二级倒立摆模糊控制设计.docx
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二级倒立摆模糊控制设计
绪论1
1倒立摆系统的建模2
1.1倒立摆系统的特性分析2
1.2二级倒立摆系统的数学建模3
1.2.1基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立4
1.3二级倒立摆系统数学模型的线性化处理5
2线性二次型最优控制（LQR）的方案设计8
2.1二级倒立摆性能分析8
2.1.1稳定性分析8
2.1.2能控性能观性分析9
2.2线性二次型最优调节器原理11
2.3加权阵Q和R的选择13
3模糊控制的基本原理14
3.1模糊理论的基本知识14
3.1.1模糊控制概述14
3.1.2模糊集合15
3.1.3模糊规则和模糊推理16
3.1.4反模糊化17
3.2模糊控制系统的设计17
3.2.1模糊控制系统的组成及原理17
3.2.2模糊控制器设计的基本方法与步骤19
3.3二级倒立摆模糊控制器的设计20
4二级倒立摆模糊控制系统的MATLAB仿真23
4.1基于最优调节器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真24
4.2基于模糊控制器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真26
4.2.1二级倒立摆模糊控制系统的仿真波形26
4.2.2量化因子和比例因子对模糊控制器性能的影响28
4.3两种控制系统的MATLAB仿真对比研究29
结束语30
致31
参考文献32
附录33
本文以二级倒立摆模型为控制对象，首先阐述了倒立摆系统控制算法的研究
发展过程和现状，介绍了倒立摆系统的结构和数学模型，并详细推导了二级倒立摆的数学模型。
其次，本文主要研究倒立摆系统的现代控制方法以及智能控制方法，用LQR
最优控制方法、模糊控制理论设计了控制器，通过MATLAB及SIMULINK仿真两
个控制器，分析指出两方法的优缺点，结果表明：
智能控制策略不仅能满足非线性系统的控制要求，而且能明显改善控制指标，整个系统具有更好的动态特性。
最后完成了二级倒立摆系统控制程序的设计和调试，实验取得较好的仿真控效果，并对实验结果进行了详细的分析。
结论部分对本课题的意义、目的和工作内容进行总结。
关键词：
二级倒立摆，最优控制，模糊控制
ABSTRACT
Thepaperisfocusedonthedoubleinvertedpendulum.Afterdiscussing
thehistoricaldevelopmentprocessandthecurrenttendencyofthe
researchbasedontheinvertedpendulum,thepaperfirstlyintroducedthestructure
anddeducedthemathematicalmodelofthedoubleinvertedpendulum.Thenfocusesmainlyontheresearchoftheinvertedpendulumsystem'scontrolusingthedynamicalcontrolmethodsaswellastheintelligent
controlmethods,IdevelopedthesystemcontrollersbasedontheLQRoptimalcontrolmethodsandthefuzzycontrolmethods,IalsosimulatedthewholesystembyusingtheMATLABandtheSIMULINK,afterthattheadvantagesanddisadvantagesofthetwocontrolmethodshasbeenanalysed.Sotheconclusionindicatesthattheintelligentcontrolstrategiescannotonlyachievethecontrollingdemandofthenon-linearsystem,butalsomelioratesignificantlythecontrolindexofthesystem,asaresult,thewholesystem'sdynamiccharacteristichasbeenimprovedgreatly.Lastly,IdesignedanddebuggedthecodeformodelingaswellascontrollingthedoubleinvertedpendulumusingtheMATLAB.Thedesiredresultofthesimulationhasbeenrealizedanddiscussedindetail.Themeaning,thepurposeandthemaincontentofthepaperhasbeensummarizedintheendof
thepaper.
