一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现资料.docx

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一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现资料

一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现

尹玮宏1,王丽丹,,段书凯1

1西南大学物理科学与技术学院电子信息工程学院重庆中国400715

摘要忆阻器被认为是第四个基本电路元件，它除了是下一代非易失性存储中有竞争力的候选器件外，由于拥有超越其它元件的超级性能，还能构建具有复杂动力学的非线性电路。

特别地，新的基于忆阻器的混沌振荡器的实现已成为非线性电路设计的范例。

本文首先推导两个基于磁控忆阻器模型的串联忆阻器的特性及磁通电荷关系。

然后通过使用这个忆阻系统获得一个新颖的四维超混沌系统，它有两个正的李雅普诺夫指数。

通过观察各种混沌吸引子、功率谱和分岔图可看到丰富的动力学现象。

最后，建立了模拟该系统的SPICE电路。

SPICE仿真结果与数值分析一致，这进一步显示了该超混沌系统的混沌产生能力。

关键词:

忆阻器,超混沌系统,混沌吸引子,电路实现

1引言

忆阻器（Memristor）是一种非线性无源元件，具有非线性和非易失性。

几年来的研究工作取得了可喜的进展，各种基于忆阻器的应用成为了研究的热点。

2008年，惠普实验室的科学家在《Nature》上发表论文宣称，成功制成了第一个物理实现的忆阻器[1]，证实了37年前加州大学蔡少棠（LeonO.Chua）教授的推测[2]。

此后，忆阻器受到了广泛的关注和研究。

忆阻器的体积小，功耗低，因此忆阻器是混沌中非线性电路部分的理想选择[3]，各种基于忆阻器的混沌系统得到了研究人员的密切关注[4-7]。

基于忆阻器的混沌系统应当具有以下四个方面的优势:

（1）忆阻器有着纳米级的尺寸,其作为混沌系统的非线性部分，系统的物理尺寸可以大大减小；

（2）忆阻器的阻值能随着磁通或电荷的变化而变化，其伏安特性曲线能够通过零点，可以得到各种丰富的非线性曲线,提高混沌系统的复杂度和信号的随机性；（3）大多忆阻材料与CMOS工艺兼容，可以将忆阻器和传统电路紧密结合，通过简单封装就可提供丰富的随机信号，能量的消耗必然会减小；（4）忆阻器是模拟电路元器件，其混沌系统可以产生真正的混沌模拟信号，从而用于混沌保密系统的设计和应用中。

混沌系统被普遍认为在信息加密领域具有广阔的应用前景。

在军事科技领域，混沌不仅可以用于保密通信还可以用于雷达波型的设计等[8]。

近些年，研究人员对各种混沌做出了研究[9-14]。

超混沌概念由Rossler提出，并给出了超混沌Rossler系统[15]。

超混沌系统有两个或两个以上正的Lyapunov指数，其吸引子具有难以识别的拓扑结构，动力学行为要比一般的混沌系统更加复杂难以预测，其在通信加密及信息安全领域具有更高的实用价值。

高维混沌系统具有更复杂的动力学行为以及更好的随机性，一般低维的破译方法，如相空间重构、回归映像和非线性预测等很难破译超混沌加密的信息。

不同于有源磁控忆阻混沌电路[16]，本文基于有着真实的物理模型的HP忆阻器[17]，在Lü系统基础上，构建了一个全新的超混沌系统。

此混沌系统依赖于忆阻器的初始状态，有着复杂的特殊的动力学现象，如状态转移等非线性物理现象。

本文先分析了忆阻器的基本模型，然后构建新的混沌系统，对该系统进行了数值分析。

建立了磁控忆阻器的SPICE模型，通过SPICE软件设计混沌电路，对前面数值进行分析验证。

2HP忆阻器基本模型

HP忆阻器是由两层二氧化钛薄膜夹在两个铂片（Pt）电极之间构成的：

一层是绝缘的二氧化钛层（TiO2），钛氧元素比是1:

2。

另一层是有导电能力的缺失了部分氧原子的二氧化钛层（TiO2-X）。

当有外加偏压时,缺氧原子的那层会在电场的作用下发生离子漂移，从而引起绝缘层和导电层中厚度的变换，也从而改变了忆阻器的有效阻值。

图1HP实验室的忆阻器物理模型

HP忆阻器的数学模型有电荷控制模型和磁通控制模型[14]，其中电荷控制模型可表示为

（1）

其中,q（t）表示的是电荷的值，a1,a2,a3,a4和K的表达式如下：

（2）

此外，磁通控制的忆阻器模型可以表示为

（3）

其中，φ（t）表示磁通的值，电荷和磁通的关系如下：

（4）

从

（1）到（4），其中M（t）表示忆阻器的值，RON和ROFF分别表示忆阻器的极限值，M（0）表示初始值，W（t）是依时间而变化的TiO2-X厚度，而D是薄膜的厚度。

