直线和圆基础习题和经典习题加答案.docx
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直线和圆基础习题和经典习题加答案
【知识网络】
综合复习和应用直线xx的基础知识,解决对称问题、轨迹问题、最值问题,以及直线与圆和其他数学知识的综合问题,提高分析问题和解决问题能力.
【典型例题】
[例1]
(1)直线x+y=1与圆x2+y2-2ay=0(a>0)没有公共点,则a的取值范围是()
A.(0,-1)B.(-1,+1)
C.(--1,-1)D.(0,+1
(2)圆(x-1)2+(y+)2=1的切线方程中有一个是()
A.x-y=0B.x+y=.x=0D.y=0
(3)“a=b”是“直线”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
(4)已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为.
(5)过点(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=.
[例2]设圆上点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,求圆的方程.
[例3]已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:
x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于λ(λ>0).求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
[例4]已知与曲线C:
x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l叫x轴,y轴于A,B两点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).
(1)求证:
(a-2)(b-2)=2;
(2)求线段AB中点的轨迹方程;
(3)求△AOB面积的最小值.
【课内练习】
1.过坐标原点且与圆x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为()
A.y=-3x或y=xB.y=3x或y=-x
C.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x
2.圆(x-2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()
A.(x+2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5
C.(x-2)2+(y-2)2=5D.x2+(y+2)2=5
3.对曲线|x|-|y|=1围成的图形,下列叙述不正确的是()
A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点轴对称D.关于y=x轴对称
4.直线l1:
y=kx+1与圆x2+y2+kx-y-4=0的两个交点关于直线l2:
y+x=0对称,那么这两个交点中有一个是()
A.(1,2)B.(-1,2)C.(-3,2)D.(2,-3)
5.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则k的取值范围是.
6.已知直线ax+by+c=0与圆O:
x2+y2=1相交于A、B两点,且|AB|=,则 =.
7.直线l1:
y=-2x+4关于点M(2,3)的对称直线方程是.
8.求直线l1:
x+y-4=0关于直线l:
4y+3x-1=0对称的直线l2的方程.
9.已知圆C:
x2+y2+2x-4y+3=0
(1)若C的切线在x轴,y轴上的截距的绝对值相等,求此切线方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)xx一条切线,切点为M,O为原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的P点的坐标.
10.由动点P引圆x2+y2=10的两条切线PA,PB,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.
(1)若k1+k2+k1k2=-1,求动点P的轨迹方程;
(2)若点P在直线x+y=mxx,且PA⊥PB,求实数m的取值范围.
11.5直线与圆的综合应用
A组
1.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()
A.±B.±.±2D.±4
2.将直线2x-y+λ=0,沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为
A.-3或7B.-2或C.0或10D.1或11
3.从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()
A.πB.2πC.4πD.6π
4.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(a,b均不为0)共线,则的值等于.
5.设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4有两个不同的交点A,B,且弦AB的长为2,则a等于.
6.光线经过点A(1,),经直线l:
x+y+1=0反射,反射线经过点B(1,1).
(1)求入射线所在的方程;
(2)求反射点的坐标.
7.在△ABCxx,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线方程为y=0,若B点的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
8.过圆O:
x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作这个圆的切线l,M为lxx任意一点,过M作圆O的另一条切线,切点为Q,当点M在直线lxx移动时,求△MAQ垂心H的轨迹方程.
B组
1.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()
A.πB.4πC.8πD.9π
2.和x轴相切,且与圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是()
A.x2=2y+1B.x2=-2y+.x2=2y-1D.x2=2|y|+1
3.设直线的方程是,从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值,则所得不同直线的条数是()
A.20 B.19C.18D.16
4.设直线和圆相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程是.
5.已知圆M:
(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:
y=kx,下面四个命题
A.对任意实数k和θ,直线l和圆M都相切;
B.对任意实数k和θ,直线l和圆M有公共点;
C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切;
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切.
其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).
6.已知点A,B的坐标为(-3,0),(3,0),C为线段AB上的任意一点,P,Q是分别以AC,BC为直径的两圆O1,O2的外公切线的切点,求PQ中点的轨迹方程.
7.已知△ABC的顶点A(-1,-4),且∠B和∠C的平分线分别为lBT:
y+1=0,lCK:
x+y+1=0,求BC边所在直线的方程.
8.设a,b,c,都是整数,过圆x2+y2=(+1)2外一点P(b3-b,c3-c)xx两条切线,试证明:
过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(纵横坐标均为整数的点).
11.5直线与圆的综合应用
【典型例题】
例1
(1)A.提示:
用点到直线的距离公式.
(2)C.提示:
依据圆心和半径判断.
(3)A.提示:
将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系.
(4)-18或8.提示:
用点到直线的距离公式,注意去绝对值符号时的两种可能情况.
(5).提示:
过圆心(2,0)与点(1,)的直线m的斜率是-,要使劣弧所对圆心角最小,只需直线l与直线m垂直.
例2、设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆xx,说明圆心在直线x+2y=0xx,a+2b=0,又(2-a)2+(3-b)2=r2,而圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,,故r2-()2=2,依据xx述方程解得:
或
∴所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52,或(x-14)2+(y+7)2=224.
例3、设切点为N,则|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,设M(x,y),则,整理得(λ2-1)(x2+y2)-4λx+(1+4λ2)=0
当λ=1时,表示直线x=;
当λ≠1时,方程化为,它表示圆心在,半径为的一个圆.