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论设计及测试的理想实验平台。
倒立摆系统控制涉及到机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域。
其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究⑴。
同时，由于实际机械系统中存在的各种摩擦力，实际倒立摆系统亦具有一定的不确定性。
倒立摆系统的控制涉及到许多典型的控制问题：
非线性问题、随动及跟踪问题、鲁棒性问题、非最小相位系统的镇定问题等等。
正是由于倒立摆系统的特殊性，许多不同领域的专家学者在检验新提出理论的正确性和实际可行性时，都将倒立摆系统作为实验测试平台。
再将经过测试后的控制理论和控制方法应用到更为广泛的领域中去⑴。
如：
把一级倒立摆的研究成果应用到对航空航天领域中的火箭发射推进器和卫星飞行状态控制的研究；把二级倒立摆的研究成果应道到双足机器人行走控制中[2]。
所以说，对倒立摆系统控制理论的研究不仅具有理论研究价值，也具有相当的实际工程应用价值。
倒立摆系统的传统控制方法主要是使用经典控制理论和现代控制理论。
它们都以精确的系统数学模型为控制对象。
经典控制理论在线性定常、输入输出量较少的系统中能很好的完成控制设计指标，经典控制理论的数学基础是拉普拉斯变换，占主导地位的分析和综合方法是频率域方法。
而现代控制理论是建立在状态空间分析法上的，基本分析方法是时域分析法。
这种方法能够克服经典控制理论的缺陷：
能够解决系统的输入输出变量过多、系统的非线性等问题。
现代控制理论已经在工业生产过程、军事科学、航空航天等许多方面都取得了成功的应用。
例如极小值原理可以用来解决某些最优控制问题；利用卡尔曼滤波器可以对具有有
色噪声的系统进行状态估计；预测控制理论可以对大滞后过程进行有效的控制。
但是它们都有一个基本的要求：
需要建立被控对象的精确数学模型⑶
随着科学技术的迅猛发展，各个领域对自动控制控制精度、响应速度、系统稳定性与适应能力的要求越来越高，所研究的系统也日益复杂多变。
然而由于一系列的原因，诸如被控对象或过程的非线性、时变性、多参数间的强烈耦合、较大的随机干扰、过程机理错综复杂、各种不确定性以及现场测量手段不完善等，难以建立被控对象的精确模型⑷。
虽然常规自适应控制技术可以解决一些问题，但范围是有限的。
对于像二级倒立摆这样的非线性、多参数、强耦合的被控对象，使用传统控制理论难以达到良好的控制性能。
而模糊控制理论能够克服这些困难，达到实际设计要求。
1倒立摆系统的建模
1.1倒立摆系统的特性分析
直线型二级倒立摆系统是典型的机械电子系统。
这种倒立摆系统具有如下特性：
（1）.开环不稳定系统。
倒立摆系统有两个平衡状态：
竖直向下和竖直向上。
竖直向下的状态是系统稳定的平衡点，而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。
（2）.不确定性。
主要是指建立系统数学模型时的参数误差、测量噪声以及机械传动过程
中的非线性因素所导致的难以量化的部分。
（3）.耦合特性。
倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。
这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。
（4）.仿射非线性系统。
倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。
（5）.欠冗余性。
一般地，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余结构，比如说冗余机器人有较大不同。
之所以采用欠冗余是要在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或者有效的空间。
由于以上倒立摆的特性，在建模时，为了简单起见，忽略系统中一些次要的难以建模的因素，如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性以及传动齿轮的间隙等等。
将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀
质刚体，摆杆绕转轴转动，这样不仅可以简化分析，而且可以建立系统较为精确的数学模型。
1.2二级倒立摆系统的数学建模
二级倒立摆系统如图2.1所示。
二级倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成。
在导轨一端装有用来测量小车位置的光电编码器。
摆体与小车之间、
摆体与摆体之间有转轴连接，并在连接处有两个光电编码器分别用来测量下摆和上摆的角度。
下摆和上摆可以绕各自的转轴在水平导轨上左右运动，从而使倒立摆稳定在竖直位置并且可以沿着导轨倒立行走。
图2.1二级倒立摆系统
建立系统的运动方程时，为了简化二级倒立摆系统的数学模型，忽略空气流动作用在摆杆上的力矩干扰，并做以下假设：
（1）.小车、下摆摆杆和上摆摆杆都是刚体；
（2）.皮带轮与皮带间无相对滑动，皮带不能拉伸变长；
（3）.小车与导轨之问的摩擦力与小车速度成正比；
（4）.各摆杆与转轴间的转动摩擦力矩与摆杆的角度成正比；
在建立模型时，定义二级倒立摆物理参数符号：
M,小车质量，取0.595kg
口丄，下摆刚性摆杆质量，取0.161kg
口二，上摆刚性摆杆质量，取0.142kg
L,下摆质心阳到转轴的距离，取0.124m
