即|P'A-P'B|<|PA-PB|
已知：
如图，定点AB分布在定直线I的两侧（A、B两
点到I的距离不相等）
要求：
在直线I上找一点P,使|PA-PB|的值最大
解：
作点B关于直线I的对称点B',连接B'A并延长交
于点P,点P即为所求；
J/I
1
理由：
根据对称的性质知1为线段BB'的中垂线，由中垂
『□—i
F、i
线的性质得：
PB-PB,要使|PA-PB|最大，则需
|PA-PB'|值最大，从而转化为模型3.
典型例题1-1
2
如图，直线y=§x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分
别为线段AB0B的中点，点P为0A上一动点，当PC+PD最小时，
点P的坐标为，此时PC+PD勺最小值为.
【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD直最小，由条件知CD为△BAO的中位线，0P为△CDD'的中位线，易求0P长，从而求出P点坐标；PC+PD勺最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算
【解答】连接CD作点D关于x轴的对称点D',连接CD交x轴
2
于点P,此时PC+PD直最小.令y=^x+4中x=0,则y=4,
3
22
•••点B坐标（0,4）;令y=-x+4中y=0,则-x+4=0，解得：
x=-6,二点A的坐标
33
为（-6,0）.•••点C、D分别为线段ABOB的中点，•CDBAO的中位线，
•CD//x轴，且CD=2AO=3
•••点D'和点D关于x轴对称，•O为DD的中点，
D（0,-1）,•0卩为厶CDD的中位线，•OP=2CD=3,
•••点P的坐标为（-1,0）.在Rt△CDD中，
CD=..CD2DD2=,3242=5，即PC+PD勺最小值为5.
【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变
化，C、D不是AB和OB中点时，则先求直线CD的解析
式，再求其与x轴的交点P的坐标.
典型例题1-2
2-
\
-1
°
L
\
3r
ft
|PA-PB|的最大值是
如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0,1），点B
的坐标为（2,-2）,点P在直线y=-x上运动，当|PA-PB|最
大时点P的坐标为
【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y=-x对称点C,连接BC,可得直线BC的方程；求得BC与直线y=-x的交点P的坐标；此时|PA-PB|=|PC-PB|=BC取得最大值,再用两点之间的距离公式求此最大值•
【解答】作A关于直线y=-x对称点C,
易得C的坐标为（-1,0）;
连接BC,可得直线BC
的方程为y=-|x-善，与直线
y=-x联立解得交点坐标P为（4,-4）;此时|PA
-PB|=|PC-PB|=BC取得最大值,
最大值BC=JG1）2
（2）2=卑；
【小结】“两点一线”大多考查基本模型
2和4，需作一次对称点，连线得交点
变式训练1-1
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5,0）,OB=4v5，点P是对角线OB上的一个动点，D（0,1）,当CP+DP最短时，点P的坐标为（）
A.（0,0）B.（1,2）C.（5,5）D•（弓,7）
变式训练1-2
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点0,AC=2
BD=2v3,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，贝UPE+PB勺
最小值为.
变式训练1-3
如图，已知直线y=1x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=?
x2+bx+c与直线交于
A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,0）.
（1）求该抛物线的解析式;
拓展模型
已知：
如图，A为锐角/MOM—定点；
要求：
在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q使
AP+PQ的值最小.
解：
过点A作AQLON于点Q,AQ与0M相交于点P,此
时，AP+PQ最小；
理由：
AP+P®AQ当且仅当AP、Q三点共线时，
AP+PQ取得最小值AQ根据垂线段最短，当
AQLON时，AQ最小.
已知：
如图，A为锐角/MON内一定点；
AP+PQ的值最小.
要求：
在射线OM上找一点P,在射线ON上找一点Q使
解：
作点A关于0M的对称点A',过点A'作AQLON
3.
于点QAQ交0M于点P,此时AP+PC最小；
理由：
由轴对称的性质知AP=AP,要使AP+PQ最小,
只需AP+PQ最小，从而转化为拓展模型1
已知：
如图，A为锐角/MON内一定点；
要求：
在射线OMk找一点P,在射线ON上找一点Q使
△APQ的周长最小
解：
分别作A点关于直线OM的对称点Ai,关于ON的对
称点A2,连接AiA2交OM于点P,交ON于点Q,点
P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值
即为线段A1A2的长度；
理由：
由轴对称的性质知AP=AP,AQ=AQ△APQ的周
长AP+PQ+AQ=A+PQ+AQ当Ai、P、QA四点共线
时，其值最小•
要求：
在OM上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形
APQB勺周长最小
解：
作点A关于直线OM的对称点A',作点B关于直线
ON的对称点B',连接A'B'交OM于P,交ON于Q,则点P、点Q即为所求，此时四边形APQE周长的最小值即为线段AB和A'B'的长度之和；
理由：
AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA',将
QB转化为QB，当A'、P、QB'四点共线时，
PA+QQB'的值最小，即PA+PQfQB的值最小.
5.搭桥模型
已知：
如图，直线m//n,A、B分别为m上方和n下方的定
点，（直线AB不与m垂直）
要求：
在mn之间求作垂线段PQ使得AP+PQ+B最小.
