管理学管理运筹学课后答案谢家平.docx
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管理学管理运筹学课后答案谢家平
管理运筹学
——管理科学方法谢家平
第一章
第一章
1.建立线性规划问题要具备三要素：
决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量（DecisionVariable）是决策问题待
定的量值，取值一般为非负；约束条件（ConstraintConditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，
保障决策方案的可行性；目标函数（ObjectiveFunction）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，
有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2.
（1）设立决策变量；
（2）确定极值化的单一线性目标函数；
（3）线性的约束条件：
考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量；
（4）非负约束。
3.
（1）唯一最优解：
只有一个最优点
（2）多重最优解：
无穷多个最优解
（3）无界解：
可行域无界，目标值无限增大
（4）没有可行解：
线性规划问题的可行域是空集
无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
4.线性规划的标准形式为：
目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0,决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变
量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
5.可行解：
满足约束条件AX=b,X≥0的解，称为可行解。
基可行解：
满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：
对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：
使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：
最优解对应的基矩阵，称为最优基。
6.计算步骤：
第一步，确定初始基可行解。
第二步，最优性检验与解的判别。
第三步，进行基变换。
第四步，进行函数迭代。
判断方式：
唯一最优解：
所有非基变量的检验数为负数，即σj<0
无穷多最优解：
若所有非基变量的检验数σj≤0，且存在某个非基变量xNk的检验数σk=0，让其进基，目标函数
的值仍然保持原值。
如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同时达到最优，为无穷多最优解。
无界解：
若某个非基变量xNk的检验数σk>0，但其对应的系数列向量Pk'中，每一个元素aik'（i=1,2,3,…,m）
均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。
无可行解：
当引入人工变量，最末单纯型发表中的基变量含有非零的人工变量，即人工变量不能全出基，则无可行解。
7.单纯形法需要有一个单位矩阵作为初始基。
当约束条件都是“≤”时，加入松弛变量就形成了初始基，但实际问题中往
往出现“≥”或“＝”型的约束，这就没有现成的单位矩阵。
需要采用人造基的办法，无单位列向量的等式中加入人工变量，
从而得到一个初始基。
人工变量只有取0时，原来的约束条件才是它本来的意义。
为保证人工变量取值为0，令其价值
系数为-M（M为无限大的正数，这是一个惩罚项）。
如果人工变量不为零，则目标函数就不能实现最优，因此必须将其
逐步从基变量中替换出。
对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取M。
8.
9.
10.
（1）C1<0，C2<0，且d≥0
（2）C1=0，C2<0或C2=0，C1<0，a1>0
（3）C1>0，d>0，a2>0，d/4>3/a2
（4）C2>0，a1≤0
（5）x1为人工变量，且C1为包含M的大于0数，d/4>3/a2；或者x
数，a1>0，d>0。
11.
2
为人工变量，且C
2
为包含M的大于0
12.设xij为电站向某城市分配的电量，建立模型如下：
13.设x1
为产品A的产量，x2
为产品B的产量，x3
为副产品C的销售量，x4
为副产品C的销毁量，问题模型如下：
第二章
1.
（2）甲生产20件，乙生产60件，材料和设备C充分利用，设备D剩余600单位
（3）甲上升到13800需要调整，乙下降60不用调整。
（4）非紧缺资源设备D最多可以减少到300，而紧缺资源—材料最多可以增加到300，紧缺资源—设备C最多可
以增加到360。
2.设第一次投资项目i为xi，第二次投资项目i设为xi'，第三次投资项目i设为xi′。
3.设每种家具的产量为
4.设每种产品生产xi
5．
（1）设xi为三种产品生产量
通过Lindo计算得x1=33,x2=67,x3=0,Z=733
（2）产品丙每件的利润增加到大于6.67时才值得安排生产；如产品丙每件的利润增加到50/6，通过Lindo计算最优
生产计划为：
x1=29，x2=46，x3=25，Z=774.9。
（3）产品甲的利润在[6,15]范围内变化时，原最优计划保持不变。
（4）确定保持原最优基不变的q的变化范围为[-4,5]。
（5）通过Lindo计算，得到x1=32,x2=58,x3=10,Z=707
第三章
∗
T
1.原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，
后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同
时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值yi表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。
可以把对偶问题的解Y定义
为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。
2.若以产值为目标，则yi是增加单位资源i对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shad
owPrice）。
即有“影子价格=资源成本+影子利润”。
因为它并不是资源的实际价格，而是
企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，
所以叫影子价格。
可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，
企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂
不购进资源，减少不必要的损失。
3.
