北师大版七下数学几何部分期末练习.docx

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北师大版七下数学几何部分期末练习

北师大版七年级下册数学几何及概率部分练习题精选

1.已知AB∥CD，分别探讨下列四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明理由．

2.如图所示的四幅图形，都满足AB∥CD，请在每幅图形中写出∠A、∠C，与∠AEC的数量关系（都指图中小于180°的角），并任选一个完成它的证明过程．

3.已知直线AB∥CD，

（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．

（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？

请说明理由．

4.如图，AC∥BD，AB∥CD，∠1=∠E，∠2=∠F，AE交CF于点O，试说明：

AE⊥CF

5.如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．

（1）若∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数；

（2）△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），请你根据

（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系，并说明理由

6.如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图

（1）位置时，求证：

∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图

（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

7.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．

（1）若∠BOD=28°，求∠AOE的度数．

（2）若OF平分∠AOC，小明经探究发现，当∠BOD为锐角时，∠EOF的度数始终都是∠BOC度数的一半，请你判断他的发现是否正确，并说明理由

8.情境观察：

如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．

①写出图1中所有的全等三角形；

②线段AF与线段CE的数量关系是．

问题探究：

如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：

AE=2CD．拓展延伸：

如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=

∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：

DF=2CE．

9.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．

10.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状，并证明你的结论

11.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E，若∠AFD=158°，求∠EDF的度数

12.

（1）探究：

如图1，求证：

∠BOC=∠A+∠B+∠C

（2）应用：

如图2，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数

13.已知：

如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AD⊥BD，AE⊥CE，且AD=AE．求证：

△AEC≌△ADB

14.如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由

15.如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，CD=CE，∠ACE=60°．

（1）求证：

△BCD≌△ACE；

（2）延长BD交AE于F，连接CF，若AF=CF，猜想线段BF、AF的数量关系，并证明你的猜想

16.如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F．求证：

BE=CF

17.如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，BD=CE，∠1=∠2，试判断BC与AE的位置关系，并证明你的结论

18.如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC+∠ADC=180°，求证：

①DC=BC；②AD+AB=AC

19.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．

①求证：

△ABE≌△CBD；

②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

20.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AB=CD，请你再添加个条件，使得AE=DF，并说明理．

21.已知：

如图，△ABC和△EFC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，点E在AB边上．

（1）求证：

△ACE≌△BCF；

（2）若∠BFE=60°，求∠AEC的度数

22.已知：

∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，

（1）如图1，

①线段CD和BE的数量关系是；

②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．

（2）如图2，上述结论②还成立吗？

如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．

23.已知：

如图，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE=BF．求证：

AB∥CD．

24.如图，已知AB⊥AC，AB=AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E．求证：

△ADC≌△BEA

25.如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF

（1）求证：

△ABE≌△CBF；

（2）若∠BAE=25°，求∠ACF的度数．

26.在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AE=BE．

求证：

（1）∠DAB=∠EBC；

（2）AF=2CD．

27.如图，AB∥ED，已知AC=BE，且点B、C、D三点共线，若∠E=∠ACB．求证：

BC=DE．

28.如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：

∠B=∠E．

29.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：

DE=DF

30.如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：

△ABE≌△CBF．

31.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．求证：

△ACD≌△CBE．

32.已知：

如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．

求证：

BC=DE．

33.如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：

BD=CE．

34.如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：

AD=CF．

35.阅读发现：

（1）如图①，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD，AE．易证：

△BCD≌△BAE．（不需要证明）

提出问题：

（2）在

（1）的条件下，当BD∥AE时，延长CD交AE于点F，如图②，求AF的长．

解决问题：

（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD，AE．当∠BAE=45°时，点E到AB的距离EF的长为2，求线段CD的长为

36.已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，且BD=AC，过点D作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延长线于点F．求证：

AB=DF．

37.如图，已知∠ABC=90°，D是AB延长线上的点，AD=BC，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，求证：

FD⊥CD．

38.如图，请你在下列各图中，过点P画出射线AB或线段AB的垂线．

39.如图

（1），由三角形的内角和或外角和可知：

∠ABC=∠A+∠C+∠O在图

（2）中，直接利用上述的结论探究：

①若AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，且∠O=80°∠B=120°，求∠ADC的度数

②AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，猜想∠O，∠ABC，∠ADC之间的等量关系，并说明理由．

40.已知：

如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：

∠A=∠E

41.如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．试猜想BD与CE有何关系？

并证明你的猜想

42.如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且OB=OC．求证：

AO平分∠BAC

43.已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC边上，连接DE，DF，∠EDF=90°，求证：

BE=AF

44.如图：

△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，点B，C，E在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图中的全等三角形，并给予证明（说明：

结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：

DC⊥BE．

45.探究：

（1）如图1，在ABC与ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连结BD、CE．请写出图1中所有全等的三角形：

（不添加字母）．

（2）如图2，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，l是过A点的直线，CN⊥l，BM⊥l，垂足为N、M．求证：

△ABM≌△CAN．

解决问题：

（3）如图3，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D在边BC上，DA=DE，∠ADE=90°，求证：

AC⊥CE．

46.已知：

如图，EF⊥BC于点F，ED⊥AB于点D交BC于点M，BD=EF．求证：

BM=EM

47.如图，在△ABC的外部，分别以AB、AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，CD与BE交于点P．

试证：

（1）CD=BE；

（2）∠BPC=90°

48.如图

（1），△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）请说明：

△ADC≌△CEB．

（2）请你探索线段DE，AD，EB间的等量关系，并说明理由；

（3）当直线MN绕点C旋转到图

（2）的位置时，其它条件不变，线段DE，AD，EB又有怎样的等量关系？

（不必说理由）．

49.