分析：
PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使
P、Q“接头”，转化为基本模型
解：
如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至
点A',使得AA'=PQ连接AB交直线n于点
Q,过点Q作PQLn,交直线m于点P,线段PQ即
为所求，此时AP+PQ+B（最小.
理由：
易知四边形QPAA为平行四边形，则QA=PA
当B、QA'三点共线时，QA+BQ最小，即
AP+BC最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+B最小.
6.
已知：
如图，定点AB分布于直线I两侧，长度为a
（a为定值）的线段PQ在I上移动（P在Q左边）要求：
确定PQ的位置，使得AP+PQ+Q最小分析：
PQ为定值，只需AP+QB勺值最小，可通过平移,
使P、Q“接头”，转化为基本模型
解：
将点A沿着平行于I的方向，向右移至A',使
AA'PQ=a，连接A'B交直线I于点Q,在I上截取
PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时
AP+PQ+Q的最小值为A'B+PQ即A'B+a
理由：
易知四边形APQA为平行四边形，贝UPA=QA,
当A'、QB三点共线时，QA+QB最小，即PA+QB
最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+Q值最小.
已知：
如图，定点A、B分布于直线I的同侧，长度a
（a为定值）的线段PQ在I上移动（P在Q左边）
要求：
确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小分析：
AB长度确定，只需AP+PQ+Q最小，通过作A点
关于I的对称点，转化为上述模型3
解：
作A点关于I的对称点A',将点A'沿着平行于I的方向，向右移至A，‘使AA=PQ=a连接AB交I于Q,在I上截取QP=a（P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
AB+AB+PQ即卩AB+AB+a
典型例题2-1
如图，在矩形ABCD中,AB=10,BC=5若点MN分别是线段
AB上的两个动点，则BM+M的最小值为
【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E,再过点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN勺最小值，借助等面积法和相似可求其长度•
AC
E
【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作ENLAB于N,贝UBM+MN=EM+MN
其最小值即EN长；TAB=10,BC=5
二AC=AB2BC2=55,
等面积法求得AC边上的高为105=2.、5,•••BE=4、5,
5/5
易知△AB3AENB
EN=8
即BM+MN勺最小值为8.
【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作
定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的
对称点易解.
典型例题2-2
如图，/AOB=60，点P是/AOB内的定点且0P*5，点MN分别
是射线OAOB上异于点O的动点，则厶PMN周长的最小值是（）
A.B.C.6D.3
8
3的特征；作P点分别关于OAOB的对称点CD,连接CD分别交
H
f
fi
Sf
C
廿
OCOD
则MP=MCNP=NDOP=OD=OC=，/BOP=zBOD/AOP=AOC
:
.PN+PM+MN=ND+MN+NC=DGCOD2BOP丄BOD+ZAOP+ZAOC=ZAOB=120,
（2）当BP+PM+ME的长度最小时，请求出点P的坐标.
（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME是平行四边形，可得OP=EM
PM是定值，PB+ME=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，此时P点为
•••四边形OPME是平行四边形
【分析】符合拓展模型
OAOB于MN,此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接
CD.
【解答】作P点分别关于OAOB的对称点
CD,连接CD分别交OAOB于MN,如图,
【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的
等腰三角形，是解题的关键，也是难点
为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D,AD=2OC=6
ZA=60°,线段EF所在的直线为
OD的垂直平分线，点P为
（1）请直接写出点A坐标为
，点B坐标为
【分析】
（1）解直角三角形求出ODBD的长即可解决;
直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得
P点坐标;
（2）如图，连接OP•/EF垂直平分线段ODPMLOC
•ZPEO=ZEOMZPMO=90，•四边形OMPE是矩形,
•PM=OE=「；，•••OE=OE,•PM=OE,PM//OE,
分析条件知△
OCE是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边
•此时△PMN周长最小，作OHLCD于H,
即厶PMN周长的最小值是3;
故选：
D.
典型例题2-3
如图，已知平行四边形ABCO以点O为原点，OC所在的直线
M点，点E与E'关于x轴
线段EF上的动点，PMLx轴于点
对称，连接BPE'M
【解答】
（1）在Rt△ADO中,vZA=60°,AD=2,
•OD=2^tan60°=2：
：
•A（-2,2、；）,
•••四边形ABCO是平行四边形，•AB=OC=6
•DB=6-2=4,「.B（4,2「；）
贝UCH=DHv
ZOCH=30，^畤畤，
•CD=2CH=3
chV^oh三
•••OP=EM：
PM是定值，•••PB+ME=OP+PB勺值最小时，BP+PM+ME的长度最小，
•••当OP、B共线时，BP+PM+ME的长度最小，•••直线OB的解析式为yMI_x,
2
•P（2，好.
【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边
形）的方法，转化为基本模型
【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的
解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.
1
（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-^x2+x+4的对称轴为x=1,
将点A向上平移至A（-2,1）,则AF=AE,作A关于对称轴x=1的对称点
A（4,1）,连接AC,A2C与对称轴交于点E,E为所求，可求得A2C的解析式
1773
为y=-[X+2，当x=1时，y=4，•点E的坐标为（1,-），点F的坐标为（1,-）•
变式训练2-1
几何模型：
条件：
如图1,A,B是直线I同旁的两个定点.
