即ab上滑时间比下滑时间短．
[答案] 见解析
【迁移题组】
迁移1 导体棒做匀速运动问题
1.（多选）一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示，磁感应强度B＝0.5T，导体棒ab、cd长度均为0.2m，电阻均为0.1Ω，重力均为0.1N，现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升（导体棒ab、cd与导轨接触良好），此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确的是（ ）
A．ab受到的拉力大小为2N
B．ab向上运动的速度为2m/s
C．在2s内，拉力做功，有0.4J的机械能转化为电能
D．在2s内，拉力做功为0.6J
解析：
选BC.对导体棒cd分析：
mg＝BIl＝
，得v＝2m/s，故选项B正确；对导体棒ab分析：
F＝mg＋BIl＝0.2N，选项A错误；在2s内拉力做功转化为ab棒的重力势能和电路中的电能，电能等于克服安培力做的功，即W电＝F安vt＝
＝0.4J，选项C正确；在2s内拉力做的功为W拉＝Fvt＝0.8J，选项D错误．
迁移2 导体棒做加速运动问题
2．如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系．
解析：
（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E＝BLv①
平行板电容器两极板之间的电势差为U＝E②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有
C＝
③
联立①②③式得Q＝CBLv.④
（2）设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i.金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为F安＝BLi⑤
设在时间间隔（t，t＋Δt）内流经金属棒的电荷量为ΔQ，据定义有i＝
⑥
ΔQ也是平行板电容器两极板在时间间隔（t，t＋Δt）内增加的电荷量．由④式得：
ΔQ＝CBLΔv⑦
式中，Δv为金属棒的速度变化量．据定义有
a＝
⑧
金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为
Ff＝μFN⑨
式中，FN是金属棒对导轨的正压力的大小，
有FN＝mgcosθ⑩
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有
mgsinθ－F安－Ff＝ma
联立⑤至
式得a＝
g
由
式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动．t时刻金属棒的速度大小为
v＝
gt.
答案：
（1）Q＝CBLv
（2）v＝
gt
电磁感应中的能量问题
【题型解读】
电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程．
1．能量转化及焦耳热的求法
（1）能量转化
（2）求解焦耳热Q的三种方法
2．解决电磁感应能量问题的策略是“先源后路、先电后力，再是运动、能量”，即
【典题例析】
（2019·台山模拟）如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离l＝0.50m．轨道的MM′端接一阻值为R＝0.50Ω的定值电阻，直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度大小为B＝0.60T的匀强磁场中，磁场区域右边界为NN′、宽度d＝0.80m；水平轨道的最右端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N′P′平滑连接，两半圆形轨道的半径均为R0＝0.50m．现有一导体杆ab静止在距磁场的左边界s＝2.0m处，其质量m＝0.20kg、电阻r＝0.10Ω.ab杆在与杆垂直的、大小为2.0N的水平恒力F的作用下开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，杆穿过磁场区域后，沿半圆形轨道运动，结果恰好能通过半圆形轨道的最高位置PP′.已知杆始终与轨道垂直，杆与直轨道之间的动摩擦因数μ＝0.10，轨道电阻忽略不计，取g＝10m/s2.求：
（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆的电流的大小和方向；
（2）在导体杆穿过磁场的过程中，通过电阻R的电荷量；
（3）在导体杆穿过磁场的过程中，整个电路产生的焦耳热．
[审题突破]
（1）先由动能定理求出导体杆进入磁场时的速度，然后由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可求得感应电流大小，再由右手定则判断感应电流方向．
（2）先求出产生的感应电动势的平均值，然后根据欧姆定律求出电流的平均值，进而求出电荷量．
（3）回路中机械能转化为内能，根据能量守恒定律求出电路中产生的焦耳热．
[解析]
（1）设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v1
由动能定理得（F－μmg）s＝
mv
－0
导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势为E＝Blv1
此时通过导体杆的电流大小为I＝
代入数据解得I＝3A
由右手定则可知，电流的方向为由b指向a.
（2）ΔΦ＝B·ld，
＝
，
＝
，q＝
·Δt
联立解得q＝0.4C.
（3）由
（1）可知，导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度v1＝6.0m/s
设导体杆通过半圆形轨道的最高位置时的速度为v，则有mg＝
在导体杆从刚进入磁场到滑至最高位置的过程中，由能量守恒定律有
mv
＝Q＋mg×2R0＋
mv2＋μmgd
解得Q＝0.94J.
