课时提升作业一.docx
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课时提升作业一
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课时提升作业
（一）
命 题
一、选择题（每小题3分，共18分）
1.下面语句中是命题的是（ ）
A.x2+1>0（x∈R）B.函数y=x2是偶函数吗
C.a2=aD.平行四边形
【解析】选A.B，C，D不能判断真假.A中x2+1>0（x∈R）是真命题.
2.下列语句不是命题的是（ ）
A.e是有理数B.若a-c=b-c，则a=b
C.这条河真宽啊！
D.若m>0，则2m-1>0
【解析】选C.A，B，D均能确定真假.而选项C是感叹句，不是命题，故选C.
3.（2014·泰安高二检测）命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是
（ ）
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线
【解析】选D.可把命题改写成“若p，则q”的形式.若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行.
【变式训练】下列说法正确的是（ ）
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时，方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
【解析】选D.对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.
4.（2014·广州高二检测）下列语句：
（1）6是自然数且是偶数.
（2）3≤2.
（3）sinx>x.
（4）平行四边形的对角线相等且相互平分.
其中为真命题的有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】选A.仅
（1）对.命题要么为真，要么为假.不能判断真假的语句不是命题.
【变式训练】下列语句中假命题的个数是（ ）
①3是15的约数；②15能被5整除吗？
③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？
④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或-3；
⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数.
A.2B.3C.4D.5
【解析】选A.④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题.
5.（2014·武汉高二检测）已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd>1，则下列四个命题为真命题的是（ ）
A.在a，b，c，d中有且仅有一个是负数
B.在a，b，c，d中有且仅有两个是负数
C.在a，b，c，d中至少有一个是负数
D.在a，b，c，d中都是负数
【解题指南】可用不等式的基本性质判断真假，正确的说明道理、错误的举出反例.
【解析】选C.A是假命题，可两正两负如a=c=-1，b=d=2.
B是假命题，可一负三正.如a=-1，b=2，c=
，d=
.
C是真命题，假设都正，则1=（a+b）（c+d）=（bc+ad）+（ac+bd）得ac+bd<1与ac+bd>1矛盾.
D假命题.
6.给出下列命题：
①在△ABC中，若∠A>∠B，则sinA>sinB；
②函数y=x3在R上既是奇函数又是增函数；
③函数y=f（x）的图象与直线x=a至多有一个交点；
④若将函数y=sin2x的图象向左平移
个单位，则得到函数y=sin（2x+
）的图象.
其中正确命题的序号是（ ）
A.①②B.①②③
C.①③④D.①②③④
【解析】选B.①∠A>∠B⇒a>b⇒sinA>sinB.②③易知正确.④将函数y=sin2x的图象向左平移
个单位，得到函数y=sin（2x+
）的图象.故①②③正确.
二、填空题（每小题4分，共12分）
7.（2014·长沙高二检测）判断下列语句是命题的有________；其中是真命题的有____________.（只填序号）
①等边三角形是等腰三角形吗？
②作三角形的一个内角平分线.
③在三角形中，大边对大角，小边对小角.
④若x+y为有理数，则x，y也都是有理数.
⑤x>8.
【解题指南】先根据命题的概念，判断所给语句是否为命题，若是再判断真假.
【解析】①是疑问句.②是祈使句，不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假，不是命题.
答案：
③④ ③
【方法锦囊】判断语句是否为命题的方法
要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.
一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
数学中的定义、公理、定理等都是命题.
猜想类的，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和（哥德巴赫猜想）”虽然目前不能确定真假，但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.
8.命题“若a，b∈R且a>b，b≠0，则（a-b）b2>0”的条件为________，结论为________.
【解析】命题“若a，b∈R且a>b，b≠0，则（a-b）b2>0”的条件为“a，b∈R且a>b，b≠0”，结论为“（a-b）b2>0”.
答案：
a，b∈R且a>b，b≠0 （a-b）b2>0
9.把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数f（x）=log2x的图象与g（x）的图象关于原点对称，则g（x）=________.
