沪科版数学八年级上册第13章三角形中的边角关系命题与证明单元同步试题.docx
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沪科版数学八年级上册第13章三角形中的边角关系命题与证明单元同步试题
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知三根木条的长度如下，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，2cm，5cmB．2cm，2cm，4cm
C．2cm，3cm，5cmD．2cm，3cm，4cm
2．用三角尺作△ABC的边BC上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ）
图3－Z－1
3．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．若x＝±1，则x2＝1
C．两直线平行，同位角相等
D．若x＝0，则x2＝0
4．如果三角形三个内角的度数之比为4∶11∶7，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
5．以2和6为两边长，且第三边长为整数的三角形共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．如图3－Z－2，∠1＝110°，∠2＝135°，那么∠3的度数是（ ）
图3－Z－2
A．55°B．65°C．75°D．85°
7．一副三角尺拼成如图3－Z－3所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（ ）
图3－Z－3
A．15°B．25°C．30°D．10°
8．如图3－Z－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠ADE度数为（ ）
图3－Z－4
A．71°B．64°C．38°D．45°
9.如图3－Z－5，BD，CD分别是内角∠ABC和外角∠ACE的平分线，若∠A＝70°，则∠D的度数为（ ）
图3－Z－5
A．30°B．35°C．40°D．45°
10．如图3－Z－6，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△A1B1C1的面积是14，那么△ABC的面积是（ ）
图3－Z－6
A．2B.
C．3D.
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．说明命题“若x＞－4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x＝________．
12．命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”的条件是______________，结论是______________，它的逆命题是__________________________．
13．如图3－Z－7，有一块含有60°角的三角尺的两个顶点放在一个长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是________．
图3－Z－7
14．如图3－Z－8，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是△ABC的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，有下列说法：
①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH.其中说法正确的序号是________．
图3－Z－8
三、解答题（共54分）
15．（8分）用“如果……那么……”改写命题．
（1）对顶角相等；
（2）两个有理数的积仍是有理数．
16．（10分）如图3－Z－9，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数．
图3－Z－9
17．（12分）分析下面所举反例是否正确，若不正确，请改正．
（1）若|x|＝|y|，则x＝y.
反例：
取x＝3，y＝3，则|x|＝|y|，所以此命题是假命题．
（2）两个锐角的和一定是钝角．
反例：
取∠1＝30°，∠2＝100°，则∠1＋∠2＝130°，不符合命题的结论，所以此命题是假命题．
（3）若|a|＝a，则a＞0.
反例：
取a＝0，符合命题的条件，但a＝0不符合命题的结论a＞0，所以此命题是假命题．
18．（12分）如图3－Z－10，已知DE∥BC，FG∥CD.求证：
∠CDE＝∠BGF.
图3－Z－10
19．（12分）如图3－Z－11，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E.
（1）若∠B＝20°，∠C＝80°，求∠EAC和∠EAD的大小；
（2）若∠C＞∠B，由
（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C－∠B之间的数量关系吗？
写出这个关系式，并加以证明．
图3－Z－11
答案
1．[解析]D 要确定三根木条能否组成三角形，关键是看其中任意两根木条的长度之和是否大于第三根木条的长度．
2．A
3．[解析]A ①对顶角相等，逆命题为相等的角为对顶角，是假命题；
②若x＝±1，则x2＝1，逆命题为若x2＝1，则x＝±1，是真命题；
③两直线平行，同位角相等，逆命题为同位角相等，两直线平行，是真命题；
④若x＝0，则x2＝0，逆命题为若x2＝0，则x＝0，是真命题．故选A.
4．B
5．[解析]B 设第三边长为x，由三角形三边之间的关系，得6－2＜x＜6＋2，即4＜x＜8.整数x的值为5，6，7，所以满足题意的三角形共有3个．
6．[解析]B 如图，∠4＝180°－∠2＝180°－135°＝45°.又∵∠1＝110°，
∴∠3＝∠1－∠4＝65°.
故选B.
7．[解析]A 由题意知∠EDC＝60°，∠B＝45°，所以∠BFD＝∠EDC－∠B＝60°－45°＝15°.
故选A.
8．[解析]C 由折叠可得∠CED＝∠CBD.
∵∠ACB＝90°，∠A＝26°，
∴∠CBD＝90°－26°＝64°.
∴∠ADE＝∠CED－∠A＝38°.
故选C.
9．[解析]B ∵BD，CD分别是内角∠ABC与外角∠ACE的平分线，∴∠DCE＝
∠ACE，∠DBC＝
∠ABC.∵∠ACE－∠ABC＝∠A＝70°，∴∠D＝∠DCE－∠DBC＝
∠A＝35°.故选B.
10．[解析]A 如图，连接AB1，BC1，CA1.
∵A，B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1＝S△ABC，S△A1BB1＝2S△ABB1＝2S△ABC，
∴S△A1BB1＝S△A1AB1＋S△ABB1＝2S△ABC.同理，S△B1CC1＝2S△ABC，S△A1AC1＝2S△ABC.
∴△A1B1C1的面积＝S△A1BB1＋S△B1CC1＋S△A1AC1＋S△ABC＝7S△ABC＝14.
∴S△ABC＝2.故选A.
11．－3（答案不唯一）
12．一个三角形有两边相等 这个三角形是等腰三角形 等腰三角形的两边相等
13．[答案]12°
[解析]依题意，得直角三角形的另一个锐角＝90°－60°＝30°，
∴∠2＝另一个锐角－∠1＝30°－18°＝12°.
14．[答案]①②③
[解析]∵BE是中线，∴AE＝CE.
∴△ABE的面积＝△BCE的面积．故①正确；
∵CF是△ABC的角平分线，∴∠ACF＝∠BCF.∵AD为高，∴∠ADC＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°.∴∠ABC＝∠CAD.∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF.故②正确；
∵AD为高，∴∠ADB＝90°.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°.∴∠ACB＝∠BAD.∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF.∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF.故③正确；
根据已知条件不能推出BH＝CH.故④错误．故答案为①②③.
15．解：
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
（2）如果两个数是有理数，那么这两个数的积仍是有理数．
16．解：
∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝60°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝30°.
∴∠ADC＝65°.
∵PE⊥AD，
∴∠E＝90°－65°＝25°.
17．解：
（1）所举反例不正确．取x＝3，y＝－3，则|x|＝|y|成立，符合命题的条件，但x＝y不成立，所以此命题是假命题．
（2）所举反例不正确．取∠1＝30°，∠2＝50°，符合命题的条件，但∠1＋∠2＝80°，不符合命题的结论，所以此命题是假命题．
（3）所举反例是正确的．
[点评]正确理解和掌握已经学习的各种基本事实、定理等是判断命题真假的关键．说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可说明．
18．证明：
∵DE∥BC，（已知）
∴∠CDE＝∠DCG.（两直线平行，内错角相等）
又∵FG∥CD，（已知）
∴∠DCG＝∠BGF.（两直线平行，同位角相等）
∴∠CDE＝∠BGF.（等量代换）
19．解：
（1）∵∠B＝20°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝
∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵∠C＝80°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝10°.
∴∠EAD＝∠EAC－∠CAD＝40°－10°＝30°.
（2）关系式：
∠EAD＝
（∠C－∠B）．
证明：
∵∠BAC＝180°－∠B－∠C，
AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝
∠BAC＝
（180°－∠B－∠C）．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∴∠CAD＝90°－∠C.
∴∠EAD＝∠EAC－∠CAD＝
（180°－∠B－∠C）－（90°－∠C）＝
∠C－
∠B＝
（∠C－∠B）．
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