求数列通项公式的十种方法.docx
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求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：
一.利用递推关系式求数列通项的口种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法）、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、
数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、
特征根法
2.四种基本数列：
等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：
累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
3.求数列通项的方法的基本思路是：
把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
4.求数列通项的基本方法是：
累加法和累乘法。
5.数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1.适用于：
％+]=5+/（“）这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2.若an+l-an=f（h）（n>2）,
-=/（l）
"3一“2=/
（2）
两边分别相加得a曲-角=£/©）例1已知数列｛色｝满足勺科=5+2舁+1,q=l,求数列｛陽｝的通项公式。
解:
由%]=an+2n+1得%】一an=2n+1则
〜=（"”一"”-j+（«n-i-%2）+…+（①一“2）+a一坷）+q
=[2（〃一1）+1]+[2（舁一2）+1]+・・・+（2x2+1）+（2x1+1）+1
=2[（/z-1）+（n-2）+•…+2+1]+（n_1）+1
=2呼^d+l
=（H-1）（/2+1）+1
=tr
所以数列｛"”｝的通项公式为"”="2。
例2已知数列仗”｝满足“曲=5+2x3"+1,5=3,求数列｛%｝的通项公式。
解法一:
由an+l=a„+2x3"+1得a„^-a„=2x3"+1则
5=（5-^-i）+-匕_2）+…+（6一勺）+@2一5）+务
=（2x3,,_1+r）+（2x3n-2+l）4---+（2x32+l）+（2x31+l）+3
=2（3/,_1+3n-2+.--+32+31）+（n-l）+3
3（1—3"J
=2+（〃一1）+3
1-3
=3”一3+“一1+3
=3n+n-\
所以an=3"+”一1.
解法二：
®+|=3“”+2x3”+l两边除以3心，得斜二扌+#+£,
=（?
+丄）+（?
+厶）+（?
+丄）+・・・+（?
+丄）+。
33”33心33心3323
◎+（丄+丄+厶+厶+…+a）+i
3
3"3”3心3“32
211
则“尹“+产3，二・
答案：
/『一“+1
评注：
已知绚一"”=•/（"）,其中f（n河以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项
1若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
2若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和；
3若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
4若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
S”=—（%+—）
例3.已知数列｛心｝中，山＞。
且2"”，求数列｛""｝的通项公式.
Sn=£（a”+上）S“=!
（S”_S“_]+—）
解:
由已知2©得25"一山“，
化简有盅—S二由类型⑴有S：
=Sj+2+3+…+”，
2_⑷+1）v_y］2n（n+1）
又\=勺得①=1,所以"2，又"”>°「"2,
_J2n（"+1）-J2n（n-1）
则2
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1•适用于：
％］=/（〃）"”这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2.若也=/"），则竺=/
（1）,纟=/
（2）,……，加=/（“）
5«25
两边分别相乘得，—=«rfl/（^）
a\m
例4已知数列｛"”｝满足％］=2（n+1）5"x5,q=3,求数列｛"”｝的通项公式。
解:
因为仏严2（n+l）5”x%也=3,所以勺HO,则组=25+l）5J故
=[25—1+1）5心][2（〃一2+1）5“]••…[2（2+1）x52][2（1+1）x5,]x3
=2n_,[咻-1）•…•3x2]x5心）"-2"宀％3
=3xx52x/i!
所以数列｛©｝的通项公式为山=3x2""X5—Xn!
.
例5.设｛©｝是首项为1的正项数列，且S+lk二-就“=°（«=1,2,3,•
则它的通项公式是心=・
解：
已知等式可化为:
（%+）[（«+I）%】一叫]=°
>°（neN=.（n+i）%i—叫=°.即心”+1
心一_1
心2时，Ctn-\n
上—经.….乞q—1.—2…丄］丄
/.6Z/r-ian^ia\=nn-12=n
评注：
本题是关于心和"宀的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到
"”与①小的更为明显的关系式，从而求岀（1>'.
