高中数学2009年高考压轴题专题训练(C).docx
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高中数学2009年高考压轴题猜想专题训练（C）
1．（本小题满分13分）
如图，已知双曲线C：
2
x
2
a
2
y
21（0，0）的右
ab
b
准线l1与一条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦
点，O为坐标原点.
（I）求证：
OMMF；
（II）若|MF|1且双曲线C的离心率e
6
2
，求双
曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在
A、Q之间，满足APAQ，试判断的范围，并用代数方法给出证明.
2
：
xa
解：
（I）右准线l
1
c
，渐近线l2：
y
b
a
x
M
2
aab
222
（，），F（c，0），cab，OM
cc
2
aab
（，）
cc
22
aabbab
MF（c）（）
，，
cccc
OMMF
22
ab
2
c
22
ab
20OMMF⋯⋯3分
c
（II）e
6
2
b2
222
，，2
e1ab
a2
|MF|
422222
babb（ba）
111
，，
222
ccc
22
b1a1
，
2
x
2
双曲线C的方程为：
y1⋯⋯7分
2
（III）由题意可得01⋯⋯8分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
证明：
设l3：
ykx1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）
由
2222
xy
ykx1
22
得（12k）x4kx40
l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
2
12k0
22
16k16（12k）0
k
2
2
4k
xx
122
12k
4
xx
122
12k
0
0
2
k
1
k
0
2
12k0
1
2
k⋯⋯11分
2
APAQ，（x1，y11）（x2，y21），得x1x2
（1）
4k
2
x，
x
222
12k
4
12k
2
22
（1）16k
2
4（12k）
2
4k2
2
22
2k12k1
2
2
k，02k11，
2
（1）
2
14
22
（1）4210
的取值范围是（0，1）⋯⋯13分
2（本小题满分13分）
已知函数f（x）
0（x0）
n[x（n1）]f（n1）（n1xn，nN*）
，
数列{an}满足anf（n）（nN*）
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设x轴、直线xa与函数yf（x）的图象所围成的封闭图形的面积为S（a）（a0），求
S（n）S（n1）（nN*）；
（III）在集合M{N|N2k，kZ，且1000k1500}中，是否存在正整数N，使得不等
式aSnSn
n1005（）
（1）对一切nN恒成立？
若存在，则这样的正整数N共有多少个？
并求
出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.
（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim（b1b2b）存在，并求出这个极限
n
n
值.
解：
（I）nN*
f（n）n[n（n1）]f（n1）nf（n1）
f（n）f（n1）n⋯⋯1分
f
（1）f（0）1
f
（2）f
（1）2
f（3）f
（2）3
⋯⋯
f（n）f（n1）n
将这n个式子相加，得
f（n）f（0）123n
n（n1）
2
f（0）0
f（n）
n（n1）
2
a
n
n（n1）
2
（nN*）
⋯⋯3分
（II）S（n）S（n1）为一直角梯形（n1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别
为f（n1），f（n），高为1
S（n）S（n1）
f（n1）f（n）anan
1
1
22
1
2
[
2
n（n1）n（n1）n
]
222
⋯⋯6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则
2
n（n1）nn
1005
222
1005n2010
又M{2000，2002，，2008，2010，2012，，2998}
N2010，2012，⋯⋯，2998均满足条件
它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正整数N，则20102（m1）2998，解得m495
M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin2010⋯⋯9分
（IV）设b
n
1
a
n
，即b
n
211
2（）
n（n1）nn1
11111111
则b1b2b2[
（1）（）（）（）]2
（1）
n
22334nn1n1
1
显然，其极限存在，并且lim（12）lim[2]
bbb
n
n
nn
1
2⋯⋯10分
注：
b
n
c
a
n
2a2a
1nn
（c为非零常数），bn，bq0q1等都能使
（）（||）
n1n1
n
2
lim（b1b2b）存在.
n
n
19.（本小题满分14分）
2
2
y
x
设双曲线
1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2.