RON是当W（t）等于0时候的值，ROFF是当W（t）等于D时候的值，Uv表示氧空缺的平均移动量。

（a）（b）

图2两个串联忆阻器电路模型

（a）（b）

（c）（d）

图3忆阻器阻值随电荷变化的关系曲线

3基于忆阻器的超混沌系统

Lü系统[18]的状态方程为

（5）

式中a=36,b=20,c=3,系统有一个正的Lyapunov指数。

在Lü系统的状态方程上做些变换，并加入忆阻器的磁通变量，得到一个新的四维超混沌系统。

基于忆阻器的超混沌系统的状态方程为

（6）

该系统由于忆阻器的加入，加剧了各个变量间的相互影响，平衡点要受到初始条件的影响，而且有着较大的混沌范围，动力学特性变得更复杂。

其中，x，y，z和w是系统的状态变量，a，b,c是参数。

ｘ表示的是输入忆阻器的磁通，从文献[14]可知忆阻器的电荷和磁通有（7）式所示关系。

（7）

其中,

。

当a=15,b=5,c=0.9，忆阻器的初始状态为ROFF=20KΩ，RON=100Ω，M=16KΩ，D=10nm，uv=10-14m2s-1v-1，并选择初始状态（x,y,z,w）=（0,1,0,0），得到的混沌吸引子如图4所示，图中表示各状态变量之间在平面上的投影，呈现出两个涡卷混沌吸引子。

（a）x-y（b）x-z

（c）x-w（d）x-y-w

图4图（a）、（b）、（c）分别表示x-y，x-z和x-w在相平面上的投影，

图（d）表示状态变量x-y-w在相空间的投影。

对混沌系统进行动力学分析是研究混沌的重要方法，该部分分析了系统的Lyapunov指数，功率谱和分岔图。

A．Lyapunov指数及时域波形

Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。

对于系统是否存在动力学行为，可以从最大Lyapunov指数是否大于零，非常直观的判断出来，指数越大，混沌特性越明显，混沌程度越高。

该系统的Lyapunov指数谱如图5所示。

图5混沌系统Lyapunov指数

在（6）式的混沌系统中,利用Jacobi方法计算出Lyapunov指数。

这种方法的基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解，然后对系统的Jacobi矩阵进行QR分解，计算Jacobi矩阵特征值的乘积，最后计算出Lyapunov指数和分数维。