例4、
(1)设出直线方程的截距式,用点到直线的距离等于1,化减即得;
(2)设AB中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2,得(x-1)(y-1)=(x>1,y>1);
(3)由(a-2)(b-2)=2得ab+2=2(a+b)≥4,解得≥2+(≤2-不合,舍去),当且仅当a=b时,ab取最小值6+4,△AOB面积的最小值是3+2.
【课内练习】
1.A.提示:
依据圆心到直线的距离求直线的斜率.
2.D.提示:
求圆心关于原点的对称点.
3.C.提示:
画xx看,或考虑有关字母替代规律.
4.A.提示:
圆心在直线l2xx.
5.0<k<.提示:
直接用点到直线的距离公式或用△法.
6..提示:
求弦所对圆心角.
7.2x+y-10=0.提示:
所求直线上任意一点(x,y)关于(2,3)的对称点(4-x,6-y)在已知直线上.
8.2x+11y+16=0.提示:
求出两直线的交点,再求一个特殊点关于l的对称点,用两点式写l2的方程;或直接设l2xx的任意一点,求其关于l的对称点,对称点在直线l1xx.求对称点时注意,一是垂直,二是平分.
9.
(1)提示:
∵切线在x轴,y轴上的截距的绝对值相等,∴切线的斜率是±1.分别依据斜率设出切线的斜率,用点到直线的距离公式,或△法,解得切线的方程为:
x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.
(2)将圆的方程化成标准式(x+1)2+(y-2)2=2,圆心C(-1,2),半径r=,
∵切线PM与CM垂直,∴|PM|2=|PC|2-|CM|2,
又∵|PM|=|PO|,坐标代入化简得2x1-4y1+3=0.
|PM|最小时即|PO|最小,而|PO|最小即P点到直线2x1-4y1+3=0的距离,即.
从而解方程组,得满足条件的点P坐标为(-,).
10.
(1)由题意设P(x0,y0)在圆外,切线l:
y-y0=k(x-x0),,
∴(x02-10)k2-2x0·y0k+y02-10=0
由k1+k2+k1k2=-1得点P的轨迹方程是x+y±2=0.
(2)∵P(x0,y0)在直线x+y=mxx,∴y0=m-x0,又PA⊥PB,∴k1k2=-1,,即:
x02+y02=20,将y0=m-x0代入化简得,2x02-2mx0+m2-20=0
∵△≥0,∴-2≤m≤2,又∵x02+y02>10恒成立,∴m>2,或m<-2
∴m的取值范围是[-2,-2]∪(2,2]
11.5直线与圆的综合应用
A组
1.B.提示:
用点到直线的距离公式或用△法.
2.A.提示:
先求出向左平移后直线的方程,再用点到直线的距离公式.
3.B.提示:
考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角.
4..提示:
由三点共线得两两连线斜率相等,+2b=ab,两边同除以ab即可.
5.0.提示:
依据半径、弦长、弦心距的关系求解.
6.
(1)入射线所在直线的方程是:
5x-4y+2=0;
(2)反射点(-,-).提示:
用入射角等于反射角原理.
7.点A既在BC边上的高所在的直线上,又在∠A的平分线所在直线上,由
得A(-1,0)
∴kAB=1
又∠A的平分线所在直线方程为y=0
∴kAC=-1
∴AC边所在的直线方程为y=-(x+1)①
又kBC=-2,
∴BC边所在的直线方程为y-2=-2(x-1)②
①②联列得C的坐标为(5,-6)
8.设所求轨迹上的任意一点H(x,y),圆上的切点Q(x0,y0)
∵QH⊥l,AH⊥MQ,∴AH∥OQ,AQ∥QH.又|OA|=|OQ|,∴四边形AOQH为菱形.
∴x0=x,y0=y-2.
∵点Q(x0,y0)在圆上,x02+y02=4
∴H点的轨迹方程是:
x2+(y-2)2=4(x≠0).
B组
1.B.提示:
直接将动点坐标代如等式,求得点的轨迹是一个以(2,0)为圆心,2为半径的圆.
2.D.提示:
设圆心(x,y),则
3.C.提示:
考虑斜率不相等的情况.
4..提示:
弦的垂直平分线过圆心.
5.B,D.提示:
圆心到直线的距离=|sin(θ+)|≤1.
6.作MC⊥AB交PQ于M,则MC是两圆的公切线.|MC|=|MQ|=|MP|,M为PQ的中点.设M(x,y),则点C,O1,O2的坐标分别为(x,0),(,0),(,0)
xxO,O,由平面几何知识知∠O1MO2=90°.
∴|O|2+|O|2=|O1O2|2,代入坐标化简得:
x2+4y2=9(-3<x<3)
7.∵BT,CK分别是∠B和∠C的平分线,∴点A关于BT,CK的对称点A′,A″必在BC所在直线上,所以BC的方程是x+2y-3=0.
8.线段OP的中点坐标为((b3-b),(c3-c)),以OP为直径的圆的方程是[x-(b3-b)]2+[y-(c3-c)]2=[(b3-b)]2+[(c3-c)]2……①
将x2+y2=(+1)2代入①得:
(b3-b)x+(c3-c)y=(+1)2
这就是过两切点的切线方程.
因b3-b=b(b+1)(b-1),它为三个连续整数的乘积,显然能被整除.
同理,c3-c也能被3整除.
于是(+1)2要能被3整除,+1要能被3整除,因a是整数,故这是不可能的.
从而原命题得证.