[答案]
（1）3A 方向为由b指向a
（2）0.4C
（3）0.94J
【跟进题组】
1.竖直平面内有一形状为抛物线的光滑曲面轨道，如图所示，抛物线方程是y＝x2，轨道下半部分处在一个水平向外的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线（图中虚线所示），一个小金属环从抛物线上y＝b（b>a）处以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，金属环沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是（ ）
A．mgb B．
mv2
C．mg（b－a）D．mg（b－a）＋
mv2
解析：
选D.小金属环进入或离开磁场时，磁通量会发生变化，并产生感应电流，产生焦耳热；当小金属环全部进入磁场后，不产生感应电流，小金属环最终在磁场中做往复运动，由能量守恒可得产生的焦耳热等于减少的机械能，即Q＝
mv2＋mgb－mga＝mg（b－a）＋
mv2.
2．（2016·高考浙江卷）小明设计的电磁健身器的简化装置如图所示，两根平行金属导轨相距l＝0.50m，倾角θ＝53°，导轨上端串接一个R＝0.05Ω的电阻．在导轨间长d＝0.56m的区域内，存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0T．质量m＝4.0kg的金属棒CD水平置于导轨上，用绝缘绳索通过定滑轮与拉杆GH相连．CD棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s＝0.24m．一位健身者用恒力F＝80N拉动GH杆，CD棒由静止开始运动，上升过程中CD棒始终保持与导轨垂直．当CD棒到达磁场上边界时健身者松手，触发恢复装置使CD棒回到初始位置（重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，不计其他电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量）．求：
（1）CD棒进入磁场时速度v的大小；
（2）CD棒进入磁场时所受的安培力FA的大小；
（3）在拉升CD棒的过程中，健身者所做的功W和电阻产生的焦耳热Q.
解析：
（1）由牛顿第二定律a＝
＝12m/s2①
进入磁场时的速度v＝
＝2.4m/s.②
（2）感应电动势E＝Blv③
感应电流I＝
④
安培力FA＝IBl⑤
代入得FA＝
＝48N．⑥
（3）健身者做功W＝F（s＋d）＝64J⑦
由牛顿第二定律F－mgsinθ－FA＝0⑧
CD棒在磁场区域做匀速运动
在磁场中运动的时间t＝
⑨
焦耳热Q＝I2Rt＝26.88J.
答案：
见解析
电磁感应中的动力学综合问题
[典例] （2016·高考全国卷Ⅰ）如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab（仅标出a端）和cd（仅标出c端）长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上．已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g.已知金属棒ab匀速下滑．求
（1）作用在金属棒ab上的安培力的大小；
（2）金属棒运动速度的大小.
核心考点
1.通电导体受到的安培力F＝BIL.
2．受力分析和物体的平衡．
3．导体切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv.
4．右手定则.
命题技巧
1.本试题巧妙设置“两根不可伸长的柔软轻导线”，金属棒运动时只有动生电动势不会同时出现感生电动势．
2．“两根导线刚好不在磁场中”即导线不受安培力.
核心素养
1.物理观念：
运动观念、相互作用观念．
2．科学思维：
导体棒在安培力作用下的运动.
[审题关键]
（1）两金属棒都做匀速直线运动，ab棒产生感应电流并受安培力，cd棒不在磁场中，无安培力下受力平衡．
（2）由第一步求出的安培力F＝BIL结合电磁感应原理E＝BLv和闭合电路欧姆定律I＝
，确定出金属棒的速度.
[解析]
（1）设两根导线的总的张力的大小为T，右斜面对ab棒的支持力的大小为N1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为N2.对于ab棒，由力的平衡条件得2mgsinθ＝μN1＋T＋F①
N1＝2mgcosθ②
对于cd棒，同理有mgsinθ＋μN2＝T③
N2＝mgcosθ④
联立①②③④式得F＝mg（sinθ－3μcosθ）．⑤
（2）由安培力公式得F＝BIL⑥
这里I是回路abdca中的感应电流
ab棒上的感应电动势为E＝BLv⑦
式中，v是ab棒下滑速度的大小
由欧姆定律得I＝
⑧
联立⑤⑥⑦⑧式得v＝（sinθ－3μcosθ）
.
[答案]
（1）mg（sinθ－3μcosθ）
（2）（sinθ－3μcosθ）
易错展示
（1）两根导线不可伸长且跨过小定滑轮连接两棒受两张力，两力大小相等．
（2）两导线刚好不在磁场中，即导线不受安培力，张力不受磁场的影响.