（1）最优性定理：
设，分别为原问题和对偶问题的可行解，且C=b，则
，a
分别为各自的最优解。
**
（2）对偶性定理：
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值
相等。
（3）互补松弛性：
原问题和对偶问题的可行解X、Y为最优解的充分必要条件是
。
（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形法表中，初始基变量的检验数的负值。
若
−YS对应原问题决策变量x的检验数；−Y则对应原问题松弛变量xS的检验数。
4.
表示三种资源的影子利润分别为0.89、4.89和0，应优先增加设备C台时以及增加材
料可获利更多；14.89>12，所以设备C可以进行外协加工，200.89<210，所以暂不外
购材料。
5.
（1）求出该问题的最优解和最优值；
x1=x2=x4=0,x3=2,x5=6,Z=4
（2）该问题的对偶问题的最优解和最优值：
y1=2，y2==0，w=4
（3）分别为2、0，对产值贡献的大小；第一种资源限量由2变为4，最优解不会改变。
（4）代加工产品丁的价格不低于2×2+0×3=4。
4
6.
（1）设四种产品产量为xi,i=1,2,3,4
（2）
影子价格分别为2、1.25、2.5。
对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购
进。
（3）原料丙可利用量在[900,1100]范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变
（即最优基不变）。
（4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划不需要调整。
第四章
**
1.纯整数规划、0-1规划、混合整数规划。
2.
（1）首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。
若相应的线性规划问题
没有可行解，停止计算，这时原整数规划也没有可行解。
（2）定界过程。
对于极大化的整数规划问题，当前所有未分枝子问题中最大的目标函数值
为整数规划问题上界；在满足整数约束的子问题的解中，最大的目标函数值为整数规划问
题的下界。
当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入剪枝过程。
（3）剪枝过程。
在下述情况下剪除这些分枝：
①若某一子问题相应的线性规划问题无可行解；
②在分枝过程中，求解某一线性规划所得到的目标函数值Z不优于现有下界。
（4）分枝过程。
当有多个待求分枝时，应先选取目标函数值最优的分枝继续进行分枝。
选
取一个不符合整数条件的变量xi作为分枝变量，若xi的值是bi*，构造两个新的约束条
件：
xi≤[bi]或xi≥[bi]+1,分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。
对任一个子
问题，转步骤
（1）。
最整数解为：
x1=4,x2=2,z=340
4.解：
设
tij为个人对于个任务的时间耗费矩阵，则目标函
数为：
约束条件为：
解之得：
x
=1，x
=1，x
=1，x
=1，其余均为0，z=70，即任务A由
12
21
33
44
乙完成，任务B由甲完成，任务C由丙完成，任务D由丁完成。
5.解：
设在第i天应聘的雇员人数为xi。
数学模型为：
解得：
x1=0，x2=4，x3=32，x4=10，x5=34，x6=10，x7=4，Z=94。
第五章
1.解：
建立目标约束。
（1）装配线正常生产
设生产A,B,C型号的电脑为x1,x2,x3（台），d
+
−
1
为装配线正常生产时间未利用数，
d1
为装配线加班时间，希望装配线正常生产，避免开工不足，因此装配线目标约束为
（2）销售目标
优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子，A,B,C三种型号的
电脑每小时的利润是
，
，
，因此，老客户的销售目标约束为
再考虑一般销售。
类似上面的讨论，得到
（3）加班限制
首先是限制装配线加班时间，不允许超过200h，因此得到
其次装配线的加班时间尽可能少，即
写出目标规划的数学模型
经过Lingo计算得到x1=100，x2=55，x3=80。
装配线生产时间为1900h，满足装
配线加班不超过200h的要求。
能够满足老客户的需求，但未能达到销售目标。
销售总利
润为100×1000+55×1440+80×2520=380800（元）。
