人教版八年级数学下册 第18章《平行四边形》讲义 第10讲 中位线及矩形.docx

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人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》讲义第10讲中位线及矩形

第10讲中位线、矩形

第一部分知识梳理

知识点一：

三角形中位线

三角形的中位线的定义：

连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．

三角形中位线性质：

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．

知识点二：

基本概念

1、矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、基本性质：

（1）角：

矩形的四个内角都是直角；

（2）边：

矩形的对边平行且相等；

（3）对角线：

矩形的对角线相等且互相平分；

（4）对称性：

矩形是轴对称图形，中心对称图形，旋转对称图形；

（5）面积：

S=长×宽。

知识点三：

矩形的判定方法

（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线相等的平行四边形是矩形；

（4）对角线相等且互相平分的是矩形。

知识点四：

直角三角形中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

第二部分考点精讲精练

考点1、中位线

例1、如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为_________．

例2、如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3cm，则AD的长是_________cm．

例3、如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是

AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）

A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小

C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P

（例1）（例2）（例3）

例4、如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且∠ABD=30°

求：

（1）MH的长；

（2）MN的长。

例5、已知：

如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：

AB＝2OF．

举一反三：

1、如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为。

2、如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．

3、如图：

已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：

AE与DF互相平分．

4、如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：

MN∥BC．

5、如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：

EF和GH互相平分．

6、如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：

MN∥AD且MN=

AD．

考点2、矩形的性质

例1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线（）

A、互相垂直　　B、相等　C、互相平分D、互相垂直且相等

例2、如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，BC于F，∠BDF=15°，则∠COF=______．

例3、如图，矩形

的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形

，再顺次连结四边形

四边中点得到四边形

，依此类推，求四边形

的面积是　　。

（例2）（例3）

例4、如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（）

A.360

B.540

C.720

D.630

例5、如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上。

设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点。

（1）求证：

四边形AECG是平行四边形； 

（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长

举一反三：

1、如图，矩形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（　　）

A、15B、30C、45D、60

2、矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（    ） 

A、6cm和9cm     B、5cm和10cm        

C、4cm和11cm        D、7cm和8cm

3、矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于O点，∠AOB=2∠BOC，若对角线AC的长为18 cm，则AD=    cm。

4、如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：

（1）∠PBA=∠PCQ=30°；

（2）PA=PQ．

考点3、矩形判定

例1、已知：

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：

EF=AD．

例2、设凸四边形ABCD的4个顶点满足条件：

每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?

例3、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）试判断线段BD与CD的大小关系；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；

例4、如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：

四边形EFGH的矩形。

例5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E、O是边AC，AB上的中点，BF∥AC，连接EO交BE于F．

（1）求证：

△AOE≌△BOF；

（2）求证：

四边形BCEF是矩形．

举一反三：

1、在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以

2、已知：

如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：

四边形EFGH是矩形。

3、如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm．动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动．点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，

（1）当t=1秒时,四边形APQD的面积是多少？

（2）当t为何值时，四边形APQD是矩形？

4、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：

四边形ADCE是矩形

5、在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．

（1）求证：

△BEC≌△DFA；

（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？

并证明你的结论．

考点4：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例1、如图，BE和AD是△ABC的高，F是AB的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（　　）

A、2个B、3个C、4个D、5个

例2、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、F分别是BC、DE的中点。

求证：

MN⊥DE

例3、过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30o

求证：

OG=

DC

例4、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。

MN、AC的位置关系如何？

证明你的猜想。

例5、如图，已知：

△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足．求证：

（1）G是CE的中点；

（2）∠B=2∠BCE．

举一反三：

1、在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有________，与∠A相等的角有________，若∠A=35°，那么∠ECB=________。

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若BC=4，CD=

，则BE的长为（　　）

A、

B、

C、

D、

3、如图，M是Rt△ABC斜边AB上的中点，D是边BC延长线上一点，∠B=2∠D，AB=16cm，求线段CD的长．

4、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm．

（1）求：

∠BDC的度数；

（2）求△BCD的面积．

5、如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD。

求证：

∠FDA=∠FCB

第三部分课堂小测

1、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是（）

A、对角相等B、对角线相等

C、对边相等D、对角线互相平分

2、如图，△ABC中，∠C=90°，D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE=（　　）

A、40°B、50°C、60°D、70°

3、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

A、20B、12C、14D、13

4、在矩形ABCD中,对角线交于O点，AB=0.6,BC=0.8,那么△AOB的面积为;周长为.