2
a3
（I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并
说明轨迹是什么曲线；
（III）过点N（1，0）能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ0.若存在，
求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
22解：
（I）e2c4a
，
223，1，2caac
2
双曲线方程为y
2
x
3
3
1，渐近线方程为yx
3
4分
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点Mx，y
2|AB|5|FF|
12
55
|AB||FF|2c10
12
22
22
（xx）（yy）
1212
10
33
又yx，yx，2xxx，2yyy
11221212
33
33
yyxxyyxx
（），（）12121212
33
2
3
3（yy）（xx）
1212
3
2
10
1
22
3（2y）（2x）100
3
，即
22
x3y
7525
1
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为
103
3
的椭圆.（9分）
（III）假设存在满足条件的直线l
设l：
yk（x1），l与双曲线交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）
·0OPOQ
xxyy
1212
0
2
xxk（x1）（x1）0
1212
2
xxkxx（xx）10（i）
121212
yk（x1）
2222
由x得（3k1）x6kx3k30
2
y1
3
2
6k
则xx，xx
12
212
3k1
2
3k3
2
3k1
（ii）
由（i）（ii）得k
230
∴k不存在，即不存在满足条件的直线l.14分
3.（本小题满分13分）
*
已知数列an的前n项和为Sn（nN）
，且Sn（m1）man对任意自然数都成立，其中m
为常数，且m1.
（I）求证数列an是等比数列；
1
（II）设数列an的公比qf（m），数列bn满足：
b1a1bnfbn1
，（）3
*
（n2，nN），试问当m为何值时，limbn（lgan）lim3（b1b2b2b3b3b4
nn
⋯bn1bn）成立？
解：
（I）由已知Smma
n1
（1）n1
（1）
Sn（m1）man
（2）
由
（1）
（2）得：
amama，即（m1）a1ma对任意nN
n1nn1nn
*都成立
m为常数，且m1
a
n
1
m
a
n
m1
即a为等比数列5分
n
（II）当n1时，a1（m1）ma1
ab
1，从而
11
1
3
由（I）知qf（m）
m
m
1
b
n1*
bf（b）（n2nN）
，
nn1
b1
n1
1111
1
，即
bbbb
nn1nn1
1
1
为等差数列b
n
1
b
n
1
*
3
（1）2，（）9分
nnbnN
n
n2
n1
m
a
n
m1
n1mm
limb（lga）lim·lglg
nn
nn
n2m1m1
lim3（）
bbbb⋯bb
1223n1n
n
11111
lim3
⋯
nnn
34451
1
2
1
由题意知lg
m
m1
1，
m
m
1
10
10
，13分
m
9
4．（本小题满分12分）
22
xy
设椭圆1（0）
ab
22
ab
的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交
椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：
x3y30相切，求椭圆方程．
2b2Ab解：
（1）设点（0,0）,F（c,0）,
Qx其中ca,（0,）．
85
由P分AQ所成的比为8∶5，得）
P（x0,b，2分
1313
2
8x53
202
∴xa
（）（）10
2
13a132
．①，4分
而FA（c,b）,AQ（x,b）,FAAQ
0，
∴FAAQ0．
2
2
b
cx0b0,x．②，5分
0
c
2acc2aca
2
由①②知2b3,2320．
∴
1
2ee
2e320.．6分
2
22
bc
（2）满足条件的圆心为,0）
O（，
2c
b
2
2
c
2
a
c
2
2
c
c,O（c,0）
，8分2c2c
2
b
22
a
c
圆半径a
r
22c
．10分
由圆与直线l：
x3y30相切得，ca
|3|
2
，
2y
2
x
又a2c,c1,a2,b3．∴椭圆方程为1
43
．12分
5．（本小题满分14分）
2
（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件aab
1的所有无穷等差数列an，试求
n1
yanaa的最大值，并求出y取最大值时an的首项和公差．