2.解：
假设三个工厂对应的生产量分别为300，200，400。
（1）求解原运输问题
由于总生产量小于总需求量，虚设工厂4，生产量为100个单位，到各个用户间的运费单
价为0。
用LINGO软件求解，得到总运费是2950元，运输方案如下表所示。
（2）下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。
设xij工厂i（i=1,2,3）调配给用户j（j=1,2,3,4）的运量，cij表示从工厂i到用户j的
单位产品的运输费用，aj（j=1,2,3,4）表示第j个用户的需求量，bi（i=1,2,3）表示第i
个工厂的生产量。
i）供应约束应严格满足，即
ii）供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100个单位，即
iii）需求约束。
各用户的满足率不低于80％，即
;
应尽量满足各用户的需求，即
iv）新方案的总运费不超过原方案的10％（原运输方案的运费为2950元），即
v）工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务，即
vi）用户1和用户3的满足率应尽量保持平衡，即
vii）力求总运费最少，即
目标函数为
经8次运算，得到最终的计算结果，见下表。
总运费为3360元，高于原运费410元，超
过原方案10％的上限115元。
3.设分别生产A机器x1
台，B机器x2
台。
目标函数为：
Lingo计算结果为：
生产A机器15台，B机器21台，利润增加4129元，工序Ⅱ
加班22.5小时。
第六章
1.原有问题的求解就化为逐个求解几个简单的阶段子问题，当每一个阶段的决策子问题确定后，就组成了一个决策序列，
每个阶段的决策一旦确定，整个决策过程也随之确定，此类把一个问题看作是一个前后关联具有明显阶段性的决策过程
就称为多阶段决策问题。
2.动态规划最优性原理导出了它的解题思路，即将决策问题划分为若干个阶段，将全过程的优化问题分解为子过程的优
化问题；逆着阶段顺序的方向，由后向前逐步倒推；各阶段求解都是在后部子过程最优策略基础上，再考虑本阶段的指
标函数，求出本阶段的最优策略；由后向前推算直到第一阶段为止，最优化的子过程逐渐成为最优化的全过程。
3.
（1）模型建立
将三个营业区看作是三个阶段，即阶段变量k=1,2,3；
第k阶段初尚未被分配出去的销售点是其决策的起点，则状态变量Sk表示第k阶段初可分配的销售区数，Sk≥0，
且初始状态已知S1=6；
决策变量xk表示第k阶段分配给区A，B，C的销售店，允许决策集合
状态转移方程为Sk+1=Sk-k
阶段指标Vk（Sk,xk）表示第k阶段从Sk销售点中分配给第k区xk个的阶段效益；
最优指数函数fk（Sk）表示第k阶段从Sk开始到最后阶段采用最优分配策略取得的最大收益，递推方程函数式
（2）逆序求解
当k=3时
当k=2时
当k=1时
顺序递推，得出结论：
第A小组建3个,第B区建2个，第C区建1个，
4.
（1）模型建立
多阶段性的月度生产决策，可以按月划分阶段，即阶段变量k=1,2,3,4分别表示这四个月。
上期未需求的产品将会进入仓库存放，供下期需求消费；下期生产与否，视期初库存数量和当期需求量而定，第k月
的期初库存反映出其状态特征。
因此，状态变量Sk表示第k月期初的产品库存量，0≤Sk≤4。
决策变量xk表示第k月的实际生产量，允许决策集合Xk（Sk）{0≤xk≤4}。
第k月的订货量记为dk，而供给量为Sk+xk，则状态转移方程为Sk+1=Sk+xk-dk。
阶段指标vk（Sk,xk）k表示第k月的费用。
本月若不安排生产，则仅需支出存货费；若安排生产，则需支出生产成本
和固定运营费，同时还需存货费。
为了将存储问题简化，忽略本月生产和需求产品的短期存货费。
因此当xk=0时，v
k（Sk,xk）=HSk=1500Sk；当xk＞0时，
最优指数函数fkSk（）表示第k阶段从期初库存Sk
开始到最后阶段采用最优生产策略实现的最低生产费用。
（2）逆序求解
k=4时，因为4月末交货后的计划存货0件，则S5=0；第4月的订单需求d4=1万件，则由状态转移方程S
=S4+x4-d4知，S4+x4=1。
5
k=3时，第3月的订单需求d3=5万件，则满足需求有S3+x3≥5；而仓库的最大存货能力为4万件，则由状态转
移方程S4=S3+-x3d3有S3+x3≤6。
k=2时，第2月的订单需求d2=3万件，则满足需求有S2+x2≥3；而仓库的最大存货能力为4万件，则由状态
转移方程S3=S2+x2-d2有S2+x2≤7。