问题：
在直线I上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法：
作点A关于直线I的对称点A'连接AB交I于点P,即为所求•（不必证明）模型应用：
（1）如图2,已知平面直角坐标系中两定点A（0,-1）和B（2,-1）,P为x轴上一动
点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB.
（2）如图3,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD,由
正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称•连接ED交AC于P,贝UPB+PE的最小
值是.
（3）如图4,在菱形ABCD中,AB=10,ZDAB=60,P是对角线AC上一动点，E,F分别是线段AB和BC上的动点，贝UPE+PF的最小值是.
（4）如图5,在菱形ABCD中,AB=6,ZB=60°,点G是边CD边的中点，点E.F分别是
变式训练2-2
如图，矩形ABCD中,AD=15AB=10,E为AB边上一点，且
DE=2AE连接CE与对角线BD交于F;若P、Q分别为AB边
和BC边上的动点，连接EPPQ和QF则四边形EPQF周长
的最小值是.
变式训练2-3
如图，已知直线l1IIl2,|1、l2之间的距离为8,点P到直线l1的
离为6，点Q到直线丨2的距离为4，PQ=4-「I，在直线li上有一动点A,直线I2上有一动点B,满足AB丄12,且PA+AB+BQt小，此时
PA+BQ=
变式训练2-4
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC勺边0A在y轴的正半轴上，0C在x轴的正半轴上，OA=AB=20C=3过点B作BD丄BC,交0A于点D.将/DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.
（1）求经过AB、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过
（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标.
中考真题
2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）
A（呻B（0寺C（0，2）
9.如图，菱形ABCD的边长为6，/ABC=120,M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC
上的动点，当PB+PM勺值最小时，PM的长是（）
A
1B
3
C.
Vs
10.如图，在
Rt△ABC中，/
ACB=90,
AC=6,BC=8AD平分/
CAB交BC于D点，E,F分
别是AD
AC上的动点，则
CE+EF的最小值为（
）
A.
40
T
B.
15
C.
24
D.6
（x>0）的图象与边长是6的正方形OABC
11.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y
X
的两边AB,BC分别相交于M,N两点.△OMN勺面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（）
明理由.
14.如图，在四边形ABCD中，/B=ZC=90°,AB>CD,AD=AB+CD
（1）用尺规作/ADO的平分线DE交BC于点E,连接AE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在
（1）的条件下，
1证明：
AE±DE
2若CD=2AB=4,点MN分别是AEAB上的动点，求BM+M的最小值.
2
15.如图，抛物线y=ax+bx+c（0）经过点A（-1,0）,B（3,0）,C（0,3）三点.
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接ACBC,N为抛物线上的点且在第四象限，当&nb=S^abc时，求N点的坐标；
（3）在
（2）问的条件下，过点C作直线l//x轴，动点P（m3）在直线l上，动点Q（m,
0）在x轴上，连接PMPQNQ当m为何值时，PM+PQ+Q的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值.
.2
16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A,C两点的二次函数y=ax+4x+c的图象交x轴于另一点B.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC,点N是线段BC上的动点，作ND!
x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值；
（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4,m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标.
17.如图1,已知抛物线y=—（x-2）（x+a）（a>0）与x轴从左至右交于A,B两点，与y
a
轴交于点C.
（1）若抛物线过点T（1,-¥），求抛物线的解析式；
4
（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D,使得以A、BD三点为顶点的三角形与△
ABC相似？
若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.
（3）如图2,在
（1）的条件下，点P的坐标为（-1,1），点Q（6,t）是抛物线上的点，
在x轴上，从左至右有MN两点，且MN=2问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？
请直接写出符合条件的点M的坐标.
IH11*12笛川厲
18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（-1,0）,C（0,5）两点，与x轴另一交点为B.已知M（0,1）,E（a,0）,F（a+1,0）,P是第一象限内抛物线上的动点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP勺面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若厶PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？
请说明理由.
19.
探究：
小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点Pi
（X1,y1）,P2（X2,y）,可通过构造直角三角形利用图1得到结论：
Pa=fy厂巧）2他还利用图2证明了线段P1P2的中点（x,y）P的坐标公式：
（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：
（2［①已知点M（2,-1）,N（-3,5）,则线段MN长度为,
②直接写出以点A（2,2）,B（-2,0）,C（3,-1）,D为顶点的平行四边形顶点
D的坐标：
4
拓展：
（3）如图3,点P（2,n）在函数y=x（x>0）的图象0L与x轴正半轴夹角的平
分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F,使厶PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值.
20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（-4,0）、B（0,3）,抛物线y=-x+2x+1与y轴交于点C.
（1）求直线y=kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x,y）是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=-x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF勺最
21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6以OA为边长作等边三角形ABC使得BC//OA且
点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQLAB,若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）
在BC边上取两点E、F,使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G,在抛物线的对称轴上找一点H,使得四边形EGHF勺周长最小，并求出周长的最小值.
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