高考文科数学专题复习导数训练题.doc

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高考文科数学专题复习导数训练题（文）

一、考点回顾

1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义.

2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用.

3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值.

二、经典例题剖析

考点一：

求导公式

例1是的导函数，则.

考点二：

导数的几何意义

例2.已知函数的图象在点处的切线方程是，则.

考点三：

导数的几何意义的应用

例3.已知曲线直线且直线与曲线相切于点求直线的方程及切点坐标.

考点四：

函数的单调性

例4.设函数在及时取得极值.

（1）求的值及函数的单调区间；

（2）若对于任意的都有<成立，求的取值范围.

考点五：

函数的最值

例5.已知为实数，

（1）求导数；

（2）若求在区间上的最值.

考点六：

导数的综合性问题

例6.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数

（1）求的值；

（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值.

例7．已知在区间上是增函数,在区间上是减函数，又．

（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若在区间上恒有成立，求的取值范围．

例8．设函数（），其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

例9．已知在上是增函数,上是减函数,方程有三个实根，它们分别是

（1）求的值，并求实数的取值范围；

（2）求证：

≥

三、方法总结

（一）方法总结

导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象．要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法．应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景．应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述．

（二）高考预测

导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义．也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题．导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题．

四、强化训练

1．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（A）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．函数已知在时取得极值，则（D）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

3．函数在区间上的最大值是（　A　）

A． B． C． D．

4．三次函数在内是增函数，则（A）

A． B．C． D．

5．在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是（D）

A．3 B．2 C．1 D．0

6．已知函数当时，取得极大值7；当时，取得极小值．求这个极小值及的值．

7．设函数已知是奇函数.

（1）求的值；

（2）求的单调区间与极值.

8．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：

1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？

最大体积是多少？

9．已知函数，其中是的导函数.

（I）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；

（II）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点.

10．设函数．（I）求的最小值；

（II）若对恒成立，求实数的取值范围．

11．设函数

（I）若函数在处取得极小值求的值；（II）求函数的单调递增区间；

（III）若函数在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围．

12．已知二次函数满足：

对任意，都有≥且当时，有≤成立．（I）试求的值；（II）若求的表达式；

（III）在（II）的条件下，若时，>恒成立，求实数的取值范围．

13．已知函数

（I）当时，求的最大值和最小值；

（II）当<2且时，无论如何变化，关于的方程总有三个不同实根，求的取值范围．

例题参考答案

例13；例23；例3；例4

（1）增区间为；减区间为，

（2）；例5

（1）

（2）；

例6

（1）

（2）；

例7解：

（Ⅰ），由已知，

即解得

，，，．

（Ⅱ）令，即，，或．

又在区间上恒成立，．

例8解：

（Ⅰ）当时，，得，且

，．

所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．

（Ⅱ）解：

，．

令，解得或．

由于，以下分两种情况讨论．

（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．

（2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．

（Ⅲ）证明：

由，得，当时，，．

由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，

只要即　　　　　　　　①

设，则函数在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须，即或．

所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．

例9解：

（1）在上是增函数，在上是减函数，

所以当时，取得极小值，

又方程有三实根，的两根分别为

又在上是增函数，在上是减函数，>0在上恒成立，<0在上恒成立．

由二次函数的性质知，>0且≥<≤故实数的取值范围为

（2）是方程的三个实根，

则可设

又有

<≤≥

强化训练答案：

6．解：

.

据题意，－1，3是方程的两个根，由韦达定理得

∴，

∴极小值

7．解：

（1）∵，∴。

从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；

（2）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，

和是函数是单调递增区间；

是函数是单调递减区间；

在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。

8．解：

设长方体的宽为（m），则长为（m），高为.

故长方体的体积为

从而

令，解得（舍去）或，因此.

当时，；当时，，

故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值。

从而最大体积，此时长方体的长为2m，高为1.5m.

答：

当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为．

9．解：

（Ⅰ）由题意，令，

对，恒有，即

∴即解得

故时，对满足的一切的值，都有

（Ⅱ）

①当时，的图象与直线只有一个公共点

②当时，列表：

极大

极小

∴<，

又∵的值域是，且在上单调递增

∴当时函数的图象与直线只有一个公共点。

当时，恒有

由题意得即解得

综上，的取值范围是.

10．解：

（Ⅰ），

当时，取最小值，即．

（Ⅱ）令，

由得，（不合题意，舍去）．

当变化时，的变化情况如下表：

递增

极大值

递减

在内有最大值．

在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，

所以的取值范围为．

11．解：

（I）

（II）令

当>1时，由>0得的单调递增区间为；

当=1时，≥0，即的单调递增区间为；

当<1时，由>0得的单调递增区间为．

（III）由题意知<1且<0，解得<<即实数的取值范围为

12．（Ⅰ）由条件知≥2，≤

（Ⅱ）由得又≥恒成立，即≥0恒成立，

>0，且≤≤

≥0

（III）>在恒成立，即>0在恒成立

>0

≤0

①由<0，解得<<；②{ ，解出≤

故的取值范围为．

13．解：

（Ⅰ）

≥单调递增；≤单调递减；

为和的最小者，

（Ⅱ）令则

因总有三个不同实根，即的图象与轴总有三个不同的交点，

①当<0时，<1，的极大值为的极小值为

要使的图象与轴总有三个不同的交点，只需>0且<0在<0时恒成立，易有

≥≥且≤>≤0，

≤≤0．

②当0<<2时，

的极大值为的极小值为

由题意有>0且<0，此时．