完整版平方根与立方根一对一辅导讲义可编辑修改word版.docx
《完整版平方根与立方根一对一辅导讲义可编辑修改word版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版平方根与立方根一对一辅导讲义可编辑修改word版.docx（26页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
完整版平方根与立方根一对一辅导讲义可编辑修改word版
教学目标
1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；
2.会求一个非负数的平方根、算术平方根；
3.掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；
4.理解开立方与立方的关系。
重点、难点
重点：
算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。
难点：
算术平方根与平方根的区别与联系。
考点及考试要求
以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主
教学内容
第一课时平方根与立方根知识梳理
课前检测
1、求下列各数的算术平方根：
⑴100⑵49⑶17⑷0.0001⑸0
649
2、求下列各式的值：
（1）4
（2）49（3）（-11）2（4）62
81
3、算术平方根等于本身的数有。
4、求下列各数的算术平方根.
0.0025，
121，
42，
（-1）2，19
216
5、已知+=0,求a+2b的值.
一.平方根：
1.算术平方根的概念及表示方法
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
当a≥0时，a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。
2.平方根的概念及其性质
（1）平方根的定义
如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
即如果x2=a，那
么x叫做a的平方根。
（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
当a≥0时，a
的平方根表示为±。
（3）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
3.用计算器求一个正数的算术平方根
用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。
二.立方根：
1.立方根的概念及表示方法
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
即如果x3=a，那么x叫做a
的立方根，记作3a。
正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。
2.开立方的概念
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。
3.用计算器求立方根
很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。
第二课时平方根与立方根典型例题
知识点一：
算术平方根
例1.下列各数有算术平方根吗？
如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。
（1）81；
（2）-16；（3）0；
（4）25；（5）（-2）2；（6）（-2）3。
4
思路分析：
根据“正数和0都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，
（1）、（3）、（4）、（5）
有算术平方根，
（2）、（6）没有算术平方根。
解答过程：
（1）因为81是正数，所以它有算术平方根。
又因为92=81，所以81的算术平方根是9；
（2）因为-16是负数，所以它没有算术平方根；
（3）0有算术平方根，就是0；
（4）
因为25是正数，所以它有算术平方根。
又因为（5）2=25，所以25的算术平方根是5；
42442
（5）因为（-2）2=4是正数，所以它有算术平方根。
又因为22=4，所以（-2）2的算术平方根是2；
（6）（-2）3=-8，是负数，所以（-2）3没有算术平方根。
解题后的思考：
要判断一个数有没有算术平方根，要根据算术平方根的概念确定这个数是不是非负数，只有非负数才有算术平方根。
以上结论不要死记硬背，同学们要理解为什么负数没有算术平方根？
例2.已知（x-2）2+|y-3|+=0，求x,y,z的值。
思路分析：
考虑（x-2）2、|y-3|、都是非负数，根据非负数的性质，不难解决此题。
解答过程：
（x-2）2+|y-3|+=0
又（x-2）2≥0,|y-3|≥0,≥0
∴（x-2）2=0,|y-3|=0,=0
∴x-2=0,y-3=0,z-4=0
解得x=2,y=3,z=4。
解题后的思考：
一个数的平方、绝对值、非负数的算术平方根都是非负数，如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零。
这是解决这类问题的出发点。
小结：
1.只有非负数才有算术平方根，并且只有一个；
2.一个非负数的算术平方根是一个非负数。
知识点二：
平方根的概念及其性质
