优品课件之对数与对数运算教学设计.docx

优品课件之对数与对数运算教学设计.docx

《优品课件之对数与对数运算教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《优品课件之对数与对数运算教学设计.docx（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

优品课件之对数与对数运算教学设计

对数与对数运算教学设计

教学设计2.2.1　对数与对数运算第1课时作者：

林宁宁，古田一中教师.本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖.整体设计教学内容分析本节课是新课标高中数学A版必修1中第二章对数函数内容的第1课时，也就是对数函数的入门．对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难．而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用．通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数做好准备．同时，通过对对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义．学生学习情况分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感．通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼．因此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法．设计思想学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识对数模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．教学目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．2．通过实例使学生认识对数模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化．3．通过学生分组进行探究活动，掌握对数的重要性质．通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一．4．培养学生的类比、分析、归纳能力，培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生的探究意识．重点难点重点：

（1）对数的概念；

（2）对数式与指数式的相互转化．难点：

（1）对数概念的理解；

（2）对数性质的理解．教学过程教学环节教学程序及设计设计意图创设情境，引入新课引例（3分钟）1．一尺之锤，日取其半，万世不竭．

（1）取5次，还有多长？

（2）取多少次，还有0.125尺？

分析：

（1）为同学们熟悉的指数函数模型，易得125＝132，

（2）可设取x次，则有12x＝0.125，抽象出：

12x＝0.125⇒x＝？

2．2002年我国GDP为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GDP是2002年的2倍？

分析：

设经过x年，则有（1＋8%）x＝2，抽象出：

（1＋8%）x＝2⇒x＝？

让学生根据题意，设未知数，列出方程．这两个例子都出现指数是未知数x的情况，让学生思考如何表示x，激发其对对数的学习兴趣，培养学生的探究意识．生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的．讲授新课一、对数的概念（3分钟）[一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意：

（1）底数的限制：

a＞0且a≠1；

（2）对数的书写格式正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定做准备．同时注意对数的书写格式，避免因书写不规范而产生的错误．二、对数式与指数式的互化：

（5分钟）幂底数←a→对数底数指数←b→对数幂←N→真数思考：

（1）为什么对数的定义中要求底数a＞0且a≠1?

（2）是否是所有的实数都有对数呢？

负数和零没有对数让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a，b和N位置的不同，及它们的含义．互化体现了等价转化这个重要的数学思想.三、两个重要对数（2分钟）

（1）常用对数：

以10为底的对数log10N，简记为lgN；

（2）自然对数：

以无理数e＝2.71828…为底的对数logeN，简记为lnN.（在科学技术中，常常使用以e为底的对数）注意：

两个重要对数的书写这两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式作准备．课堂练习（7分钟）1．将下列指数式写成对数式：

（1）24＝16；

（2）3－3＝127；（3）5a＝20；（4）12b＝0.45.2．将下列对数式写成指数式：

（1）log5125＝3；

（2）＝－2；（3）log10a＝－1.069.3．求下列各式的值：

（1）log264；

（2）log927.本练习让学生独立阅读课本例1和例2后思考完成，从而熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数概念的理解．并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题，培养学生严谨的思维品质．四、对数的性质（12分钟）探究活动1求下列各式的值：

（1）log31＝0；

（2）lg1＝0；（3）log0.51＝0；（4）ln1＝0.思考：

你发现了什么？

“1”的对数等于零，即loga1＝0（a＞0且a≠1），类比：

a0＝1（a＞0且a≠1）．探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论．通过练习与讨论的方式，让学生自己得出结论，从而能更好地理解和掌握对数的性质．培养学生类比、分析、归纳的能力.探究活动2求下列各式的值：

（1）log33＝1；

（2）lg10＝1；（3）log0.50.5＝1；（4）lne＝1.思考：

你发现了什么？

底数的对数等于“1”，即logaa＝1（a＞0且a≠1），类比：

a1＝a（a＞0且a≠1）．探究活动3求下列各式的值：

（1）＝3；

（2）＝0.6；（3）＝89.思考：

你发现了什么？

对数恒等式：

＝N（a＞0且a≠1）．探究活动4求下列各式的值：

（1）log334＝4；

（2）log0.90.95＝5；（3）lne8＝8.思考：

你发现了什么？

对数恒等式：

logaan＝n（a＞0且a≠1）.讲授新课小结负数和零没有对数；“1”的对数等于零，即loga1＝0；底数的对数等于“1”，即logaa＝1；对数恒等式：

＝N；对数恒等式：

logaan＝n.（a＞0且a≠1）将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质．归纳小结，强化思想（3分钟）1．引入对数的必要性――对数的概念一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN.2．指数与对数的关系3．对数的基本性质负数和零没有对数；loga1＝0；logaa＝1；对数恒等式：

＝N；logaan＝n.总结是一堂课内容的概括，有利于学生系统地掌握所学内容．同时，将本节内容纳入已有的知识体系中，发挥承上启下的作用．为下一课时对数的运算打下扎实的基础．

