幂级数的部分练习题及答案.docx

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幂级数的部分练习题及答案

题目部分，（卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分）

一、选择（10小题,共22.0分）

（2分）[1]

（2分）[2]函数项级数的收敛域是

（A）

（B）

（C）

（D）

答（）

（2分）[3]设级数在处收敛，则此级数在处

（A）发散；

（B）绝对收敛；

（C）条件收敛；

（D）不能确定敛散性。

答：

（）

（3分）[4]设级数在处是收敛的，则此级数在处

（A）发散；

（B）绝对收敛；

（C）条件收敛；

（D）不能确定敛散性。

答：

（）

（2分）[5]设级数的收敛半径是1，则级数在点

（A）发散；

（B）条件收敛；

（C）绝对收敛；

（D）不能确定敛散性。

答：

（）

（2分）[6]如果,则幂级数

（A）当时,收敛；

（B）当时,收敛；

（C）当时,发散；

（D）当时,发散；

答（）

（2分）[7]若幂级数的收敛半径为R,那么

（A）,

（B）,

（C）,

（D）不一定存在.

答（）

（3分）[8]若幂级数在处收敛，在处发散，则

该级数

（A）在处发散；

（B）在处收敛；

（C）收敛区间为;

（D）当时发散。

答（）

（2分）[9]如果在点的某个邻域内任意阶可导，那么

幂级数的和函数

（A）必是，（B）不一定是，

（C）不是，（D）可能处处不存在。

答（）。

（2分）[10]如果能展开成的幂级数，那么该幂级数

（A）是的麦克劳林级数；

（B）不一定是的麦克劳林级数；

（C）不是的麦克劳林级数；

（D）是在点处的泰勒级数。

答（）。

二、填空（54小题,共166.0分）

（2分）[1]函数项级数的收敛域是。

（2分）[2]讨论x值的取值范围，使当_____________时收敛

当_____________时发散

（3分）[3]设级数的部分和函数，

级数的通项。

（2分）[4]级数的和是。

（2分）[5]级数在上的和

函数是。

（3分）[6]设不是负整数，对的值讨论级数的收敛性

得当时，绝对收敛，

当时，条件收敛。

（2分）[7]幂级数的收敛域是。

（3分）[8]幂级数的收敛半径是，和函数是。

（1分）[9]如果幂级数的收敛半径是1，则

级数在开区间内收敛。

（2分）[10]如果，则幂级数在开区间内收敛。

（2分）[11]设幂级数的收敛半径是，

则幂级数的收敛半径是。

（2分）[12]如果幂级数在处收敛，在处发散，则它的收

敛域是.