例3.求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）3600；
（2）111；（3）0.0001；（4）（-7）2。
25
思路分析：
因为求一个非负数的平方根的运算与平方运算是互逆运算，所以可借助平方运算来求这些数的平方根和算术平方根。
解答过程：
（1）因为（±60）2=3600，所以3600的平方根是±60，即±=±60。
3600的算术平方根是60，即=60。
（2）因为111=36，（±6）2=36，所以111的平方根是±6，即±=±6。
25255252555
111的算术平方根是6，即=6。
2555
（3）因为（±0.01）2=0.0001，所以0.0001的平方根为±0.01，即±=±0.01。
0.0001的算术平方根为0.01，即=0.01。
（4）因为（-7）2=49，（±7）2=49，所以（-7）2的平方根为±7，即±=±7。
（-7）2的算术平方根为7，即=7。
解题后的思考：
运用平方运算求一个非负数的平方根和算术平方根是常用的方法。
如果被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可以先将小数化为分数，再求它的平方根和算术平方根；如果被开方数是带分数，要先将带分数化成假分数，再求它的平方根和算术平方根。
例4.求下列各式中的x。
（1）x2=196；
（2）（x+1）2=9；
（3）x2-169=0；（4）（4x）2=16。
思路分析：
把上面各式化成x2=m的形式，求出m的平方根，就可以求出x的值。
解答过程：
（1）因为x2=196，所以x=±14；
（2）因为（x+1）2=9，所以x+1=±3，所以x=2或x=-4；
（3）因为x2-169=0，所以x2=169，所以x=±13；
（4）因为（4x）2=16，所以4x=±4，所以x=±1。
解题后的思考：
虽然目前我们并没有学习过一元二次方程的解法，但是我们可以利用平方根的定义求解一些简单的一元二次方程。
例5.若一个正数a的两个平方根分别为x+1和x+3，求a2008的值。
思路分析：
由平方根的性质知：
一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构造方程，求出x的值，而a=（x+1）2或a=（x+3）2，据此可求出a的值。
解答过程：
因为一个正数的两个平方根互为相反数所以（x+1）+（x+3）=0，解得x=-2。
从而a=（x+1）2=（-2+1）2=1（或a=（x+3）2=（-2+3）2=1）
所以a2008=1。
解题后的思考：
本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a。
这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。
例6.若x,y,m适合关系式
+=+
，试求m的值。
思路分析：
从已知关系式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。
⎧3x+5y-3-m≥0
（1）
解答过程：
由已知，得⎪
⎪2x+3y-m≥0
（2）
⎪
⎨x-2005+y≥0（3）
⎪⎩2005-x-y≥0（4）
由（3）（4）式可知，x+y=2005
所以，原式即为+=0
⎨2x+3y-m≥0
因为，⎧3x+5y-3-m≥0
⎩
⎨2x+3y-m=0
所以，⎧3x+5y-3-m=0
⎩
又因为，x+y=2005
所以，解得m=2008。
解题后的思考：
方根必须非负，即
a的非负性包括两层含义：
一是被开方数a必须非负，即a≥0；二是a的算术平
≥0。
小结：
负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0
知识点三：
平方根的估算
例7.已知x为-2的整数部分，y-1是9的平方根，且|x-y|=y-x，求x+y的值。
思路分析：
此题涉及的估值问题，由16<17<25，即4<<5可解。
还涉及y的取值的取舍问题，求出的y值要满足题目中的所有条件，既不能漏解，也不能多解。
解答过程：
因为4<<5，所以2<-2<3，即x=2
因为y-1是9的平方根，所以y-1=±3，即y=4或y=-2
又因为|x-y|=y-x，所以y≥x
所以x=2,y=4，故x+y=6。
解题后的思考：
若的整数部分为a，则其小数部分为-a。
小结：
若一个非负数a介于另外两个非负数a1,a2（a1根也介于
a1,
之间，即0≤<<
。
利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根
的大致范围。
对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题。
比如解不等式组、求函数定义域和值域、求集合的交集和并集等。
知识点四：
立方根的概念及其性质
例8.已知x-1是8的立方根，求x。
思路分析：
此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数。
解答过程：
x-1是8的立方根
∴（x-1）3=8
∴x-1=2，x=3
解题后的思考：
利用立方根的概念解决抽象的代数问题。
小结：
立方根与平方根的区别：
只有非负数才有平方根，0的平方根为0，正数的平方根有两个且互为相反数；任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根。
知识点五：
平方根与立方根的综合运用
例9.
