高一数学必修一指数函数的性质.docx

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高一数学必修一指数函数的性质

高一数学必修一指数函数的性质

2.1.2指数函数及其性质

（一）

一、学习目标：

了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，本节课的难点是弄清楚底数对于指数函数图象和性质的影响。

二、问题引领：

1、指数函数的概念、图象和性质定义函数，且叫做指数函数．

指数函数图象分类指数函数图象特征

向x、y轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，图象逐渐上升

自左向右看，图象逐渐下降

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡

图象下降趋势是越来越缓

指数函数性质

函数的定义域为R

非奇非偶函数

函数的值域为增函数减函数

函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

画指数函数简图的方法

两点一线法（两点指（0，1），（1，）；一线指渐近线x轴）。

2、指数函数图象分布图：

如图，分别为指数函数

的图象，则与0、1的大小关系为。

三、典例剖析：

例题1：

已知指数函数且的图象经过点，求的值。

分析：

要求的值，我们需要先求出指数函数的解析式，也就是要先求的值。

根据函数图象过点这一条件，可以求得底数的值。

解：

的图象经过点，

即，解得

，即：

。

点评：

求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。

例题2：

1、设，求的大小关系。

2、比较的大小。

分析：

利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。

解：

1、因为函数在上为减函数，又由，

所以得：

，

因为当时，函数为减函数，又，

所以，因为函数与在上同为减函数且当时，随着的增大，函数比函数减小的快，所以，即。

2、因为函数在上为减函数，所以，又因为函数在上为增函数，所以，即

点评：

涉及到无理数和超越数的大小比较，一般需根据这些数的构成特点，寻求某个函数作模型，然后将各数统一到这个模型中，利用函数单调性比较大小。

若底数相同，指数不同时，则可直接利用指数函数的单调性比较大小。

若底数不同，指数相同时，则可利用指数函数的图象分布规律进行比较大小。

若底数不同，指数也不相同，则常借助0，1等中间量进行比较。

例题3：

对任意实数，求函数的值域。

分析：

将函数分解成指数函数和二次函数的复合函数，分别利用指数函数的值域和二次函数的单调性求值域。

解：

=令，因为在为增函数，所以

函数的值域为。

点评：

本题考查与指数函数有关的复合函数求值域问题,常用换元法,其步骤:

1、换元，令2、得二次函数，3、由二次函数的单调性求的范围。

§2.1.2指数函数及其性质

（二）

一、学习目标：

理解指数函数的单调性与底数的关系，能运用指数函数的单调性解决一些简单的问题。

本节课的重点是指数函数单调性的应用，本节课的难点是理解底数的值对指数函数单调性的影响，体会数形结合、分类讨论、化归等数学思想。

二、问题引领：

1．指数函数的单调性与底数的取值有关，因此我们常常要对分

和

两种情况讨论。

2．指数函数的单调性：

（1）当＞1时，函数=在定义域R上为

；

（2）当＜1时，函数=在定义域R上为

。

3．函数在区间上是增函数，

（1）当时，在上为；

（2）当时，在上为。

三、典例剖析：

例题1：

写出函数的递增区间

分析：

题中函数由与复合而成，因为是减函数，所以，函数的减区间为关于自变量的增区间。

解法一：

设函数的递增区间为D，任取，，且，又，

则有，对恒成立，

　　要使，

对恒成立。

又，当时，恒有成立，

需有

又　即　

　即需

对恒成立。

当　且　时，都有，对恒成立，

所求递增区间为

解法二：

令，则，

当时，是减函数，是减函数，此时，函数是增函数，所以，所求递增区间为（）。

点评：

1．用定义法寻求函数的增区间（减区间），即寻求某一个区间D，对于任意，，且，恒有（）成立。

2．复合函数问题，通常用换元法，令，将它化归为基本初等函数，利用复合函数的单调性来解决，但要注意定义域的限制，掌握这种化归的思想方法。

例题2：

对于函数　

1）探索函数的单调性。

2）是否存在实数，使函数为奇函数？

分析：

探索函数的单调性，可以直接用定义法，也可以借助复合函数的单调性判断。

（1）解法一：

由题可知的定义域为R，任取，，，且，

则，

在R上是增函数

即　

　又

　即　

在R上为增函数

解法二：

令，，，，则　

在定义域上为增函数，在上是增函数

所以，在R上为增函数。

（2）解法一：

存在使得为奇函数。

的定义域为R，又在定义域上为奇函数

有恒成立，即恒成立

有恒成立，即

　解法二：

存在使得为奇函数。

　的定义域为R

令＝0，得　，

此时，

　又

存在，使得为奇函数。

点评：

本题

（1）问探索函数单调性问题：

解法一用单调性的定义求函数的增区间；解法二是利用复合函数判断单调性的方法判断函数的单调性，但需要注意，在证明题中，在利用复合函数判断单调性的方法判断函数的单调性后还需用定义证明。

（2）问是已知函数的性质求参量值的问题，可以用定义法，也可以利用取特值（如：

或等）的方法求参量的值，但需要注意，求出参量值后，还应用定义证明为奇函数（偶函数）。

§2.1.2指数函数及其性质（三）

一、学习目标：

通过对实际问题的抽象和概括，能将实际问题转化为数学问题或建立数学模型，本节课的重点和难点是应用函数模型解决实际问题。

体会通过建立函数模型解决实际问题的过程

二、问题引领：

应用函数模型解决实际问题，首先要把实际问题翻译成数学语言；分析实际问题所包含的数学关系；把实际问题抽象成数学问题，建立起相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，思路可表示如下：

解决应用问题的一般步骤是：

（1）审题；

（2）建模；（3）求模；（4）还原。

三、典例示范

例题1：

某公司2005年产煤量为13万吨，2007年的产量比2005年的产量增长了69%，求这期间的年平均增长率。

若今后该公司的年产量按年平均增长率增长，问2010年，该公司的年产量为多少？

（精确到0.01万吨）

分析：

增长率=增长值/原产值。

解：

设年平均增长率为x，

则　

即　2005年至2007年期间的平均年增长率为30%，

2008年底，该公司的产量为

2009年底，该公司的产量为

2010年底，该公司的产量为62.75（万吨）

所以，2010年，该公司的年产量为62.75万吨。

点评：

在实际问题中，经常会遇到指数增长的模型：

设原有量为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量可以用表示。

我们把形如的函数称为指数型函数。

例题2：

按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数式，如果存入本金元，每期利率，试计算5期后的本利和是多少？

（精确到0.1元）

分析：

可以用指数型函数模型解决有关复利问题。

解：

已知本金为元，

1期后的本利和为；

2期后的本利和为；

3期后的本利和为；

......

期后的本利和为。

将＝元

＝

＝5　代入上式，得，

＝×

　＝

由计算器算得：

　元

　答：

本利和随存期变化的函数式为，5期后的本利和为元。

点评：

复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息，该问题可通过指数型函数模型得以解决。

单利也是一种计算利息的方法，即每年都只由本金计算利息，该问题可通过一次型函数模型来解决。