上摆质心匕到转轴上的距离，取0.227m
11,下摆摆杆长度，取0.151m
L,上摆摆杆长度，取0.151m
1,下摆摆杆与垂直向上方向所夹角度
二，上摆摆杆与垂直向上方向所夹角度
F,倒立摆系统的控制力
x,小车的水平位移量
下摆重心的水平位移量
'上摆重心的水平位移量
5下摆重心的垂直位移量
\上摆重心的垂直位移量
1;,小车与平台间的动摩擦系数，取11（）
'-,下摆与转轴・间的摩擦阻力矩系数，取0.00324（
上，上摆与转轴二间的摩擦阻力矩系数，取0.000774（）
'-,下摆到下摆质心匕的转动惯量，取0.00284（）
L上摆到上摆质心上的转动惯量，取0.002433（）
1.2.1基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立
（1）.对上摆进行受力分析：
对上摆列转矩平衡方程，可得
..：
in；\；I.'■j1：
（2-1
对上摆列水平方向受力方程，可得
=国卩IT卫=即H卩卫cos迥卩+凹国cos個诅+X）"]]
（2-2）
对上摆列垂直方向受力方程，可得
（2-3）
31EE=13口叭国二EiE（EUJ3sin[E1E+EdEsin胆疋十Y）*j]
⑵对下摆进行受力分析:
对下摆列转矩方程,
Gy%sin吗+%色一吗）一％%-ey気吗c”叫+吗吒习sinQj=几鮎
（3）.对整个倒立摆系统进行受力分析:
联立上面所有方程，并消去L.,■可得二级倒立摆模型方程:
（2-6）
一耳耳sin述=Gou
（2-7）
跖［翳cos珏囘+珈週cos（S^—叫鳧4-Y两+歸鸥Y區;+跖I瓏sin®—一F261+Fa02
（2-8）
1.3二级倒立摆系统数学模型的线性化处理
为了简化分析过程，必须对二级倒立摆系统数学模型进行一定的简化。
对于上面分析的
级倒立摆系统，选取平衡点位置为：
•；'-・--1-对于系统在平衡点附近线性化并忽略高次项后，可将上式（2-8）改写为:
fil
贾艮国）二耳區酊
島|
其中,
GffkfH二［踣I
「中
+尸圖倒+m_1（ofo）gCo,o）u
式（2-9）两端同乘以，可得：
為I=—丰丄追可习（雪咼耳町
（2-10）
令「"i，：
；则式（2-io）为:
ly■'-■-、、」■■、，其中，
m=Mii（ao）N（o®aoh
G二M11（0.0）
且在实际系统中，测量上摆角度信号的电位器是安装在下摆顶端的轴承上，所以实际
上摆电位器测得的上摆角信号是
简化计算，做出如下变换：
，为了与实际角度采集系统相符合，同时也为了
z=TZ,z=[^e1Je1-0j,
于是有，0=03!
I_ai3+umi-sZ+TG11
（2-11）
取状态变量:
0=［凰鬲屁一压血爲岛一
于是线性化后的六阶状态方程如下:
Y=CX+Du
E二TE+Bu
（2-12）
其中,
2线性二次型最优控制（LQR）的方案设计
最优控制是现代控制理论的核心。
最优控制研究的主要问题是：
根据已经建立的被控对象的数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到最小值（最大值）。
对于线性系统，若取状态变量的二次型函数的积分做为系统的性能指标，这种系统最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型（LQR）问题[5]性二次型控制理论已成为反馈系统设计的一种重要工具。
2.1二级倒立摆性能分析
2.1.1稳定性分析
在得到系统的数学模型之后，为了进一步的了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是系统的稳定性、能控性以及能观性。
系统的稳定性分析一般可以应用李亚普诺夫稳定性理论。
对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据前面得到的系统线性模型分析。
一般摆杆竖直向上是系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统。
既然需要设
计控制器镇定系统，那么就要考虑系统是否能控。
我们所关心的是系统在平衡点附近的性
质，因而可以采用线性模型来分析。
二级倒立摆的特征方程为：
（3-1）
Matlab中，用函数eig（A）来计算系统矩阵的特征值，经过计算，系统的特征值为：
；=[08.99265.0872116.9689I47263I9.3839]
开环系统有三个开环极点位于S平面右半平面上，所以系统是不稳定的。
2.1.2能控性能观性分析
对于线形状态方程
Y=CX+Du
其能控性矩阵为:
求To的秩
To二[B,AB.A:
BA3BA4BA5B]
所以系统是完全能控的。
其能观性矩阵为：
c0二CA^]1
3=35+Bu
（3-2）
（3-3）
（3-4）
（3-5）
求Co的秩
所以系统是完全能观的。
可控性矩阵To的条件数决定系统控制的难控程度，条件数越大，系统越难控制。
可控性矩阵To的条件数为：
”二I丨一厂（3_7）
前面能控性和能观性的判断毕竟是针对线性化后的数学模型。
实际的倒立摆的非线性非常严重，同时一些参数（如转动惯量等）的数值并不一定准确，另外一些参数（如摩擦力矩系数）也不准确，对象的条件数较大，这些因素都使得实际的二级倒立摆的LQR最优
控制比较难以实现。
二次型最优控制器的结构其结构框图如下图所示。
图3.1二次型最优控制器
2.2线性二次型最优调节器原理
设给定线性系统的状态方程为:
0（a）=S3®+BU（t）
（3-8）
n（0）=西1何+mj（t]
其中：
'1'丿一一状态向量，是：
矩阵；
□（t）――控制向量，是rX!