（1）已知
=0.03230，则
=；
（2）已知30.498=0.7926，则3=7.926。
思路分析：
一个正数扩大（或缩小）100倍，则它的算术平方根扩大（或缩小）10倍。
从小数点的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动2位，则它的算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位。
一个正数扩大（或缩小）1000倍，则它的立方根扩大（或缩小）10倍。
从小数点的位置看，一个数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位。
解答过程：
（1）因为10.45=0.001045⨯10000
所以=3.23
（2）因为7.926=0.7926⨯10
所以7.926==
解题后的思考：
同学们可以将以前所学知识和这个知识点结合起来理解和记忆：
一个正数扩大10倍，则它的平方扩大100倍，立方扩大1000倍；
反之，一个正数缩小100倍，它的算术平方根缩小10倍；一个正数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍。
例10.已知M=m-n-1m+3是m+3的算术平方根，N=2m-4n+3n-2是n-2的立方根，试求M-N的值。
思路分析：
由m-n-1m+3是m+3的算术平方根可知m-n-1=2，由2m-4n+3n-2是n-2的立方根可知2m-4n+3=3，由此可得方程组，解得m,n的值，从而求得M,N的值，最后求出M-N的值。
⎨2m-4n+3=3
解答过程：
由题意可知⎧m-n-1=2
⎩
⎨n=3
解方程组得⎧m=6
⎩
所以，M==3，N==1
所以，M-N=3-1=2。
解题后的思考：
明确算术平方根和立方根的意义及表示方法。
例11.若31-2x与33y-2互为相反数，求代数式2x+1的值。
y
思路分析：
由立方根的定义和性质可知，若与互为相反数，则有被开方数互为相反数。
由此求出x,y的关系式，然后代入求值。
解答过程：
由题意得1-2x+3y-2=0
所以，y=2x+1
3
则2x+1=3。
y
解题后的思考：
熟悉掌握立方根的性质是解决这类问题的关键。
被开方数
名称
正数
0
负数
1
-1
算术平方根
1个（正数）
0
无
1
无
平方根
2个（一正一负）
0
无
±1
无
立方根
1个（正数）
0
1个（负数）
1
-1
第三课时平方根与立方根课堂检测
一、选择题：
1.
的绝对值是（）
A.3B.-3
C.13
D.-13
2.
下列说法中正确的是（）
A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B.负数没有立方根
C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.一个非零数的立方根与这个数同号
3.
与最接近的数是（）
A.0B.2C.4D.5
4.若某数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是（）
A.1B.±1
C.0或1D.
-1或0
5.计算=（）
A.a
B.
-a
C.
-1
D.
0
二、填空题：
6.
（1）±=；
（2）-3-125=；
8
（3）3-
27
=；（4）3-8+=；
（5）38-
16⨯3
1
27
=；
7.的平方根是；
8.17+10的小数部分为；
9.下列说法中正确的是（将序号填写在横线上）
①4的平方根是2；②4的算术平方根是2；
③-2是4的平方根；④-16的平方根是-4；
⑤0.3是0.09的平方根；⑥0.4的算术平方根是0.2。
10.如果32x-1=-35x+8，那么x2=。
三、解答题：
11.求下列各数的平方根和算术平方根
121
（1）
（2）0.008149
4
（3）（－）2（4）14
5
12.求下列各数的立方根．
（1）0.001
（2）－216
3
（3）3（4）－38
13.求下列各式中的x．
（1）9x2－256＝0
（2）4（2x－1）2＝25
14.已知：
（1－2a）2＋b－2＝0，求ab的值．
15.若3x＋16的立方根是4，求2x＋4的算术平方根．
16.
已知31-a2=1-a2，求a的值。
17.已知：
（ｘ－1）2+y+3+
＝0，求ｘ+ｙ2－ｚ的立方根．
18.已知：
ｘ－2的平方根是±2,2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．
19.若ｘ2＝（－3）2，ｙ3＝（－2）3，求ｘ+ｙ的所有可能值．
19.将半径为3cm的铁球熔化，重新铸成8个半径相同的小铁球。
（1）原铁球的体积是多少？
（2）
每个小铁球的体积是多少？
半径是多少？
（球的体积公式：
V=4r3）
3
20.
计划用100块地板砖来铺设面积为16m2的客厅，求所需的正方形地板砖的边长是多少米？
21.已知第一个正方体纸盒的棱长是6cm，第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大127cm3，求第二个正方体纸盒的棱长．
升级会员 