作业布置一、课本习题2.2A组第1,2题．二、已知loga2＝x，loga3＝y，求a3x＋2y的值．三、求下列各式的值：

；；；.作业是学生信息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题，弥补教学中的不足．

板书设计2.2.1　对数与对数运算第1课时引例1引例2一、对数的定义二、对数式与指数式的互化练习三、对数的基本性质四、小结五、作业布置教学反思本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的学习兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握．第2课时作者：

卢岩冰整体设计教学目标1．知识与技能

（1）通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．

（2）运用对数的运算性质解决有关问题．（3）培养学生分析、解决问题的能力．培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法

（1）让学生经历并推导出对数的运算性质．

（2）让学生归纳整理本节所学的知识．3．情感态度与价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．重点难点重点：

对数运算的性质与对数知识的应用．难点：

正确使用对数的运算性质．教学过程导入新课思路1．上节课我们学习了以下内容：

1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化．ab＝N⇔logaN＝b.3．重要性质：

（1）负数与零没有对数；

（2）loga1＝0，logaa＝1；（3）对数恒等式＝N.下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：

对数与对数运算

（2）〕．思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则：

am•an＝am＋n；am÷an＝am－n；（am）n＝amn；man＝.（a＞0且a≠1）从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？

答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：

对数与对数运算

（2）．推进新课新知探究提出问题

（1）在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算的性质，得出相应的对数运算的性质吗？

（2）如我们知道am＝M，an＝N，am•an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？

（3）在上述

（2）的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？

（4）你能否用最简练的语言描述上述结论？

如果能，请描述.（5）上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？

（6）上述结论能否推广呢？

（7）学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？

讨论结果：

（1）通过问题

（2）来说明．

（2）若am•an＝am＋n，M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由对数的定义得到M＝am⇔m＝logaM，N＝an⇔n＝logaN，MN＝am＋n⇔m＋n＝logaMN，logaMN＝logaM＋logaN.因此m＋n可以用对数式表示．（3）令M＝am，N＝an，则MN＝am÷an＝am－n，所以m－n＝logaMN.又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.所以logaM－logaN＝m－n＝logaMN，即logaMN＝logaM－logaN.设M＝am，则Mn＝（am）n＝amn.由对数的定义，所以logaM＝m，logaMn＝mn.所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM.这样我们得到对数的三个运算性质：

如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有loga（MN）＝logaM＋logaN；①logaMN＝logaM－logaN；②logaMn＝nlogaM（n∈R）．③（4）以上三个性质可以归纳为：

性质①：

两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：

两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；性质③：

幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．（5）利用对数运算性质进行运算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.（6）性质①可以推广到n个数的情形：

即loga（M1M2M3…Mn）＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn（其中a＞0，a≠1，M1，M2，M3，…，Mn均大于0）．（7）纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，方便了对数式的化简和求值．应用示例例1用logax，logay，logaz表示下列各式：

（1）logaxyz；

（2）logax2y3z.活动：

学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．利用对数的运算性质，把整体分解成部分．对

（1）logaxyz，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．对

（2）logax2y3z，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．解：

（1）logaxyz＝loga（xy）－logaz＝logax＋logay－logaz；

（2）logax2y3z＝loga（x2y）－loga3z＝logax2＋logay－loga3z＝2logax＋12logay－13logaz.点评：

对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．变式训练1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正确的个数为（　　）①logax•logay＝loga（x＋y）；②logax－logay＝loga（x－y）；③logaxy＝logax÷logay；④loga（xy）＝logax•logay.A．0B．1C．2D．3答案：

A2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，下列式子正确的个数为（　　）①（logax）n＝nlogax；②（logax）n＝logaxn；③logax＝－loga1x；④logaxlogay＝logaxy；⑤nlogax＝1nlogax；⑥1nlogax＝loganx；⑦logaxn＝nlogax；⑧logax－yx＋y＝－logax＋yx－y.A．3B．4C．5D．6答案：

B例2求值：

（1）；

（2）log3127.解：

（1）解法一：

设，则（3）x＝33＝（3）3，所以x＝3.解法二：

.

（2）解法一：

令x＝log3127，则3x＝127，即3x＝3－3，所以x＝－3.解法二：

log3127＝log33－3＝－3.例3计算：

（1）lg14－2lg73＋lg7－lg18；

（2）lg243lg9；（3）lg27＋lg8－3lg10lg1.2.解：

（1）解法一：

lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg（2×7）－2（lg7－lg3）＋lg7－lg（32×2）＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：

lg14－2lg73＋lg7－lg18＝lg14－lg732＋lg7－lg18＝lg14×7732×18＝lg1＝0.