矩阵；
X'〕一一输出向量，是-’丄矩阵；
A――系统矩阵，是二咒二矩阵；
B――控制矩阵,是矩阵；
c――输出矩阵，是-'匸矩阵；
D――反馈矩阵，是-t矩阵；若用yr表示系统的期望输出，则从系统的输出端定义:
eW=y.（t）Iy（t）
（3-9）
为系统的误差向量，是-’丄矩阵。
求取最优控制u0，使基于误差向量e构成的指标函数取最小值：
（3-10）
其中S为11对称半正定矩阵，Q为-丄对称半正定矩阵，R为*对称半正定矩阵。
它们是用来权衡向量e（t）及控制向量U（t）在指标函数J中重要程度的加权矩阵。
其中各项所表示的物理意义简述如下：
（i）.被积函数中的第一项「muj是在控制过程中由于误差的存在而出现的代价函
数项。
由于加权矩阵Q是对称半正定的，故只要误差存在，该代价函数总为非负。
它说明,当e（t）=0时，代价函数为零；而误差越大，则因此付出的代价也就越大。
如误差为标量函数e（t），则'」丄出叫门项变成Q-U。
于是，上述代价函数的积分
便是在古典控制理论中熟悉的用以评价系统
性能的误差平方积分准则。
（2）.被积函数中的第二项是用来衡量控制作用强弱的代价函数项。
由于加权矩阵R是对称正定，故只要有控制U（t）存在该代价函数总是正的，而且控制U（t）越大，则付出的代价也越大。
注意，加权矩阵Q和R的选取是立足提高控制性能与降低控制能量消耗的折衷考虑上的。
⑶指标函数的第一项…是在终端时刻'上对误差要求设置的代价函数。
它表示在给定终端时刻I到来时，系统实际输出y（t）接近期望输出匸⑴的程度。
综上所述，具有二次型指标函数的最优控制问题，实际上在于用不大的控制能量来实现较小的误差，以在能量和误差两个方面实现综合最优。
因为在倒立摆系统中C=I，及yr（t）=0，则有
（3-11）
并且倒立摆的控制是tf时线性定常系统的状态调节问题，所以指标函数可以等价
为:
（3-12）
采用反馈控制:
U=IKX
其中
（3-13）
其中R0;Q0,P为满足Riccati方程的唯一正定对称解:
（3-14）
综上所述，系统的设计步骤可概括如下：
（1）.求解式（3-14）Riccati方程，求得矩阵P。
如果正定矩阵P存在，则系统是稳定的或矩阵A-BK是稳定的。
⑵将此矩阵P代入方程式（3-13），得到的即为最优反馈增益矩阵Ko
2.3加权阵Q和R的选择
在利用LQR方法设计控制器时，一个最关键的问题是二次型性能指标的选取。
二次型性能指标与实际工程意义的品质指标间的联系至今未完全建立[5]。
因此，确定加权阵Q,R是一项重要且困难的工作。
加权矩阵Q和R的选取是在立足提高控制性能与降低控制能量消耗的折衷上考虑的。
为了使问题简单，且使加权阵Q和R的各元素有明显的物理意义，通常将加权阵Q和R
选为对角阵。
这样可以看出匚；是对状态X平方的加权，■相对增大就意味着对X的要求较严;R是对控制量u的平方的加权，当R相对较大，意味着控制费用增高，使得控制能量较小，反馈减弱，当R相对很小时，控制费用较低，反馈增强，系统动态响应迅速[6,7]o
对于二级倒立摆系统，二次型性能指标应能使其在调节过程中不偏离倒立摆的控制区域且尽可能在系统的线性范围内，根据前面对二级倒立摆运动分析，在考虑倒立摆系统的各个状态时，上摆偏角v应比下摆的偏角L重要，下摆的偏角v应比小车的位移x重要，因此要在选择加权矩阵Q和R时体现这些特点。
3模糊控制的基本原理
3.1模糊理论的基本知识
3.1.1模糊控制概述