（1）如图①∵∠B+∠D+∠1=180°

又∵∠1=∠A+∠2

∠2=∠C+∠E

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°

（2）将图①变形成图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°，请证明这个结论．

（3）将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°，请继续证明这个结论．

50.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？

并说明理由

51.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F

（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；

（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数

52.在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，

求证：

E点在线段AC的垂直平分线上

53．如图，已知：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：

OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？

并证明你的结论

54．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=4，MN垂直平分AB，且BM=2CM，求CM的长．

55.作图题：

（不写作法，但必须保留作图痕迹）

如图：

某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？

在所给的图形中画出你的设计方案．

56.a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹

57.△ABC中，DE，FG分别垂直平分边AB，AC，垂足分别为点D，G．

（1）如图，①若∠B=30°，∠C=40°，求∠EAF的度数；

②如果BC=10，求△EAF的周长；

③若AE⊥AF，则∠BAC=°．

（2）若∠BAC=n°，则∠EAF=°（用含n代数式表示）

58.已知：

如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：

∠B=∠E

59.已知△ABC中∠BAC=120°，BC=26，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与ABAC分别交于点D、G．

求：

（1）∠EAF的度数．

（2）求△AEF的周长

60．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：

∠FAC=∠B

61.已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别C、D，求证：

OP是CD的垂直平分线．

62如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：

AD垂直平分EF．

63已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：

DB=DE

64如图，已知l1，l2分别是△ABC的边AB、BC的垂直平分线，l1与l2相交于点O，试判断线段0A与OC的数量关系

65如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，连接BP、CP．试问：

∠ABP+∠ACP的度数是定值吗？

请证明你的结论

66.图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D．

（1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数．

（2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数．

（3）如果∠CAD：

∠DAB=1：

2，求∠CAB的度数

67.如图，△ABC中，∠B=25°，∠C=40°，AB的垂直平分线DN交BC于D，AC的垂直平分线EF交BC于E，连接AD、AE．求△ADE各内角的度数

68.数学课上，李老师出示了如下的题目：

“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目

解：

题目中，AE与DB的大小关系是：

AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

69.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．

（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；

（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．

70.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，

（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；

（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．

71.已知：

如图，AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．

72.已知：

如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC．

（1）求∠PAQ的度数；

（2）如果BC=10cm，求△APQ的周长．

73.△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°．

（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：

DA+DC=DB；

（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，

（1）中的结论是否仍然成立？

请说明理由．

74.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PD=2，求PC的长．

75.如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．

求证：

∠PCB+∠BAP=180°．

76.如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：

BP为∠MBN的平分线

77.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为49和40，求△EDF的面积为多少？

78.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．

（1）求证：

AD平分∠BAC；

（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

79.如图所示，已知∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：

M是BC的中点．

80.已知：

∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．

81.如图，在△ABC中，∠ACB=3∠B，∠1=∠2，CD⊥AD于D，求证：

AB-AC=2CD

82.如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：

∠M=

（∠ACB-∠B）．请说明理由

83.如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：

点P是线段CD的中点吗？

为什么？

84.如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：

BF=CG

85.观察、猜想、探究：

在△ABC中，∠ACB=2∠B．

（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：

AB=AC+CD；

（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

不需要证明，请直接写出你的猜想；

（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

86.

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：

BD=DF．

（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？

并证明这种关系．

（3）如图3，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？

请写出你的猜想．（不需证明）

87.一个不透明的口袋里装有2个红球、1个黄球和若干个绿球（除颜色不同外其余都相同），若从中任意摸出1个球是绿球的概率是

（1）求口袋中绿球的个数；

（2）若第一次从口袋中任意摸出1个球，放回搅匀，第二次再摸出1个球，用列表或画树状图方法写出所有可能性，并求出刚好摸到一个红球和一个绿球的概率

88.在一个不透明的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色之外没有任何其它区别，其中有白球3只、红球2只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．

（1）随机地从袋中取出1只球，求取出的球是黑球的概率；

（2）若取出的第1只球是红球，将它放在桌上，然后从袋中余下的球中再随机地取出1只球，这时取出的球还是红球的概率是多少？

89.在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为

（1）求袋中黄球的个数；

（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．

90.将6个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中，甲袋中有3个球，分别标有数字1、3、5；乙袋中有3个球，分别标有数字2、4、6，从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．

（1）用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率；

（2）摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？