试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?

说明理由．

（三）拓广、探究、思考

10．已知：

如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．

（1）若∠A＝46°，求∠BOC；

（2）若∠A＝n°，求∠BOC；

（3）若∠BOC＝148°，利用第

（2）题的结论求∠A．

11．已知：

如图，O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点．

（1）若∠A＝46°，求∠BOC；

（2）若∠A＝n°，用n的代数式表示∠BOC的度数．

12．类比第10、11题，若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A＝n°，画出图形并用n的代数表示∠BOC．

13．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB＝3∶2

求∠CAB的度数．

14．如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．

测试4多边形及其内角和

学习要求

1．理解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和及其外角和的计算公式．

2．理解正多边形的概念．

（一）课堂学习检测

1.填空：

（1）平面内，由____________________________________________________________叫做多边形．组成多边形的线段叫做______．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做______．多边形____________叫做它的内角，

多边形的边与它的邻边的______组成的角叫做多边形的外角．

连结多边形________________的线段叫做多边形的对角线．

（2）画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在______，那么这个多边形称作凸多边形．

（3）各个角______，各条边______的______叫做正多边形．

2．

（1）n边形的内角和等于____________．这是因为，从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将此n边形分为______个三角形．而这些三角形的内角和的总和就是此n边形的内角和，所以，此n边形的内角和等于180°×______．

（2）请按下面给出的思路，进行推理填空．

如图，在n边形A1A2A3…An－1An内任取一点O，依次连结______、______、______、……、______、______．则它们将此n边形分为______个三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以O为顶点的一个周角就是此多边形的内角和．所以，n边形的内角和＝180°×______－（）＝（）×180°．

3．任何一个凸多边形的外角和等于______．它与该多边形的______无关．

4．正n边形的每一个内角等于______，每一个外角等于______．

5．若一个正多边形的内角和2340°，则边数为______．它的外角等于______．

6．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的内角和等于______．

7．多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数为______，对角线条数为______．

8．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为______度．

（二）综合运用诊断

9．选择题：

（1）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是（）.

（A）四边形（B）五边形（C）六边形（D）七边形

（2）一个多边形的边数增加，它的内角和也随着增加，而它的外角和（）．

（A）随着增加（B）随着减少（C）保持不变（D）无法确定

（3）若一个多边形从一个顶点，只可以引三条对角线，则它是（）边形．

（A）五（B）六（C）七（D）八

（4）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和增加（）．

（A）0°（B）90°（C）180°（D）360°

（5）如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中（）．

（A）只有一个直角（B）只有一个锐角

（C）有两个直角（D）有两个钝角

（6）在一个四边形中，如果有两个内角是直角，那么另外两个内角（）．

（A）都是钝角（B）都是锐角

（C）一个是锐角，一个是直角（D）互为补角

10．已知：

如图四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于E，∠BCD的平分线CF交AB于F，BE、CF相交于O，∠A＝124°，∠D＝100°．求∠BOF的度数．

（三）拓广、探究、思考

11．

（1）已知：

如图1，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6___________．

图1

（2）已知：

如图2，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8____________．

图2

12．如图，在图

（1）中，猜想：

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______度．

请说明你猜想的理由．

图1

如果把图1成为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图2称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H；

图2

则2环四边形的内角和为_____________________________________________度；

2环五边形的内角和为________________________________________________度；

2环n边形的内角和为________________________________________________度．

13．一张长方形的桌面，减去一个角后，求剩下的部分的多边形的内角和．

14．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．

15．如果一个凸多边形除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数．

16．小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗?

若能，当他走回点A时共走了多少米?