（5分）[13]幂级数的通项

是，收敛域是。

（6分）[14]幂级数的收敛域是。

（4分）[15]幂级数的收敛区间是。

（4分）[16]幂级数的收敛域是。

（4分）[17]若幂级数和的

收敛半径分别为、，则、具有

关系。

（3分）[18]设，则幂级数

的收敛半径是。

（2分）[19]幂级数的收敛域是，

和函数是。

（3分）[20]幂级数的和函数是。

（3分）[21]幂级数

的收敛域是，和函数是。

（2分）[22]级数的收敛域

是，和函数是。

（2分）[23]若幂级数的收敛半径是，则其

和函数在开区间上是连续的。

（2分）[24]如果幂级数与的收敛半径

分别是、，则级数的收敛

半径是。

（3分）[25]若幂级数的收敛半径是,则

其和函数在开区间内是

可微的，且有逐项求导公式。

（3分）[26]设幂级数的收敛半径是,则其和函数在

开区间上可积，且有逐项求积公式。

（4分）[27]函数的麦克劳林展开成为，其收敛域是。

（3分）[28]函数的麦克劳林展开式为，收敛区间是。

（3分）[29]函数在点的泰勒展开式为，收敛区间是。

（3分）[30]函数的麦克劳林展开式为，收敛域是。

（3分）[31]函数的麦克劳林级数展开式为，收敛域是。

（5分）[32]函数的麦克劳林展开式为，收敛域是。

（6分）[33]函数关于的幂级数为，收敛域是。

（4分）[34]函数的麦克劳林展开式为，收敛域是。

（4分）[35]函数的麦克劳林展开式为

，其收敛域是。

（3分）[36]如果的麦克劳林展开式为

，则。

（2分）[37]函数在点的泰勒级数为

，收敛区间为。

（2分）[38]函数的麦克劳林级数为，

收敛区间为。

（2分）[39]函数的麦克劳林级数为，收敛域为。

（4分）[40]函数的麦克劳林展开式是，。

（3分）[41]函数的麦克劳林展开式为，。

（5分）[42]函数关于x的幂级数是，

。

（4分）[43]函数的麦克劳林展开式为，

=。

（4分）[44]函数的麦克劳林展开式为，

。

（2分）[45]函数关于的幂级数

是，。

（6分）[46]函数的麦克劳林级数为，

。

（3分）[47]将函数展开成形如的幂级数时，收敛域是。

（3分）[48]若函数在点的某一邻域内任意阶可微，设

，那么在该

邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是。

（3分）[49]函数在点的泰勒展开式是，

其收敛域是。

（3分）[50]函数的麦克劳林级数是

，其收敛域是。

（3分）[51]函数的麦克劳林级数是

，其收敛域是。

（3分）[52]根据的幂级数展开式将表示成一个数项级数，该数项级数的前三项（用分数表示）

是。

（2分）[53]级数发散时，的取值范围是。

（2分）[54]利用的幂级数展开式将表示成一个数项级数，该数项级数的第六项（用分数表示）是。

三、计算（36小题,共161.0分）

（3分）[1]设，求级数的和函数。

（3分）[2]设

试求级数的和函数。

（3分）[3]求函数项级数的和函数s（x）。

（4分）[4]求级数在（-1，1）内的和函数。

（4分）[5]设为上的连续函数，级数，

其中

试确定的收敛域及和函数。

（4分）[6]试求幂级数的和函数。

（5分）[7]试求幂级数的收敛域。

（4分）[8]试求级数的收敛域。

（3分）[9]试求级数的收敛域。

（4分）[10]试求幂级数的收敛半径及收敛域。

（4分）[11]试求幂级数的收敛域。

（5分）[12]求幂级数的收敛域。

（4分）[13]已知幂级数的收敛半径，试求的收敛半径。

（5分）[14]试求幂级数的收敛半径及收敛域。

（5分）[15]试求幂级数的收敛域。

（5分）[16]试求幂级数的收敛域。

（5分）[17]试求幂级数的收敛域。

（5分）[18]试求幂级数的收敛域。

（6分）[19]试求幂级数的收敛域。

（5分）[20]试求幂级数的收敛半径。

（6分）[21]试求幂级数的收敛域。

（5分）[22]试求幂级数的收敛半径及收敛域。

（4分）[23]试求幂级数在其收敛域上的和函数。

（5分）[24]试求幂级数在收敛域上的和函数。

（2分）[25]试求级数

的收敛域。

（3分）[26]试求幂级数的收敛半径。

（2分）[27]试求幂级数的收敛半径。

（6分）[28]设，确定的连续区间，

并求积分的值。

（6分）[29]设，确定的连续区间

并计算的值。

（6分）[30]设，，

试用幂级数表示。

（6分）[31]设，

试用幂级数表示。

（6分）[32]设，

试用幂级数表示。

（6分）[33]设，试确定,使得在

上可微，并计算的值。

（6分）[34]设，确定,使得在上可微，

并计算的值。

（3分）[35]设，求关于

h的麦克劳林级数。

（3分）[36]试求函数关于x的幂级数.

====================答案====================

答案部分，（卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分）

一、选择（10小题,共22.0分）

（2分）[1][答案]

C

（2分）[2][答案]

B

（2分）[3][答案]

B

（3分）[4][答案]

D

（2分）[5][答案]

A

（2分）[6][答案]

A

（2分）[7][答案]

（D）

（3分）[8][答案]

（D）

（2分）[9][答案]

（B）

（2分）[10][答案]

（A）

二、填空（54小题,共166.0分）

（2分）[1][答案]

（2分）[2][答案]

（3分）[3][答案]

（2分）[4][答案]

。

（2分）[5][答案]

0

（3分）[6][答案]

（2分）[7][答案]

（3分）[8][答案]

……

（1分）[9][答案]

（2分）[10][答案]

（2分）[11][答案]

（2分）[12][答案]

（5分）[13][答案]

（6分）[14][答案]

（4分）[15][答案]

（4分）[16][答案]

（4分）[17][答案]

=

（3分）[18][答案]

（2分）[19][答案]

，

。

（3分）[20][答案]

（3分）[21][答案]

（2分）[22][答案]

（2分）[23][答案]

（2分）[24][答案]

或为

（3分）[25][答案]

（3分）[26][答案]

（4分）[27][答案]

（3分）[28][答案]

（3分）[29][答案]