1n22n1
2
（文）给定正整数n和正数b，对于满足条件a1ab的所有无穷等差数列an，试求
n1
yanaa的最大值，并求出y取最大值时an的首项和公差．
1n22n1
（理）解：
设
a公差为d，则an1a1nd,ndan1a1．3分
n
y
a
n
1
a
n
2
a
2n
1
a
n
1
（a
n
1
d）
（a
n
1
nd）
（n
1）a（12
n1
n）d
n（n1）
（n1）an1d4分
2
（n
1）（a
n
1
nd
2
）
（n
1）（
a
n
1
a
n
1
2
a
1
）
n1
2
（3an1a）．7分
1
又
22
a1anb,aban．
111
∴
394b94b
22
3anaan3anb（an），当且仅当
11111
244
3
a时，等
n1
2
号成立．11分
∴
n1（n1）（94b）
y（3ana）．13分
11
28
当数列
a首项
n
9
a1b，公差
4
d
4b
4n
3
时，
（n1）（94b）
y，
8
∴y的最大值为
（n1）（94b）
8
．14分
a公差为d，则an1a1nd,ndan1a1．3分（文）解：
设
n
y
a
n
1
a
n
2
a
2n
1
a
n
（
1
a
n
1
d）
（a
n
1
nd）
（n
1）a（12
n1
n）d
（n
1）a
n
1
n（n
2
1）
d
（
n
1）（a
n
1
nd
2
）
aan1
n11
（n1）（an1）（3an1a1），6分
22
又
22
a1anb,aban．
111
∴
394b94b
2
2
3anaan3anb（an）．
11111
244
当且仅当
3
a时，等号成立．11分
n1
2
∴
n1（n1）（94b）
y（3ana）．13分
11
28
当数列
9
a首项1b
a，公差
n
4
d
4b
4n
3
时，
（n1）（94b）
y．
8
∴y的最大值为
（n1）（94b）
8
．14分
6．（本小题满分12分）
2y
2
垂直于x轴的直线交双曲线x22于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和
右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）
22（Ⅰ）证明：
02y为定值;
x
0
（Ⅱ）过P作斜率为
x
0
2y
0
的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.
解（Ⅰ）证明：
（x1,y）,N（x,y）,A（2,0）,A（2,0）
M则设
11112
y
1
直线A1M的方程为y（x2）①
x2
1
y
1x
直线A2N的方程为y
（2）②⋯⋯4分
x2
1
2
y
2x
12
①×②，得y
（2）
2
x2
1
2
x
1
2
2y
1
2,
2
y
1
2
（
2
x
2）,即x
22
2y
2
P（
x
0
y
0
）M与A
是直线A
12
N
的交点
2
x
0
2
0
2y
2为定值8分
x
022
（Ⅱ）（）,22220
l的方程为yy0xx结合xy整理得xxyy
00000
2y
0
222
于是d⋯⋯10分
2
01
22
00
2yx4y22y
0
2
2222
x2y2y11y2d
0y
000
2
0
1
1
2
当y01时,y1,d取最小值1⋯⋯12分
0
7．（本小题满分14分）
已知函数f（x）xsinx
（Ⅰ）若x[0,],试求函数f（x）的值域;
2f（）f（x）2x
（Ⅱ）若x[0,],（0,）,求证:
f（）;
33
2f（）f（x）2x
（Ⅲ）若x[k,（k1）],（k,（k1））,kZ,猜想与f（）的大小关
33
系（不必写出比较过程）.
解：
（Ⅰ）当x（0,）时,f（x）1cosx0,f（x）为增函数
又f（x）[0,
在区间]
上连续
所以f（0）f（x）f（）,0f（x）
求得
即f（x）[0,]4
的值域为分
2f（）f（x）2x
（Ⅱ）设）
g（x）f（，
33
12x
g（x）（cosxcos）⋯⋯6分
33
即
2f（）sinx2x
g（x）sin
33
x[0,],（0,）
2x
（0,）
3
由（x）0,得
gx
当x（0,）时,g（x）0,g（x）为减函数.当x（,）时,g（x）0,g（x）为增函数8分
g（x）在区间[0,]上连续
则g（）为g（x）
的最小值
对x[0,]g（
有x）g（）0
因而
2f（
）f（x）
3
f
（
2
3
x
）
10分
2f（）f（x）2x
（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时）
f（
33
2f（）f（x）2x
当k为奇数时）
f（
33
⋯⋯14分
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