射影几何的诞生与发展.docx
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射影几何的诞生与发展
射影几何的诞生与发展
一从透视学到射影几何
1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：
（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？
（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？
2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起（文艺复兴时期：
普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛），从而诞生了射影几何学。
意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。
3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。
1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。
5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线
6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。
7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点：
1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状
2）变换与变换不变性
3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量
二射影几何的繁荣
1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何
、微积分的发展洪流而被人遗忘，到18世纪末19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867）
2．庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。
获释后他整理出版了《论图形的射影性质》，这部著作立即掀起了19世纪射影几何发展的巨大波澜，带来了这门学科历史的黄金时期
3．庞斯列利用连续性原理引入虚元素，强调对偶原理，深入研究了极点与极线的概念，给出了极点到极线和从极线到极点的变换的一般表述
4．在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家莫比乌斯在《重心计算》（1827）一书中第一次引进了齐次坐标，后被普吕克发展为更一般的形式。
这种代数方法遭到了以庞斯列为首的综合派学者的反对，因此19世纪的射影几何就是在综合派的与代数的两大派之间的激烈争论中前进的，支持庞斯列的还有斯坦纳沙勒和施陶特
5．1850年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已经作出区别，但对这两种几何的逻辑关系不甚了了。
即使综合派的著作中也仍然用长度的概念，实际上长度不是射影概念。
施陶特在1847年的《位置几何学》中提出一套方案，给交比以重新定义：
，这样施陶特不借助长度概念就得到了建立射影几何的基本工具，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新的学科，施陶特还指出：
射影几何的概念在逻辑上要先于欧氏几何的概念，因而射影几何比欧氏几何更基本。
6．施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱（1821-1895）和普吕克的学生克莱因进一步在射影几何概念基础上建立欧氏几何与非欧氏几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学铺平了道路。
三几何学的统一
1．统一几何学的第一大胆计划是由德国数学家克莱因（1849-1925）提出的，1872年，克莱因在爱尔朗根大学任数学教授就职演讲《爱尔朗根纲领》中阐述了几何学统一的思想。
（射影几何，仿射几何，欧氏几何）当然，并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，如代数几何，微分几何。
2．克莱因1886年受聘于哥廷根大学担任教授，因为这位创造性天才和组织能力完美结合的他的到来，使得哥廷根大学更富科学魅力
.希尔伯特就是被克莱因引向哥廷根的最重要的年轻数学家1862-1943，他提出了另一条统一几何学的途径---公理化方法。
3.公理化方法始于欧几里得，然而当19世纪数学家们重新审视《原本》中的公理体系时，却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就迫使他们着手重新建立欧氏几何以及其他包含同样弱点的几何的基础。
其中希尔伯特在《几何基础》（1899）中使用的公理化方法最为成功。
第一章仿射坐标与仿射变换
本章将主要介绍仿射变换的概念，并在仿射坐标系下研究图形的仿射不变量和仿射不变性。
§1透视仿射对应
定义1.1共线三点的A，B，C的单比表示为（ABC），且
（ABC）=
AC，BC是有向线段的数量，其中，点A﹑B称为基点，C称为分点。
显然，当C在A，B之间时，（ABC）＜0；否则，（ABC）＞0。
当C为线段AB中点时，（ABC）=－1。
当A与C重合时，（ABC）=0；B与C重合时，（ABC）不存在。
定义1.2在一平面上设有直线l和l′,m为此平面上与l和l′均不平行的方向直线,通过直线l上任意一点A,作与m平行的直线,交l′于A′,这样得到的直线l上点到l′上点的一一对应,称为透视仿射对应.