取t=2000，得L1=2.0223，L2=0.4404，L3=-2.6747，L4=-14.6848，Lyapunov维数DL=2.9856。

其中有两个正的Lyapunov指数，从相轨迹图、实域波形、以及Lyapunov指数和维数可以看出该系统是超混沌系统。

图6各状态变量在时域的波形

得四个状态变量的时域波形如图6所示，它们都是非周期性的，而且有状态转移行为。

这种跳变行为增加了混沌的复杂度，状态转移行为也是超混沌系统一种特有的现象。

B．功率谱

功率谱分析也是一个重要的观察分叉和混沌的方法。

一个混沌系统是非周期的，它的功率谱是连续的，还带有一系列的峰值。

图7显示了该忆阻混沌系统的功率谱。

图7混沌系统（6）的功率谱

C．分岔图

分岔图表示非线性系统一个差数变化时的系统动力学特性，系统的状态随着参数状态的变化而变化，例如双周期混沌变化。

让参数b=0.5，c=5andd=1不变，改变参数a。

对应参数a变化的状态变量x如图8所示。

图中可以看出系统的混沌行为随着参数a的变化而变化。

图8混沌系统（6）的分岔图

4混沌系统的电路设计与实现

为了验证系统（6）的混沌行为，本部分设计了各状态变量的混沌电路。

该电路由四路模拟运算电路所组成，分别实现系统（6）中的状态x，y，z，w的运算。

用到的元器件有LM348运放、忆阻器、二极管、乘法器、电容、电阻等。

加入电路中的电源VCC=+30V，VEE=-30V。

图9实现状态变量x的第一通道电路

由电路中U1和U2可以得到

（8）

从而得到

（9）

比较系统（6），取R1=20kΩ，R4=15kΩ，R2=R3=R5=R6=R7=10KΩ和C1=10uF，可以满足

（10）

图10实现状态变量y的第二通道电路

通过U4和U5列电路方程可以得到

（11）

求导变换得

（12）

在（12）式中，R8=R10=R11=20KΩ，R9=R12=100kΩandC2=10uF可以得到

（13）

图11实现状态变量z的第三通道电路

由U6和U7得

（14）

所以

（15）

图12实现绝对值的电路

为了得到

，可以取R14=R15=R16=20KΩ，R13=R18=100KΩ和C3=10uF。

运放U9和U10可以实现绝对值电路，二极管使用的是D10D2，电路可以得到U10的输出为

当R19=R20=R21=R24=20KΩ，R26=10KΩ时，可得

。

另外R25=R19//R24=10KΩ，R27=R20//R21//R26=5KΩ。

运放U11的电压输出

，取R22=R23=1KΩ，得

。

图13实现状态变量w的第四通道电路

运放U11的输出作为磁控忆阻器FLUX端的输入，忆阻器CHARGE端作为运放U12的输入。

忆阻器满足（7）式电荷磁通光系，还有着斜“8”字形的伏安特性曲线，比一般非线性电路更易产生混沌信号。

这样省去了构建非线性电路的麻烦，混沌系统电路结构更加简单。

设忆阻器初始值ROFF=20KΩ，RON=100Ω，M=16KΩ，D=10nm和uv=10-14m2s-1v-1。

由运放U12和U13得

（16）

从而

（17）

比较系统（6）最后我们取R29=R30=20KΩ，R28=R31=100KΩ和C4=10uF，可以得到

（18）

在SPICE仿真中,设置仿真的时间从0到2000seconds和仿真的最大步长0.001seconds。

得到的四阶混沌系统的部分变量的相图如图15所示，图中横纵坐标表示的是运放U3、U5和U8的输出电压Vx、Vy和Vz，该仿真和数值仿真的结果相似，表明基于忆阻器的混沌系统可以在模拟电路中实现，再次说明了该系统的正确性。

图14为状态变量y在时域中的波形，纵坐标V（Vy:

OUT）表示的是运放U5输出的电压，横坐标表示的是时间Time。

由于忆阻器的加入，该系统时域信号出现了状态转移行为。

产生的这些时域混沌信号可以作为保密通信的混沌信号源，也可以运用在图像加密或者随机比特发生器。

图14状态变量Vy在时域中的波形

（a）（b）

图15SPICE仿真中部分状态变量在平面的相图

5结论

本文先对忆阻器的基本模型进行了分析，然后在Lü系统的基础上加入忆阻器，构建一个新的四维超混沌系统，该混沌系统呈现着复杂的动力学行为。

此外，通过SPICE电路实现了该混沌系统。

论文前面对该系统进行了数值分析，后面用SPICE设计电路进行了验证，前后的结果一致,实验表明该系统是超混沌的。

忆阻器是个最新的元器件，体积小，功耗低，更有着一般元件没有的特性，在混沌电路中有着很高的应用价值。

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ANewMemristor-basedHyperchaoticOscillator

withCircuitImplementation

WeihongYin1,LidanWang1,,ShukaiDuan1

1SchoolofElectronicandinformationengineering,SouthwestUniversity,Chongqing,400715,China

AbstractInadditiontobeacompetitivecandidatefornext-generationnonvolatilememory,ananometermemristor,whichisconsideredasthefourthbasiccircuitelement,alsohasthepotentialofgeneratingcomplexdynamicsinnonlinearcircuit,duotoitssuperpropertiesoverotherelements.Specially,newimplementationofamemristor-basedchaosgeneratorhasbecomearisingparadigminnonlinearcircuitdesign.Thispaperfirstlyderivesthecharacteristicsoftwomemristorsinseriesbasedonthetheoreticalflux-controlledmemristormodelandtheconstructiveflux-chargerelation.Then,byusingthismemristivesystem,anovelfour-dimensionalhyperchaoticsystemisobtained,whichhastwopositiveLyapunovexponents.Therichdynamicalphenomenonhasbeendemonstratedbyobservationofvariouschaoticattractors,powerspectrum,andbifurcationanalysis.Finally,ananalogSPICEimplementationofthissystemispresented.TheSPICEsimulationresultsarelinewiththenumericalanalysis,whichfurthershowstheabilityofproductionofchaosinthishyperchaoticsystem.

Keywords:

Memristor,Hyperchaoticsystem,Chaoticattractor,CircuitImplementatio