练习.已知"弼=na>l+"一1，®>T,求数列｛an｝的通项公式.
答案：
""=⑺_+"）」・
评注：
本题解题的关键是把原來的递推关系式"呦转化为
5+1+1=川5+1）,若令*=心+1,则问题进一步转化为="饥形式，进而应用累乘法求
出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于“冲=qan+/（“）
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其左义域是自然数集的一个函数。
1.形如％4=""+〃，（心0,其中q=d）型
（1）若c=l时，数列｛©｝为等差数列；
（2）若d=0时，数列｛〜｝为等比数列；
（3）若时，数列｛""｝为线性递推数列，其通项可通过待左系数法构造辅助数列
来求.
待定系数法:
设%|+几=如”+刃
得％=5+（—1）兄,与题设如=CJ+乩比较系数得
]an十fq+
因此数列I构成以C-1为首项，以c为公比的等比数列,
a-ca+〃召）
规律:
将递推关系"宀一"化为c—1C-1，构造成公比为C的等比数列
fd.d“I/d、
n+i
a＞，+c~[从而求得通项公式"旧\-c+Ca'+c-\
逐项相减法（阶差法）：
有时我们从递推关系勺小=5+〃中把n换成ml有①="心+〃两式相减有"灯一①从而化为公比为0的等比数列仏曲一勺丄进而求得通项公式.
①斛一5=c,l（a2-①）,再利用类型
（1）即可求得通项公式•我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列｛冷｝中・4=1心=2%+g2）,求数列｛%｝的通项公式。
解法一：
an=2a”_]+1（/?
>2）,
•■-绻+1=2（"”_]+1）
又q+1=2,/.｛atl+1｝是首项为2,公比为2的等比数列
.••5+1=2",即an=2?
-1
解法二：
an=2q_]+1（/1>2）,
•••如=2©+1
两式相减得％厂色=2（5-5“）0二2）,故数列｛色+|-©｝是首项为2,公比为2的等比数列，再用累加法的……
C11
[a\«1=2,如=-an+-,
练习.已知数列*訂中，22求通项〜。
2.形如：
％产（其中q是常数，且n*0.1）
1若p=l时，即：
""+严累加即可.
2若卩式1时，即：
％产〃•"”+/,
求通项方法有以下三种方向：
i・两边同除以目的是把所求数列构造成等差数列
仏=么+丄•（今b=hb=l.（zr
”+ln'丿nfi”+ln'丿
即：
卩qpq，令卩，则卩q，然后类型i,累加求通项.
ii.两边同除以•目的是把所求数列构造成等差数列。
①小_P5丄1即：
八W
b=幺b严上」+丄
令q，则可化为q彳•然后转化为类型5来解，
皿待左系数法：
目的是把所求数列构造成等差数列
设an+i+A-q,,+l=p（an+A-pn）通过比较系数，求岀兄，转化为等比数列求通项.
注意：
应用待泄系数法时，要求pHq，否则待定系数法会失效。
例7已知数列仏"｝满足"曲=2厲+431,4=1,求数列W”｝的通项公式。
解法_（待定系数法）：
设"曲+人彳“二爲⑺”+几七心），比较系数得人=-4,^=2,
则数列｛""_牛3"'｝是首项为5一4少'=~5,公比为2的等比数列,
所以“”-4・3讥-5・2：
即“4旷-5才
绻利_2①丄4
解法二（两边同除以彳）：
两边同时除以3“"得：
33〃32,下而解法略
%—43
解法三（两边同除以"）：
两边同时除以2曲得：
2"32，下而解法略
练习.（2003天津理）
设"。
为常数，且“”=3心-2“门（neN）•证明对任意”鼻】，。
”=护+（-1严.2”]+（一1）”.2%
■
■
3.形如％f+也+"（其中k.b是常数，且"0）
方法1：
逐项相减法（阶差法）
方法2：
待定系数法
通过凑配可转化为（心+xn+刃=+班”_i）+刃.