（2）lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52.（3）lg27＋lg8－3lg10lg1.2＝＝32（lg3＋2lg2－1）lg3＋2lg2－1＝32.点评：

此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如（3）题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；

（2）题要避免错用对数的运算性质．对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．例4设x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．活动：

学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数的定义求2x，再求23x，从而可求，或先化简再代入求值．解法一：

由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x－2－x＝33－1333－13＝32＋3×13＋132＝919.解法二：

由x＝log23，得2x＝3,2－x＝13，所以23x－2－3x2x－2－x＝（2x－2－x）（22x＋1＋2－2x）2x－2－x＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋132＝919.知能训练课本本节练习第1,2,3题．【补充练习】1．用logax，logay，logaz，loga（x＋y），loga（x－y）表示下列各式：

（1）loga3xy2z；

（2）logax•4z3y2；（3）；（4）logaxyx2－y2；（5）logax＋yx－y•y；（6）logayx（x－y）3.解：

（1）loga3xy2z＝loga3x－logay2z＝13logax－（2logay＋logaz）＝13logax－2logay－logaz；

（2）logax•4z3y2＝logax＋loga4z3y2＝logax＋14（logaz3－logay2）＝logax－24logay＋34logaz＝logax－12logay＋34logaz；（3）＝logax＋＋＝logax＋12logay－23logaz；（4）logaxyx2－y2＝logaxy－loga（x2－y2）＝logax＋logay－loga（x＋y）（x－y）＝logax＋logay－loga（x＋y）－loga（x－y）；（5）logax＋yx－y•y＝logax＋yx－y＋logay＝loga（x＋y）－loga（x－y）＋logay；（6）logayx（x－y）3＝3[logay－logax－loga（x－y）]＝3logay－3logax－3loga（x－y）．2．已知f（x6）＝log2x，则f（8）等于（　　）A．43B．8C．18D．12解析：

因为f（x6）＝log2x，x＞0，令x6＝8，得，所以f（8）＝＝12.另解：

因为f（x6）＝log2x＝16log2x6，所以f（x）＝16log2x.所以f（8）＝16log28＝16log223＝12.答案：

D拓展提升已知x，y，z＞0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求的值．活动：

学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.解：

令，则lgt＝1lgy＋1lgzlgx＋1lgz＋1lgxlgy＋1lgx＋1lgylgz＝lgxlgy＋lgxlgz＋lgylgz＋lgylgx＋lgzlgx＋lgzlgy＝lgx＋lgzlgy＋lgx＋lgylgz＋lgy＋lgzlgx＝－lgylgy＋－lgzlgz＋－lgxlgx＝－3，所以t＝10－3＝11000即为所求．课堂小结1．对数的运算性质．2．对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用．3．对数与指数形式比较：

式子ab＝NlogaN＝b名称a――幂的底数b――幂的指数N――幂值a――对数的底数b――以a为底的N的对数N――真数运算性质am•an＝am＋n；am÷an＝am－n；（am）n＝amn；（a＞0，a≠1，m，n∈R）loga（MN）＝logaM＋logaN；logaMN＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM（n∈R）；（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）作业课本习题2.2A组　3,4,5.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．第3课时作者：

刘菲整体设计教学目标1．知识与技能推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识．3．情感态度与价值观通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用．重点难点重点：

对数的运算性质、换底公式及其应用．难点：

正确使用对数的运算性质和换底公式．教学过程导入新课思路1．问题：

你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？

a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝logcca.教师直接点出课题：

对数与对数运算（3）――对数的换底公式及其应用．思路2．前两节课我们学习了以下内容：

1．对数的定义及性质；2．对数恒等式；3．对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？

这就是本堂课的主要内容．教师板书课题：

对数与对数运算（3）――对数的换底公式及其应用．思路3．从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？

这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：

对数与对数运算（3）――对数的换底公式及其应用．推进新课新知探究提出问题

（1）已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求log23的值；

（2）根据

（1），如a＞0，a≠1，你能用含a的对数式来表示log23吗？

（3）更一般地，我们有logab＝logcca，如何证明？

（4）证明logab＝logcca的依据是什么？

（5）你能用自己的话概括出换底公式吗？

（6）换底公式的意义是什么？

有什么作用？

活动：

学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对

（1）目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对

（2）参考

（1）的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对（3）借助

（1）

（2）的思路，利用对数的定义来证明；对（4）根据证明的过程来说明；对（5）抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对（6）换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：

（1）因为lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，根据对数的定义，所以100.3010＝2,100.4771＝3.不妨设log23＝x，则2x＝3，所以（100.3010）x＝100.4771,100.3010×x＝100.4771，即0.3010x＝0.4771，x＝0.47710.3010＝lg3lg2.因此log23＝lg3lg2＝0.47710.3010≈1.5850.

（2）根据

（1）我们看到，最后的结果是log23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log23＝x，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a为底的对数，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝loga3loga2，也就是log23＝loga3loga2.这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商．（3）证明logab＝logcca.证明：

设logab＝x，由对数定义知道，ax＝b；两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb⇒xlogca＝logcb；所以x＝logcca，即logab＝logcca.一般地，logab＝logcca（a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0）称为对数的换底公式．（4）由（3）的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：

若M＞0，N＞0，M＝N，则logaM＝lo