5、已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24cm，则矩形的面积为cm2。

6、如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是平行四边形吗？

为什么？

7、如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点 C＇处，BC＇交AD于E，AD=8，AB=4，BE=5,求△BED的面积。

8、如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？

9、如图,AD//BC,AB=DC,∠BDC=∠BAC=90°,BC=2AD=4CM,E是BC中点

问：

（1）求△ADE周长

（2）△ADE是什么三角形?

说明理由.

（3）线段AC与DE有什么关系?

10、如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?

为什么?

第四部分提高训练

1、如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？

你是怎样得到的？

2、如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．

试说明：

（1）DE∥BC；

（2）DE=

（BC-AC）．

3、如图，△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，点E为BC的中点．

求证：

DE=

AB．

4、

（1）如图1，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且BE=ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于点F，PG⊥AD于点G．判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．

（2）如图2，当四边形ABCD变为平行四边形，其他条件不变，若∠ABC=60°，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．

（3）如图3，当四边形ABCD满足∠ABD=90°，AB=3，BD=4，其它条件不变，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．

第五部分课后作业

1、如果矩形的一条对角线与一边的夹角为40°那么两条对角线所夹锐角的度数为________

2、矩形

中，对角线

、

交于点

，

于

若

则

．

3、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　）

A、7B、8C、9D、10

4、如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（　　）

A、2B、

C、

D、2

（3）（4）

5、已知AD是三角形ABC的中线，E是AD中点，F是BE的延长线与AC的交点。

求证:

AF=

FC

6、如图，在等腰直角△ABC中，AB＝BC，点E在AB上，DE⊥AC，DE交AC于点D，M是EC的中点，求证：

（1）△MBD是等腰三角形；

（2）将△DEA绕点A逆时针旋转，使点D落在AB上，如图

（2）中的“△MBD为等腰直角三角形”仍然成立吗？

请说明理由．

7、在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．

（1）求∠CAE的度数；

（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

8、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON=OB，再延长OC至M，使CM=AN，求证：

四边形NDMB为矩形．

9、如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.

（1）求证：

EO=FO

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论.

第10讲中位线、矩形

参考答案

第二部分考点精讲精练

考点1、中位线

例1、3

例2、6

例3、C

例4、

由勾股定理：

例5、

举一反三：

1、

2、

3、

4、

5、

6、

考点2、矩形的性质

例1、A

例2、75°

例3、

例4、D

例5、

举一反三：

1、B

2、B

3、9

4、

考点3、矩形判定

例1、证明：

∵DE，DF是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵∠BAC=90°，

∴平行四边形AEDF是矩形，

∴EF=AD．

例2、

例3、

例4、

例5、

举一反三：

1、略（符合条件即可）

2、

3、

（1）当t=1秒时,四边形APQD的面积是46㎝2；

4、

5、

考点4：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例1、D

例2、

例3、

例4、

例5、

举一反三：

1、AE，BE；∠ACE；55°

2、D

3、

4、

5、

解：

连接BF。

 ∵矩形ABCD

 ∴AD∥BC

 ∴

 ∵点F是AE的中点

 ∴BF=1/2AE=AF（RT△斜边上的中线等于斜边的一半）

 ∵AD=BC （矩形的对边相等）

 ∴△ADF≌△BCF（SAS）

 ∴

第三部分课堂小测

1、B

2、C

3、C

4、0.12；1.6

5、32

6、

7、

8、AB＝40m

9、

10、

第四部分提高训练

1、解：

连接DE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB

CD．

∵DF=

CD，AE=

AB，

∴DF

AE．

∴四边形ADFE是平行四边形．

∴EF=AD=1cm．

∵AB=2AD，∴AB=2cm．

∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．

∴∠1=∠4．

∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，

∴∠1=∠A=∠4=60°．

∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．

∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．

∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．

∴∠ADB=∠3+∠4=90°．

∴BD=

=

（cm）．

2、解：

延长AD交BC于F．

（1）∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠FDC=90°．

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．

在△ACD与△FCD中，

∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．

∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．

又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．

（2）由

（1）知AC=FC，DE=

BF．

∴DE=

（BC-FC）=

（BC-AC）．

3、证明：

如图，取AC的中点F，连接EF、DF，

∵AD为BC边上的高，

∴CF=DF，

∴∠CDF=∠C，

∵点E为BC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥AB，EF=

AB，

∴∠CEF=∠B，

由三角形的外角性质，∠CEF=∠CDF+∠DFE，

∵∠B=2∠C，

∴∠CDF+∠DFE=2∠CDF，

∴∠CDF=∠DFE，

∴EF=DE，

∴DE=

AB．

4、

第五部分课后作业

1、80°

2、4（提示：

△ABO是等边三角形）

3、B

4、C　

5、

6、

7、

8、

9、