几千年来，人类虽然一直延用数字计算，整个自然科学建立在数字基础上，然而却一直采用语言模糊描述。
人类本身可感知信息，进行思维判断和决策，但人类的智能和科学之间存在着不可逾越的鸿沟。
自从1965年美国自动控制理论专家L.A.Zadeh首次提出了模糊集合理论以后人类智能和现代科学之间才有了联系的桥梁。
随着计算机技术的发展，模糊控制理论在控制领域取得了巨大的成功，使模糊控制理论成为模糊理论最广泛最成熟的应用分支［3］。
1974年英国教授马丹尼首先将模糊集合理论应用于加热器的控制，其后产生了许多应
用的例子。
其中比较典型的有：
热交换过程的控制，暖水工厂的控制，污水处理过程的控制，交通路口控制，水泥窑控制，飞船飞行控制，机器人控制，模型小车的停靠和转弯控制，汽车速度控制，水质净化控制，电梯控制，电流和核反应堆的控制，并且生产出了专用的模糊芯片和模糊计算机⑹。
在模糊控制的应用方面，日本走在了前列。
日本在国内建立了专门的模糊控制研究所，日本仙台的一条铁路的控制系统采用了模糊控制的方法并取得了很好的效果。
日本还率先将模糊控制应用到日用家电产品的控制中，如照相机、吸尘器、洗衣机等，模糊控制的应用在日本已经相当普及。
模糊控制是以模糊集理论、模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的一种智能控制方法，它从行为上模仿人的模糊推理和决策过程。
该方法首先将操作人员或专家经验编成模糊规则，然后将来自传感器的实时信号模糊化，将模糊化的信号作为模糊规则的输入，完成模糊推理，将推理后得到的输出量去模糊化后加到执行器上。
它适用于被控对象没有数学模型或很难建立数学模型的过程中，并且在这些过程中参数变动呈现极强的非线性，模糊控制是解决不确定性系统控制的一种有效途径。
3.1.2模糊集合
⑴论域。
具有某种特定属性的对象的全体，称为集合。
所谓论域，指我们所研究的事物的范围或所研究的全部对象。
论域中的事物称为元素，其中一部分元组成的集合称作子集。
（2）模糊集合定义。
论域U中的模糊集F用一个在区间［0，1］上的取值的隶属函数-，来表示，即粉人I
F（u）1,表示完全属于F；
F（u）0,表示完全不属于F；
0F1,表示部分属于F.
行是用来说明隶属于的程度，F可以表示为：
以行越接近1则表示x属于F的程度越高；以行越近0则表示x属于F的程度越低。
模糊集合不仅能区分清晰类事物，更适用于模糊性事物。
（3）隶属函数。
通过隶属函数可以将模糊集合的模糊性作定量描述，故隶属函数在模糊集合中占有十分重要的地位。
隶属函数的值域为［0,I］,根据论域为分散或连续的不同情况，隶属度函数的描述也有两种：
数值描述方法和函数描述方法。
常见的隶属函数有正态分布函数、三角函数、梯形函数、S型函数、Z型函数等。
不同的隶属函数所描述的模糊集合也不同，同时隶属度函数的形状对模糊控制的性能有很大影响。
正确定义隶属函数，是运用模糊集合理论解决模糊控制问题的基础，也是模糊理论中的关键问题。
隶属函数一般根据经验或统计确定，也可由经验丰富的专家给出，因此隶属函数的确定又带有主观性。
常用的隶属函数确定方法有：
模糊统计法、例证法、专家经验法及二元对比函数法
3.1.3模糊规则和模糊推理
（1）语言变量。
语言变量是指以自然或人工语言的词、词组或句子作为值的变量。
模糊语言变量是自然语言中的词或句，取值不是通常的数，而是用模糊语言表示的模糊集合。
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