若直线l与l′相交，则交点是自对应点或二重点（不变点）。
显然，两直线间的透视仿射对应，与方向直线有关，不同的方向决定不同的对应关系。
仿上述定义，可定义两平面π和π′间的透视仿射对应。
若平面π和π′相交于直线l，则直线l上的每个点都是透视仿射对应下的自对应点，直线l叫做透视轴，简称轴。
当平面π和π′平行时，则不存在透视轴。
透视仿射对的性质：
（1）透视仿射对应保持结合性
透视仿射对应使点对应点，直线对应直线，这种性质称为同素性。
（2）透视仿射对应保持结合性
点A在直线a上，经过透视仿射对应后，对应点A′在对应直线a′上，也就是说，点和直线的结合关系在透视仿射对应下保持不变。
（3）透视仿射对应保持共线三点的单比不变
若平面π内共线三点A，B，C经过透视仿射对应后在平面π′上的象是A′，B′，C′，则（ABC）=（A′B′C′）。
证明
由于AA′∥BB′∥CC，
所以有
=
即
（ABC）=（A′B′C′）
（4）透视仿射对应保持二直线的平行性
证明设平面π内两直线a∥b，经过透视仿射对应后，在平面π′内的象分别为a′﹑b′
假设，a′与b′不平行，且a′∩b′=P′，那么P′的原象P在π上。
由点和直线的结合性，点P一定同时在直线a和b上，即a∩b=P，这与a∥b矛盾。
透视仿射对应的性质：
（1）保持同素性；
（2）保持点和直线的结合性；
（3）保持共线三点单比不变；
（4）保持二直线的平行性。
§2仿射对应与仿射变换
定义2.1设同一平面内有n条直线a1，a2，…，an， 1,2,…,n,顺次表示a1到a2，a2到a3，。
。
。
，an-1到an的透视仿射对应，经过这一串透视仿射对应，使a1上的点与an上的点建立了一一对应，这个对应称为
a1到an的仿射对应，用表示，于是有
=n-1·n-2·…·2·1
如果直线a1与an重合，则a1到an的仿射对应叫做a1到直线自身的仿射变换。
仿此，可定义两平面间的仿射对应。
所以两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果。
若两平面重合，仿射对应称为仿射变换。
仿射对应和仿射变换都是一串透视仿射对应的乘积。
因此有下列性质：
（1）保持同素性和结合性；
（2）保持共线三点单比不变；
（3）保持直线的平行性。
定义2.2若两个平面间（平面到自身）的一个点对应（变换）保持同素性，结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换）。
注意：
平行四边形经过仿射对应（变换）后，对应图形仍为平行四边形；两条平行线段经过仿射对应（变换）后，其长度之比不变。
根据定义2。
1，由透视仿射对应的性质，显然，透视仿射对应
当∏π1与πn重合时，仿射对应称为平面π1到自身的仿射变换。
不难证明，仿射对应和仿射变换保持直线的平行性；而且，两条平行线段的长度之比经仿射对应（变换）后不改变。
平行四边形经仿射对应和仿射变换后仍为平行四边形。
§1.3仿射坐标
3.1仿射坐标系
设O-xy为平面内笛卡儿坐标系，E（1，1）为单位点，P（x,y）是平面上一点。
E
，E
，P1，P2分别为过E，P所做与y轴和x轴平行的直线与x轴和y轴的交点。
则OE1EE
和OP1PP2均为平行四边形。
经过一个仿射对应后，坐标系O-xy的对应图形为O′-x′y′，E，E
，E
，P，P1，P2的对应点依次为E′，E1′，E2′，P′，P1′，P2′，则O′E1′E′E2′和O′P1′P′P2′也都是平行四边形。
在新坐标系O′-x′y′中，选取E′为单位点（1，1），设点P′在此坐标系下的坐标为（x′,y′）。
因为
x=
=（P1E1O）,x′=
=（P1′E1′O′）,
y=
=（P2E2O）,y′=
=（P2′E2′O′）
又因为仿射对应保持单比不变，所以有
x=x′,y=y′
定义3.1笛卡儿坐标系在仿射对应（变换）下的象叫做仿射坐标系。
（x′,y′）叫点P′在仿射坐标系下的坐标，记做：
P′（x′,y′）。
现在我们可以用坐标来表示共线三点单比。
若用e1′，e2′表示
，则仿射坐标系表示为O′-e1′e2′，则有
=x′e1′+y′e2′
仿射坐标系是笛卡儿坐标系的推广，两坐标轴上的测量单位不一定相等，笛卡儿坐标系是仿射坐标系当两轴上测量单位相等时的特殊情况。
定理3.1设共线三点Pi（i=1,2,3）的仿射坐标顺次为（xi，yi）（i=1,2,3）则单比
（P1P2P3）=
证明
同理，
（P1P2P3）=
定理3.2在仿射坐标系下，经过两点P1（x1,y1）P2（x2,y2）的直线的方程为
证明在直线P1P2上任取一点P（x,y），则有
即
反之，凡满足上述方程的x,y，所对应的点P（x,y）必在直线P1P2上。
所以上述方程是经过两点P1（x1,y1）P2（x2,y2）的直线的方程。
由此可知，在仿射坐标系下，直线的方程是一次方程
Ax+By+C=0（A2+B2≠0）
反之，一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的图形一定是直线。
3.2仿射变换的代数表示
设有一个仿射变换T，将仿射坐标系O－e1e2变为O′－e1′e2′，将点P（x,y）变成点P′，且P′在仿射坐标系O–e1e2下的坐标是（x′,y′）,以下我们来推导两组坐标（x,y）与（x′,y′）之间的关系式。
设O′，e1′，e2′在O-e1e2下的坐标分别为（a13,a23）,{a11,a21},{a12,a
},
由前面讨论，我们知道P′在坐标系O′-e1′e2′下的坐标为（x,y）.