若不能，写出理由．

全章测试

一、选择题：

1．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为（）．

（A）120°（B）100°

（C）140°（D）90°

2．如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B＝78°，∠C＝60°，则∠EDC的度数为（）．

（A）42°（B）60°

（C）78°（D）80°

3．已知△ABC的一个内角是40°，∠A＝∠B，那么∠C的外角的大小是（）．

（A）140°（B）80°或100°（C）100°或140°（D）80°或140°

4．上午9时，一艘船从A处出发以20海里／时的速度向正北航行，11时到达B

处，若在A处测得灯塔C在北偏西34°，且

则灯塔C应在

B处的（）．

（A）北偏西68°（B）南偏西85°

（C）北偏西85°（D）南偏西68°

5．在△ABC中，若∠A∶∠B＝5∶7，∠C－∠A＝10°，则∠C等于（）．

（A）75°（B）60°（C）50°（D）40°

6．在△ABC中，若AB＝3，BC＝1－2x，CA＝8，则x的取值范围是（）．

（A）0＜x＜2（B）－5＜x＜－2

（C）－2＜x＜5（D）x＜－5或x＞2

7．在△ABC中，若AB＝AC，其周长为12，则AB的取值范围是（）．

（A）AB＞6（B）AB＜3

（C）4＜AB＜7（D）3＜AB＜6

8．若一个多边形的内角和是其外角和的二倍，则它的边数是（）．

（A）四（B）五（C）六（D）七

9．下列命题中，结论正确的是（）．

①外角和大于内角和的多边形只有三角形．

②一个三角形的内角中，至少有一个不小于60°．

③三角形的一个外角大于它的任何一个内角．

④多边形的边数增加时，其内角和随着增加，外角和不变．

（A）①②③④（B）①②④

（C）①③④（D）①④

10．若一个正多边形的每个内角与它相邻的外角的差为100°，则这个正多边形的边数是（）

（A）七（B）八（C）九（D）十

11．在下面四种正多边形中，用同一种图形不能平面镶嵌的是（）．

12．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）．

（A）∠A＝∠1＋∠2（B）2∠A＝∠1＋∠2

（C）3∠A＝2∠1＋∠2（D）3∠A＝2（∠1＋∠2）

二、填空题：

13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点E、F，EG是∠FED的平分线，交AB于点G．若∠QED＝40°，那么∠EGB等于______．

14．若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形共有______条对角线．

15．把“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是

______________________________________________________________________.

16．把一幅三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角＝______度．

17．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝______.

18．下列各命题中：

①对顶角一定相等；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③若∠A＝∠B，∠B＝∠C，则∠A＝∠C，④同角的补角相等；⑤若∠AOB＋∠BOC＝180°；则∠AOB与∠BOC互为邻补角．其中错误的命题是______（填序号）

19．如图，长方形的长和宽分别为2cm和1cm，则图中由弧AB、弧CD和AC、BD围成的阴影部分的面积为_______.

20．一个广场面的一部分如图所示，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成．从里往外共12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外界都围成一个多边形．若中央正六边形地砖的边长是0.5米，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是______米．

三、解答题：

21．已知：

钝角△ABC．分别画出AC边上的高BD、BC边上的中线AE及△ABC中∠ACB的平分线CF．

22．已知：

如图，AB∥DE，∠1＝∠2，AC平分∠BAD，求证：

AD∥BC．

23．已知：

在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，CD⊥AC交AB于D，∠BCD＝∠A，求∠BEA的度数．

24．已知：

如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且∠C－∠B＝20°，∠EOF－∠A＝70°，求∠C的度数．

25．三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题．

（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；

（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图，现被两条中线分成4块，则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊?

四、探究题

26．已知△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于G1、G2、G3，…、Gn－1，试猜想：

∠BGn－1C与∠A的关系．（其中n≥2的整数）

首先得到：

当n＝2时，如图1，∠BG1C＝______，

当n＝3时，如图2，∠BG2C＝______，

…………

猜想∠BGn－1C＝______．

图1图2图n

参考答案

第11章三角形

测试1

1．

（1）不在同一直线上的，首尾顺次相接，三角形的边，三角形的顶点，三角形的内角，三角形的角．

（2）△ABC，三角形ABC，BC，a；AC，b；AB，c

（3）三角形两边之和大于第三边，小于第三边．

（4）＞，＜，a－b，a＋b

（5）1cm＜x＜9cm，2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm．

2．

（1）六，△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE．

（2）△ABD、△ACD、△ADE．

（3）△ACE，∠CAE．

（4）BC：

CD：

DE．

3．

（1）C，

（2）D，（3）A，（4）D

4．

（1）6，6，6；

（2）20cm，22cm；（3）12c