【对点训练】
如图，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d（d＞L）的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动．t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图象中，能正确描述上述过程的是（ ）
解析：
选D.导体切割磁感线时产生感应电流，同时产生安培力阻碍导体运动，利用法拉第电磁感应定律、安培力公式及牛顿第二定律可确定线框在磁场中的运动特点．线框进入和离开磁场时，安培力的作用都是阻碍线框运动，使线框速度减小，由E＝BLv、I＝
及F＝BIL＝ma可知安培力减小，加速度减小，当线框完全进入磁场后穿过线框的磁通量不再变化，不产生感应电流，不再产生安培力，线框做匀速直线运动，故选项D正确．
如图甲所示，匀强磁场的磁感应强度B为0.5T，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上．绝缘斜面上固定有“∧”形状的光滑金属导轨MPN（电阻忽略不计），MP和NP长度均为2.5m，MN连线水平，长为3m．以MN中点O为原点，OP为x轴建立一维坐标系Ox.一根粗细均匀的金属杆CD，长度d为3m、质量m为1kg、电阻R为0.3Ω，在拉力F的作用下，从MN处以恒定速度v＝1m/s在导轨上沿x轴正向运动（金属杆与导轨接触良好）．g取10m/s2.
（1）求金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E及运动到x＝0.8m处电势差UCD；
（2）推导金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式，并在图乙中画出F－x关系图象；
（3）求金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热．
解析：
（1）金属杆CD在匀速运动中产生的感应电动势E＝Blv，l＝d，解得E＝1.5V
当x＝0.8m时，金属杆在导轨间的电势差为零．设此时杆在导轨外的长度为l外，则
l外＝d－
d，OP＝
＝2m
得l外＝1.2m
由右手定则判断D点电势高，故CD两端电势差
UCD＝－Bl外v＝－0.6V.
（2）杆在导轨间的长度l与位置x的关系是
l＝
d＝3－
x
对应的电阻R1＝
R
电流I＝
杆受到的安培力为F安＝BIl＝7.5－3.75x
根据平衡条件得F＝F安＋mgsinθ
F＝12.5－3.75x（0≤x≤2）．
画出的F－x图象如图所示．
（3）外力F所做的功WF等于F－x图线下所围的面积．即
WF＝
×2J＝17.5J
而杆的重力势能增加量ΔEp＝mgOPsinθ
故全过程产生的焦耳热Q＝WF－ΔEp＝7.5J.
答案：
（1）1.5V －0.6V
（2）F＝12.5－3.75x（0≤x≤2） 图象见解析 （3）7.5J
1.（2019·上海闵行调研）如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长．从置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则（ ）
A．Q1>Q2 q1＝q2 B．Q1>Q2 q1>q2
C．Q1＝Q2 q1＝q2D．Q1＝Q2 q1>q2
解析：
选A.设ab和bc边长分别为L1、L2，线框电阻为R，若假设穿过磁场区域的时间为t.
通过线框导体横截面的电荷量
q＝It＝
＝
，
因此q1＝q2.
线框上产生的热量为Q，
第一次：
Q1＝BL1I1L2＝BL1
L2，
同理可以求得Q2＝BL2I2L1＝BL2
L1，
由于L1>L2，则Q1>Q2，故A正确．
2.如图所示，质量均为m的金属棒ab、cd与足够长的水平金属导轨垂直且接触良好，两金属棒与金属导轨间的动摩擦因数为μ，磁感应强度为B的匀强磁场的方向竖直向下．则ab棒在恒力F＝2μmg作用下向右运动的过程中，有（ ）
A．安培力对ab棒做正功
B．安培力对cd棒做正功
C．ab棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
D．cd棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
解析：
选C.对于ab棒，因为F＝2μmg>μmg，所以从静止开始加速运动，ab棒运动会切割磁感线产生感应电流，从而使ab棒受到一个向左的安培力，这样加速度会减小，最终会做匀速运动；而cd棒所受到的最大安培力与摩擦力相同，所以总保持静止状态，即安培力对ab棒做负功，对cd棒不做功，所以选项C正确，A、B、D错误．
3.如图所示，足够长的金属导轨竖直放置，金属棒ab、cd均通过棒两端的环套在金属导轨上．虚线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，虚线下方有竖直向下的匀强磁场，两匀强磁场的磁感应强度大小均为B.ab、cd棒与导轨间动摩擦因数均为μ，两棒总电阻为R，导轨电阻不计．开始两棒静止在图示位置，当cd棒无初速释放时，对ab棒施加竖直向上的力F，沿导轨向上做匀加速运动．则下列说法中错误的是（ ）
A．ab棒中的电流方向由b到a
B．cd棒先加速运动后匀速运动
C．cd棒所受摩擦力的最大值大于cd棒的重力
D．力F做的功等于两棒产生的电热、摩擦生热与增加的机械能之和
解析：