【解析】设g（x）上任意一点坐标为P（x，y），则点P关于原点的对称点坐标为P1（-x，-y），点P1在函数f（x）=log2x的图象上，将对称点坐标直接代入f（x），即得：
g（x）=-log2（-x）.
答案：
-log2（-x）
【举一反三】若把题目中的“关于原点对称”改为“关于y轴对称”，则结论如何？
改为“关于x轴对称”呢？
【解析】若关于y轴对称，设g（x）上任意一点坐标为P（x，y），则点P关于y轴的对称点坐标为P2（-x，y），点P2在函数f（x）=log2x的图象上，将对称点坐标直接代入f（x），即得：
g（x）=log2（-x）.同理，若关于x轴对称，可得g（x）=-log2x.
三、解答题（每小题10分，共20分）
10.（2014·临沂高二检测）指出下列命题中的条件p和结论q：
（1）若a，b，c成等差数列，则2b=a+c.
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.
【解题指南】数学中的一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式.一般而言，“若”“如果”“只要”后面是条件，“则”“那么”“就有”后面是结论.
【解析】
（1）条件p：
a，b，c成等差数列，
结论q：
2b=a+c.
（2）条件p：
一个函数是偶函数，
结论q：
这个函数的图象关于y轴成轴对称图形.
【变式训练】指出下列命题中的条件p和结论q：
（1）若a，b都是无理数，则ab是无理数.
（2）如果一个数是奇数，那么它不能被2整除.
（3）函数y=sinωx（ω≠0）的最小正周期是
.
【解析】
（1）条件p：
a，b都是无理数，结论q：
ab是无理数.
（2）条件p：
一个数是奇数，结论q：
它不能被2整除.
（3）结论p：
函数y=sinωx（ω≠0），结论q：
它的最小正周期是
.
11.把下列命题改为“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.
（1）相切两圆的连心线过切点.
（2）没有公共点的两条直线平行.
（3）如果对于二次函数f（x）=x2+bx+c，有f（t）<0，那么方程x2+bx+c=0有一个根小于t，另一个根大于t.
【解析】
（1）若一条直线经过相切两圆的圆心，则它也经过这两圆的切点.是真命题.
（2）如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行.是假命题.
（3）本题就是命题的“若p，则q”的形式.是真命题.
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2013·德州高二检测）下列语句中是命题的个数是（ ）
①|x+2|；②-5∈Z；③π∉R；④A⊆B.
A.1B.2C.3D.4
【解析】选B.①不能判断对错，故不是命题；②能判断为正确，是命题；③能判断为错误，是命题；④不能判断正误，不是命题.
2.（2014·郑州高二检测）对于函数①f（x）=|x+2|；②f（x）=（x-2）2；
③f（x）=cos（x-2），判断如下两个命题的真假：
命题甲：
f（x+2）是偶函数；
命题乙：
f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数.
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
A.①②B.①③C.②D.③
【解析】选C.对①，f（x+2）=|x+4|不是偶函数，所以命题甲为假，故排除选项A，B；对③，f（x）=cos（x-2），显然不是区间（2，+∞）上的增函数，命题乙为假，排除D.故选C.
【变式训练】下列命题正确的是（ ）
A.经过三点确定一个平面
B.两条直线确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.不共面的四点可以确定4个平面
【解析】选D.因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定4个平面.
3.命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.a<0或a≥3 B.a≤0或a≥3
C.a<0或a>3D.0【解析】选A.若命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是真命题，则a=0时，3>0符合题意，
a≠0时，则a>0且Δ<0，
解得00恒成立”是真命题，故当a<0或a≥3时，命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题.
【方法锦囊】分类讨论思想在命题中的应用
分类讨论是中学数学中常用的、很重要的数学思想方法之一，也是高考中常考常新的数学思想，分类讨论的关键是把握好分类的标准，既要恰当，又要准确，先对问题进行分类，然后依次求解（或证明），综合推出问题的结论.