解题基本步骤：
1、确定/（”）=kn+b
2、设等比数列®=（"”+xn+刃,公比为p
3、列出关系式（"”+劝+刃=P（a-1+x（"-1）+y），即bn=pb“
4、比较系数求x,y
5、解得数列（"”+X"+刃的通项公式
6、解得数列｛"”｝的通项公式
例8在数列｛"計中，6=1＜曲=3“”+2儿求通项逐项相减法）
%】=3〜+2儿
・・.心2时，~=3%+2（舁-1）
两式相减得"小~an（&fi2令®=an^\""an侧仏=引乙“+2
利用类型5的方法知H3心+2即G_心=5•3心_]②
a
亦可联立①②解岀
再由累加法可得
解:
原递推式可化为2（~+xw+刃=%+心T）++『
比较系数可得：
x=6j=9,上式即为
所以榔是-个等比数列,首项g"+9专公比为*「•久=愛an-6/?
4-9=9-（£）"
an=9・（―）n+6n—9故2
4.形如心+i=/M“+"F~+"”+c（其中a.b,c是常数，且aHO）
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其宦义域是自然数集的一个函数。
例10已知数列｛%｝满足«„+1=2^+3/r+4n+5,q=l,求数列｛%｝的通项公式。
解:
设an^+x（n+1）2+y（n+1）+z=2（an+xn2+yn+z）比较系数得x=3,y=10,z=18,
所以%】+3（n+1『+10（n+l）+18=2（5+3n2+10n+18）
由q+3x1，+10x1+18=1+31=32工0,得％+3〃『+10〃+18工0
则.仏+1广亠1（）（"+1）+卅=2,故数列｛©+3n2+10/1+18｝为以©+3/+10“+18
4+3x12+10x1+18=1+31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此
65.形如％+2=P%+i+qcin时将an作为f（n）求解
分析：
原递推式可化为a*+加曲=（〃+刃（"曲+肋“）的形式，比较系数可求得兄，数列
｛©+1+人5｝为等比数列。
例11已知数列｝满足%=5偽+】-6绻，⑷=-1,偽=2,求数列｛"”｝的通项公式。
解：
设%2+兄勺+】=©+刃（4+1+几5）
比较系数得儿=一3或几=一2,不妨取A=-2,（取朽结果形式可能不同，但本质相同）
则绻+2-2如=3（如-2q）,则｛%-2a„｝是首项为纭公比为3的等比数列
.•.%—2a”=43：
所以绻=4・3"“—5・2心
练习•数列｛"”｝中，若5=&"2=2,且满足d”+2+3"“=°,求％
答案：
四、迭代法"灯（其中p.r为常数）型
例12已知数列U1满足"”+严'"严'，求数列也”｝的通项公式。
n_〃3（,田）2"
解：
因为%①,所以
勺_3
2》5-1加・22曲心和"
3*<2・3・・・・・
=a\
3*M/r!
2"^=a\
又所以数列仏」的通项公式为勺严空心注：
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
例13.（2005江西卷）
已知数列他｝的各项都是正数，且满足：
5T如=*“（4-色），皿"
所/“护,即“2咛2—G严
（1）证明5<%V2"N;
（2）求数列｛心｝的通项公式an.
1,
.=—C\j
方法2：
本题用归纳■猜想■证明，也很简捷，请试一试•解法3：
设c尸一久,则c”2"，转化为上而类型
（1）来解
五、对数变换法适用于心+产“盗（其中p,i•为常数）型p>0,
例14.设正项数列仏｝满足“1=2“乙522）.求数列仏｝的通项公式.
解：
两边取对数得：
1°8?
=l+21og严，log?
+l=2（log；i+l）,设'=log?