选B.ab向上运动的过程中，穿过闭合回路abdc的磁通量增大，根据楞次定律可得ab棒中的感应电流方向为b→a，故A正确；cd棒中感应电流由c到d，其所在的区域有向下磁场，所受的安培力向里，cd棒所受的摩擦力向上．ab棒做加速直线运动，速度增大，产生的感应电流增加，cd棒所受的安培力增大，对导轨的压力增大，则滑动摩擦力增大，摩擦力先小于重力，后大于重力，所以cd棒先加速运动后减速运动，最后停止运动，故B错误；因安培力增加，cd棒受摩擦力的作用一直增加，会大于重力，故C正确；根据动能定理可得WF－Wf－W安培－WG＝
mv2－0，力F所做的功应等于两棒产生的电热、摩擦生热与增加的机械能之和，故D正确．
4．（多选）如图所示，两固定的竖直光滑金属导轨足够长且电阻不计．两质量、长度均相同的导体棒c、d置于边界水平的匀强磁场上方同一高度h处．磁场宽为3h，方向与导轨平面垂直．先由静止释放c，c刚进入磁场立即匀速运动，此时再由静止释放d，两导体棒与导轨始终保持良好接触．用ac表示c的加速度，Ekd表示d的动能，xc、xd分别表示c、d相对释放点的位移．下图中正确的是（ ）
解析：
选BD.导体棒c落入磁场之前做自由落体运动，加速度恒为g，有h＝
gt2，v＝gt，c棒进入磁场以速度v做匀速直线运动时，d棒开始做自由落体运动，与c棒做自由落体运动的过程相同，此时c棒在磁场中做匀速直线运动的路程为h′＝vt＝gt2＝2h，d棒进入磁场而c棒还没有穿出磁场的过程，无电磁感应现象，两导体棒仅受到重力作用，加速度均为g，直到c棒穿出磁场，B正确；c棒穿出磁场后，d棒切割磁感线产生电动势，在回路中产生感应电流，因此时d棒速度大于c棒进入磁场时切割磁感线的速度，故电动势、电流、安培力都大于c棒刚进入磁场时的大小，d棒减速，直到穿出磁场仅受重力，做匀加速运动，结合匀变速直线运动v2－v
＝2gh，可知加速过程动能与路程成正比，D正确．
5.（多选）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有三条水平虚线l1、l2、l3，它们之间的区域Ⅰ、Ⅱ宽度均为d，两区域分别存在垂直斜面向下和垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，一个质量为m、边长为d、总电阻为R的正方形导线框，从l1上方一定高度处由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过l1进入磁场Ⅰ时，恰好以速度v1做匀速直线运动；当ab边在越过l2运动到l3之前的某个时刻，线框又开始以速度v2做匀速直线运动，重力加速度为g.在线框从释放到穿出磁场的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．线框中感应电流的方向不变
B．线框ab边从l1运动到l2所用时间大于从l2运动到l3所用时间
C．线框以速度v2做匀速直线运动时，发热功率为
sin2θ
D．线框从ab边进入磁场到速度变为v2的过程中，减少的机械能ΔE机与重力做功WG的关系式是ΔE机＝WG＋
mv
－
mv
解析：
选CD.线框从释放到穿出磁场的过程中，由楞次定律可知感应电流方向先沿abcda后沿adcba再沿abcda方向，A项错误；线框第一次匀速运动时，由平衡条件有BId＝mgsinθ，I＝
，解得v1＝
，第二次匀速运动时，由平衡条件有2BI′d＝mgsinθ，I′＝
，解得v2＝
，线框ab边匀速通过区域Ⅰ，先减速再匀速通过区域Ⅱ，而两区域宽度相同，故通过区域Ⅰ的时间小于通过区域Ⅱ的时间，B项错误；由功能关系知线框第二次匀速运动时发热功率等于重力做功的功率，即P＝mgv2sinθ＝
，C项正确；线框从进入磁场到第二次匀速运动过程中，损失的重力势能等于该过程中重力做的功，动能损失量为
mv
－
mv
，所以线框机械能损失量为ΔE机＝WG＋
mv
－
mv
，D项正确．
6．（2016·高考天津卷）电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度．电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：
如图所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ.一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同．磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ.为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g.
（1）求铝条中与磁铁正对部分的电流I；
（2）若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；
（3）在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b′>b的铝条，磁铁仍以速度v进入铝条间，试简要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化．
解析：
（1）磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等，均为F安，有
F安＝IdB①
设磁铁受到沿斜面向上的作用力为F，其大小有
F＝2F安②
磁铁匀速运动时受力平衡，则有
F－mgsinθ＝0③
联立①②③式可得
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