由于
=
+
而且
=a13e1+a23e2
=xe1′+ye2′
另外e1′=a11e1+a21e2
e2′=a12e1+a22e2
所以
=（a13e1+a23e2）+x（a11e1+a21e2）+y（a12e1+a22e2）
=（a11x+a12y+a13）e1+（a21x+a22y+a23）e2
另外，还有
=x′e1+y′e2
因此
（1.1）
由于e1′，e2′是两不共线矢量，所以
△=
≠0
定理3.3平面上的仿射变换在仿射坐标系下的代数表达式为（1。
1），其中x,y的系数满足△≠0。
推论不共线三对对应点唯一确定一个仿射变换。
在（1.1）式中，由于△≠0，可以解出它的逆式，即
（1.2）
其中
△′=
≠0
例1求使三点O（0，0），E（1，1），P（1，－1）顺次变到点O′（2，3），E′（2，5），P′（3，－7）的仿射变换。
解设所求仿射变换为
于是有
2=a13
3=a23
2=a11+a12+a13
5=a21+a22+a23
3=a11－a12+a13
－7=a21－a22+a23
解此方程组，得
a11=1/2，a12=－1/2，a13=2，a21=-4，a22=6，a23=3
故所求仿射变换为
例2试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x′＋y′＋1=0和x′－y′－1=0，且点（1，1）的象为原点。
解设所求变换的逆变换为式（1。
2），于是有
x=0的象是α1x′+β1y′+γ1=0
也即x′+y′+1=0
所以
α1x′+β1y′+γ1=0与x′+y′+1=0表示同一条直线，则有
=
=
=h
因此
x=hx′+hy′+h
同理，由于
y=0的象是α2x′+β2y′+γ2=0
即x′－y′－1=0
所以
y=kx′－ky′－k
另外又有（1，1）的象为（0，0），所以
h=1,k=－1
所求变换的逆变换式为
所求变换式为
利用仿射变换的代数表达式可以证明仿射变换的基本性质，下面我们来证明仿射变换保持共线三点单比不变。
设P1（x1,y1）P2（x2,y2）P3（x3,y3）是共线三点，经过仿射变换后，它们的对应点顺次为共线三点P1′（x1′,y1′），P2′（x2′,y2′），P3′（x3′,y3′）
则有
（P1P2P3）=
=
=
（P1′P2′P3′）=
=
在仿射变换下，有
（P1′P2′P3′）=
=
=
=
所以
（P1P2P3）=（P1′P2′P3′）
定义3.2平面上点之间的一个线性变换
△=
≠0
叫做仿射变换。
3.3几种特殊的仿射变换
（1）正交变换
当仿射变换的系数矩阵T满足正交条件：
TT′=T′T=E，即
时，仿射变换称为正交变换。
正交变换的代数表达式为
（δ=
1）
（2）位似变换
当仿射变换的系数满足下列条件时，仿射变换称为位似变换，
k≠0
（3）压缩变换
ab≠0
（4）相似变换
当仿射变换的系数满足下列条件时，称为相似变换，
δ=±1
△=
相似变换总能分解为一个正交变换与一个位似变换的乘积。
§4仿射性质
定义4.1图形经过仿射变换后保持不变的性质（量）称为图形的仿射性质（仿射不变量）。
同素性，结合性，以及平行性都是仿射性质；共线三点的单比是仿射不变量。
利用仿射变换的代数表示同样可以证明仿射性质。
定理4.1两条平行直线经过仿射变换后仍变为两条平行直线。
推论1两条相交直线经仿射变换后仍变为两条相交直线。
推论2共点直线经仿射变换后，仍变为共点直线。
定理4.2两条平行线段之比是仿射不变量。
定理4.3两个三角形面积之比是仿射不变量。
证明设在笛卡儿坐标系下，不共线三点A（x1，y1），B（x2,y2），C（x3,y3）经过仿射变换（1。
1）后，对应点分别为A′（x1′，y1′），B′（x2′,y2′），C′（x3′,y3′），于是有
S△ABC=
的绝对值
（1）
S△A′B′C′=
的绝对值
（2）
由仿射变换代数式（1.1），得
S△A′B′C′=
的绝对值
=
的绝对值
=S△ABC|a11a22－a21a12|
所以
同理，若三角形DEF在仿射变换下的对应图形是三角形D′E′F′，则同样有
所以
=
即
=
这表明两三角形面积比是仿射不变量。
推论1两平行四边形面积之比是仿射不变量。
推论2两封闭图形面积比是仿射不变量。
例1求一仿射变换，将椭圆
变成一个圆。
解设有一个变换
显然，它是一个仿射变换，经过这个变换后，所给椭圆的象为
这是一个圆。
那么由仿射变换的可逆性，圆经过一个仿射变换后也可以变成椭圆。
我们可以从圆的一些性质推倒出椭圆的一些性质。
即三角形存在内切椭圆。
例2利用仿射变换求椭圆的面积。
解设在笛氏直角坐标系下，椭圆的方程为
经过仿射变换
椭圆的对应图形为圆，其方程为
设在仿射变换下，△AOB对应△AOB′，其中各点坐标为A（a,0）,O（0,0）,B（0,b）,B′（0,a）。
由定理4.3的推论2，有
所以
=abπ.
.
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