+l,则
例15已知数列｛©｝满足你］=2x3"xi為5=7，求数列｛山｝的通项公式。
解：
因为%】=2x3"X心q=7,所以an>0,an^>0<>
两边取常用对数得lg。
心=5lg心+nlg3+lg2
设lg仏］+x（n+1）+y=5（lgan+m+y）（同类型四）比较系数得―罟八嚳穿由帥哼小罟+竽*+学<1+詈+竽儿得吸+%+普罟2
所以数列｛lg©+处料+朋+也｝是以lg7+朋+朋+些为首项，以5为公比的等比数列,
"41644164
则临绻+空〃+空+空=（塩7+空+处+空）5“=因此
41644164
.门7lg3lg3lg2Ig3lg3lg2
=0g7+—+—+—）5H—
4164464
丄丄丄2丄丄
=[lg（7・3=3忆・2彳）]5心一lg（3z・3広・2了）
111ftI1
=lg（7・3=3丘・27）5_，一lg（3了・3応・27）
5—4—15汕】
=lg（75/M-3_・2丁）
六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例］6已知数列｛心｝满足%=—^,偽=1,求数列｛©｝的通项公式。
①+2
解：
求倒数得—=-+丄：
丄-丄=丄
%2%仏］52
7.换元法适用于含根式的递推关系
例］7已知数列｛%｝满足伽=丄（l+4q+Jl+24q）0）=1,求数列｛%｝的通项公式•16
解：
令/7,=71724^,则勺=右何_1）
代入"“+1=—（1+4©+Jl+24°”）得
占昭7=存+哙
（1）+即
即4殆=（化+3）2因为b”=Jl+24©",
13
则2勺比=化+3,即b,^=-hll+-t
可化为/治—3=孰-3）,所以｛仇一3｝是以勺_3=Jl+24q_3=Jl+24xl_3=2为首项，以穆为公比的等比数列，因此h„-3=2（l）n-1=（lr2,则化=（*严+3,即」+24"”=（+严+3,得
乙厶厶厶
8.数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前】】项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。
8及a=-,
19
8（1+1）88x224
-（2xl+l）2（2xl+3）299x2525
_8（2+1）_248x3_48
_6/2+（2x2+1）2（2x2+3）2_25+25x49_49
8（3+1）488x480
a,=a.+；?
=—+=—
（2x3+1）"2x3+3）24949x8181
由此可猜测"J，下而用数学归纳法证明这个结论。
⑵?
+1）
（1）当“=1时，a】=一=—,所以等式成立。
（2x1+1）29
（2）假设当n=k时等式成立，即ak=（2/<~r>.则当n=£+l时,
（2k+l）2
_,,8伙+1）
_绞+（2R+1）2（2"3）2
_[（2k+1尸-1]（2£+3）2+8伙+1）
（2k+l）2（2k+3）2
_（2k+l）2（2k+3）2-（2k+l）2
_（2k+l）2（2R+3）2
_（2£+3）2-1
一（2k+3）2
_[2伙+1）+1F_1
=[2伙+1）+1F
由此可知，当n=k+1时等式也成立。
根据
（1）,
（2）可知，等式对任何nwN'都成立。
九、阶差法（逐项相减法）
1、递推公式中既有S”，又有®
S]丿=1f、
分析：
把已知关系通过色=1转化为数列｛①｝或S”的递推关系，然后采用相应的
方法求解。
例19已知数列｛匕｝的各项均为正数，且前n项和二满足Sn=-（an+Y）（atl+2）,且①宀心成6
等比数列，求数列｛"“｝的通项公式。
解:
对任意n已w有sn=-a+i）a+2）⑴
6
•••当n=l时,S]=4]=丄（再+1）（再+2）,解得务=1或q=2
6
当n22时，5,1_1=|（^,_1+1）（«;,_1+2）
（2）
O
⑴-⑵整理得：
（an+afl_,）（an-an_x-3）=0
•・•（an]各项均为正数，••・爲一%=3
当"]=1时，an=3n-2,此时a｝=a2a9成立
当q=2时，an=3m-1,此时a｝=a2a9不成立，故q=2舍去
所以an=3n-2
练习.已知数列a,｝中，心>o且s”=[a+i）2,求数列｛〜｝的通项公式.
答案：
Sn-Sn_｝=an（a„-1）2=（«„_!