4.（2014·沈阳高二检测）给出下列命题：
①函数y=x-1，y=
，y=（x-1）2，y=x3中，有三个函数在区间（0，+∞）上单调递增；
②若logm3③已知函数f（x）=
那么方程f（x）=
有两个实数根.
其中正确命题的个数为（ ）
A.0B.1C.2D.3
【解析】选C.①函数y=x-1在区间（0，+∞）上单调递减，y=
和y=x3在区间（0，+∞）上单调递增，y=（x-1）2在区间（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以①错误；②结合对数函数的图象可知是正确的；③当x≤2时，f（x）=
即3x-2=
，解得x=2-log32；当x>2，f（x）=
即log3（x-1）=
，解得x=
+1，所以③是正确的；因此正确答案是C.
二、填空题（每小题5分，共10分）
5.（2014·武汉高二检测）把命题“6是12和24的公约数”改写成“若p，则q”的形式是________.
【解析】若6是12的约数且6是24的约数，则6是12和24的公约数.
答案：
若6是12的约数且6是24的约数，则6是12和24的公约数
6.设y=f（x）是定义在R上的函数，给定下列三个条件：
（1）y=f（x）为偶函数.
（2）y=f（x）的图象关于直线x=1对称.
（3）T=2为y=f（x）的一个周期.
如果将上面的
（1）
（2）（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中，真命题有________个.
【解析】①
（1）
（2）⇒（3），由
（2）知f（x）=f（2-x），
又f（x）=f（-x），所以f（-x）=f（2-x），
所以T=2为y=f（x）的一个周期.
②
（1）（3）⇒
（2），由（3）知f（x）=f（2+x），
又f（x）=f（-x），所以f（-x）=f（2+x），
所以y=f（x）的图象关于直线x=1对称.
③
（2）（3）⇒
（1），由
（2）知f（x）=f（2-x），
所以f（-x）=f（2+x），
由（3）知f（x）=f（2+x），
所以f（x）=f（-x），即y=f（x）为偶函数.
答案：
3
【举一反三】若把条件中的“偶函数”改为“奇函数”，“关于直线x=1对称”改为“关于点（1，0）对称”，结论如何？
【解析】①
（1）
（2）⇒（3），由
（2）知f（x）=-f（2-x），
又f（x）=-f（-x），所以f（-x）=f（2-x），
所以T=2为y=f（x）的一个周期.
②
（1）（3）⇒
（2），由（3）知f（x）=f（2+x），
又f（x）=-f（-x），所以f（-x）=-f（2+x），
所以y=f（x）的图象关于点（1，0）对称.
③
（2）（3）⇒
（1），由
（2）知f（x）=-f（2-x），
所以f（-x）=-f（2+x），由（3）知f（x）=f（2+x），
所以f（x）=-f（-x），即y=f（x）为奇函数.故真命题仍有3个.
答案：
3
三、解答题（每小题12分，共24分）
7.（2014·银川高二检测）把下列命题改写成“若p，则q”的形式：
（1）末位是0的整数，可以被5整除.
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（3）等式两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.
（4）到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线.
【解析】
（1）若一个整数的末位数是0，则它可以被5整除.
（2）若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等.
（3）若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.
（4）若一条直线到一个圆圆心的距离不等于半径，则它不是这个圆的切线.
8.
（1）已知方程ax2+bx+1=0有解是真命题，求a，b满足的条件.
（2）已知命题“若x1>
”是假命题，求a满足的条件.
【解题指南】本题是利用学过的相关知识点，从已知条件出发，推证出一个命题是真命题，
（1）注意分类讨论，利用判别式求解；
（2）先转化为真命题再求解.
【解析】
（1）因为ax2+bx+1=0有解.
所以当a=0时，bx+1=0有解，只有b≠0时，
方程有解x=-
.
当a≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ=b2-4a≥0.
综上，当a=0，b≠0或a≠0，b2-4a≥0时，方程ax2+bx+1=0有解.
（2）因为命题当x1>
为假命题，
所以应有当x1≤
.即
≤0.
因为x10，x1x2>0，
所以a≤0.
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