k=1时，企业现有存货0件，即S1=0，第1月的订单需求d1=2万件，而仓库的最大存货能力为4万件，则有x
≤6。
1
顺序递推，得出结论：
第1月生产5万件；由状态转移方程S2=S1+x1-d
1
知，S2=3，则第2月生产0件；再由状
态转移方程S3=S2+x2d2−知，S3=0，则第3月生产6万件；再由状态转移方程S4=S3+x3-d3
，则第4月生产0件。
5.每年为一个阶段，即阶段变量k=1,2,3,4,5；
知，S4=1
状态变量Sk
表示第k年初所拥有的完好机器台数，已知S1=200；决策变量xk
表示第k年投入超负荷生产的设备
数，则剩余设备Sk−xk
投入低负荷的生产作业，允许决策集合0≤xk≤Sk；
状态转移方程为S
=（1-α）x+（1-β）（S-x）=0.85S-0.3x；
k+1
k
k
k
k
k
阶段指标vk（sk,xk）表示第k年的收益，即vk（sk,xk）=12xk+8（Sk-xk）=8Sk+4xk；
最优指数函数fk（Sk）表示第k年从Sk开始到5年末采用最优分配策略实现的最收益；
基本递推方程
边界条件：
f6（s6）=0
k=5，
由于f（s）是关于x
的单增函数，故x
*
=s
时，f（s）
最大，f5（s5）=12s5
5
5
5
5
5
5
5
k=4，
由于f4（s4）是关于x4
k=3，
*
的单增函数，故x
4=S4
时，f4（s4）最大，f4（s4）=17.5S4，
由于f3（s3）是关于x3
k=2，
的单减函数，故x3
*
=0时，f3（s3）最大，f3（s3）=22.875s3。
由于f2（s2）是关于x2
*
的单减函数，故x
2=0时，f2（s2）最大，fs2（）2=27.44375s1。
*
最优作业安排策略是前三年将低负荷，后两年全部重负荷。
s1=200，而x1
**
=0，则S2=0.85S1-0.3x1=170台；同
*
理，由x2
=0，则S3=0.85S2-0.3x2=144台；由x
*
3
=0，则S4=0.85S3-0.3x3=122台；由x4
=S4=122台，则
S5=0.85S4-0.3x4=67台；由x5
=S5=36台。
第七章
1.求得的最小树如下图：
2.
（1）给网络始点v
s
标号（vs,0），并在标号下面画横线表示为永久标号；并给从vs出发的各弧的点vj赋予临时标号
（ws,v
sj
），不能一步到达的点赋予临时标号（vs,∞）。
（2）在所有临时标号中选择路权最小者，即结点v1，将v1
的临时标号变为永久标号，在标号下画横线。
然
后，考察从v
1
出发的各弧的点vj的临时标号：
结点v
5
的路权d5=min{∞,d1+w
15
}=min
{∞,4+5}=9，则将v5
的临时标号变为（v1,9），并划去其原有较大的临时标号（vs,∞）；同理，对于结点v4，临时标
号变为（v1,8）；对于结点v2，临时标号变为（v1,11）；其他结点标号不变。
（3）依此类推，重复上述标号过程。
当所有标号都是永久标号，即每一个标号下都画上横线时，则标号过程结束。
vt
的后一个标号为vs到vt的最短路权，即14；根据vt的另一个标号反向追踪求得vs到vt的最短路径为{vs,v3,v2,v6,vt}
3.
（1）网络的中心
从表中可得出：
各列之和的最小值为22，对应的点D即是网络的中心；也可以根据各行选择最大值，再从中选择最小
值为5，同样对应的点D是网络的中心。
因此，仓库应建在位于网络中心的销售点D。
（2）网络的重心
各列加权之和的最小值为9000，对应的点D是网络的重心位置。
因此，仓库应建在位于网络重心的销售点D。
（3）企业在自建仓库时，一般采用中心法，因为企业自营的仓库不能搬动；而企业选择租赁仓库时，一般采用重心法，
因为租赁的仓库由于合同期限等原因可以变动位置。
另外，如果企业生产的产品多为创新型产品，这类产品的边际贡献
率高，产品更新速度快，顾客群变动较大，销售区域也有可能发生变化，则选择租赁仓库时宜使用重心法。
4.先根据图写出结点之间的弧权矩阵，如下表所示。
取上表的v
行数据即为d
1
=w
1
；第一次迭代是d
列的元素与下表中第1-6列对应元素相加取最小，得到d
2
1
1j
1j
1j
1j
列；其余函数迭代过程以此类推。
3
由于d
1j
4
=d
1j，则迭代结束，此时d
3
1j
列的各元素，即为v1
3
到其余各点的最短路权。
再根据d
2
3
1j
列各元素的来源，
可以追踪最短路径。
例如，追踪v
到v
的最短路径，对于d
=6，d
+w
=4+2=6计算而得
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