+1）2a„=2n-i
2、对无穷递推数列
例20已知数列｛%｝满足q=l,a„=ax+2a2+3a3+--+（n-]）a„_l（n>2）,求｛“”｝的通项公式。
解：
因为d”=纠+2勺++•••+（"2）①
所以d”+i=q+2勺+3©+•••+（〃一+tuin②用②式一①式得艰一①=nan.
所以纟・口2=［〃（n_l）4x3p/n=—ay.③
休】勺-22
由an=+2a2+3&3+・・・+（几一l）"—©之2）,取m=2得冬=ax+2a2,则a2=a｛>又知q=1,则“2=1，代入③得«„=1-3-4-5••…n=—o
2
所以，｛"”｝的通项公式为.
2
十.不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：
函数/G）的定义域为D,若存在/（x）x（＞eD,使/（%）=%成立，则称心为
fM的不动点或称（心/（X。
））为函数/（劝的不动点。
分析：
由/（X）=X求出不动点入，在递推公式两边同时减去％,在变形求解。
类型一:
形如=qan+d
例21已知数列｛爲｝中,^=1,^=2^.,+1（/7＞2）,求数列｛色｝的通项公式。
W：
递推关系是对应得递归函数为/（x）=2x+l,由fW=x得，不动点为」
•••畑+1=2（色+1）,
分析：
递归函数为/（□=□二2
c-x+d
（1）若有两个相异的不动点p.q时，将递归关系式两边分别减去不动点p.q,再将两式相除得
an.\-P_k^n~P苴中k_a_pc.・.d_©q-pq）k”-'-（伸）-］坷）
曾j-q、a_qJna_p）W_（5_q）
（2）若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p＞然后用1除，得
其中k=—
例22・设数列a｝满足绚=2“屮=5绻+,求数列｛陽｝的通项公式.
分析：
此类问题常用参数法化等比数列求解.解：
对等式两端同时加参数t,得：
7/+4
5a”+4⑵+5）y+7f宀「""十2/+5
an.+/=」——+1=J=⑵+5）纟二乜
2an+72心+72an+7
令t=Zill,解之得t=l,-2代入"讪+/=⑵+5）上上-得
2/+52仇口+7
-1=3,“”+]+2=9
2fzrj+72an+7
相除得"也j=丄・上±二L,即｛上仝二1｝是首项为上匚1=丄
心+]+23（ifJ+2un+2⑷+24
方法2：
…,
两边取倒—_]3@”_1）3（a”-1）
2nn+72（a〃—1）+923
—:
=:
=—+
3一1
12
令b”=,则叽=——+3bn,…,转化为累加法来求.
5一13
2k/-24
例23已知数列｛©｝满足%=严：
，«,=4,求数列｛©｝的通项公式。
4色+1
21x-24r21工一24
解：
令兀=—,得4/一20兀+24=0,则x,=2,x.=3是函数f（x）=—一的两个不4x+l"4x+l
动点。
因为
2心-24「
-2_4陽+1_21an一24-2（4陽+1）_13®-26_13©-2陆“粧别仏
以勺-34-3
^3-21.„.-24,-21.|,-24-3（4.„+1）-^27-7^3°所以数列仁4a+1‘
20）7
练习1:
已知｛舛｝满足q=2,an=+-（n>2）,求｛an｝的通项an
2a—+1
2a-1
练习2。
已知数列｛心｝满足q=2（财=一求数列｛《｝的通项心
练习3.（2009陕西卷文）
已知数列｛厲｝满足，a｝=\，a2=2,a^2=^^,neN\
（I）令化=£+]—%，证明：
｛乞｝是等比数列：
（II）求｛®｝的通项公式。
答案：
（1）｛btt｝是以1为首项，一^为公比的等比数列。
（2）%=——二（—丄）心⑺wN'）。
2332
十一。
特征方程法形如"”+2=PS+q~（P，q是常数）的数列
形如®=吗4=心，"”+2=W（p、q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项
Cin，其特征方程为x2=px+q-'-'S）
若①有二异根a,0，则可令5
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