（3分）[30][答案]

（3分）[31][答案]

（5分）[32][答案]

（6分）[33][答案]

（4分）[34][答案]

（4分）[35][答案]

（3分）[36][答案]

（2分）[37][答案]

（2分）[38][答案]

（2分）[39][答案]

（4分）[40][答案]

（3分）[41][答案]

（5分）[42][答案]

（4分）[43][答案]

（4分）[44][答案]

（2分）[45][答案]

（6分）[46][答案]

（3分）[47][答案]

（3分）[48][答案]

对于该邻域内的任意，有

（3分）[49][答案]

（3分）[50][答案]

（3分）[51][答案]

（3分）[52][答案]

（注：

填也得10分）

（2分）[53][答案]

；

（2分）[54][答案]

（注：

答案形式为也给分）

三、计算（36小题,共161.0分）

（3分）[1][答案]

（3分）[2][答案]

于是，

（3分）[3][答案]

所给级数是以为公比的等比级数

因此，当x>0,,级数收敛

且和函数

又x=0时，，级数收敛

且=0

综上所述=

（4分）[4][答案]

解法一

=

=

=

解法二

（4分）[5][答案]

设为的部分和，则

…所求和函数…所求收敛域为…

（4分）[6][答案]

幂级数的收敛域是，

所以当时，有

（5分）[7][答案]

设

因为

所以当时，级数收敛；

又当，级数发散，

故收敛域为。

（4分）[8][答案]

令,原级数化为,

当且仅当时，级数收敛，

所以原级数的收敛域是。

（3分）[9][答案]

令,级数化为,

当且仅当时,收敛，

所以当时,原级数收敛，

收敛域为.

（4分）[10][答案]

令,级数的收敛半径是1,

收敛域是,

故原级数收敛半径是1,

收敛域是.

（4分）[11][答案]

由于，所以，

当时，级数发散；

当时，级数收敛；

故收敛域为.

（5分）[12][答案]

令,原级数化为,

此级数的收敛半径是2,收敛域是,

故原级数的收敛域是.

（4分）[13][答案]

利用两级数之间的关系，可得:

当,即时,级数收敛，

当时,级数发散,

所以收敛半径是.

（5分）[14][答案]

设

因为,

所以收敛半径，

而且时,级数收敛。

故收敛域为。

（5分）[15][答案]

设

因为,

所以,

且时，级数发散，

故收敛域是。

（5分）[16][答案]

设

因为

所以当时，级数收敛，

当时，级数发散，

故收敛域为。

（5分）[17][答案]

设

由于，故，

且当时，级数发散;

当时，级数收敛。

所以收敛域是。

（5分）[18][答案]

因为，所以，

且当即时，级数收敛；

当即时，级数收敛,

所以收敛域是。

（6分）[19][答案]

由于，所以，

且当时，级数收敛，

当时，级数发散，

故收敛域是。

（5分）[20][答案]

因为，

所以当时，级数收敛，

故收敛半径。

（6分）[21][答案]

因为，

所以当时，级数收敛，

且当时，级数发散，

故收敛域是。

（5分）[22][答案]

因为

所以收敛半径R=2，

且当|x|=2时，级数发散。

故收敛域为（-2，2）。

（4分）[23][答案]

幂级数的收敛域是，

所以当时，有

（5分）[24][答案]

幂级数的收敛域是，

当时，有

（2分）[25][答案]

这是以为公比的等比级数

令解得

故所所求收敛域为。

（3分）[26][答案]

级数的收敛半径

（2分）[27][答案]

级数的收敛半径。

（6分）[28][答案]

因为幂级数的收敛域是，所以

在上的连续，

且可逐项积分。

（6分）[29][答案]

由于幂级数的收敛域是，所以

在上连续，且可逐项积分。

故

（6分）[30][答案]

由于的收敛区域是，当

时，可微，而且

，

所以

，

。

（6分）[31][答案]

因为的收敛区域是，

在任意点可微，且可逐项微分。

，

故

。

（6分）[32][答案]

由于、的收敛半径分别为，

所以两幂级数乘积的收敛半径是，

故当时，

（6分）[33][答案]

幂级数的收敛域是，

所以在上可微，且可逐项微分，

（6分）[34][答案]

因为幂级数的收敛半径，所以，

在内连续，可微，

且

（3分）[35][答案]

由于

由级数表示的唯一性，即知上式就是所求级数。

（3分）[36][答案]

因为

所以

级数的收敛域是

（A）

（B）

（C）

（D）

答（）