名师整理数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测试题含答案解析.docx

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名师整理数学九年级上册第21章《一元二次方程》单元检测试题含答案解析

第21章一元二次方程综合测试卷

一、单选题（每小题3分）

1．2013年国内地产投资破8万亿元，连续两年增长后，2015年国内地产投资破9.5亿元，设这两年平均地产投资年平均增长率为x，据题意，所列方程正确的是（）．

A.9.5（1+x）2＝8B.9.5（1-x）2＝8C.8（1+2x）＝9.5D.8（1+x）2＝9.5

2．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分比率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）

A.560（1＋x）2＝315B.560（1－x）2＝315

C.560（1－2x）2＝315D.560（1＋x）2＝315

3．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为（）

A.x2＝49B.（x＋1）2＝49C.x（x＋1）＝49D.（x－1）2＝49

4．一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计这次聚会上所有人一共握了28次手，则这次聚会的人数是（）

A.5B.6C.7D.8

5．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4．将这个两位数的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数与原两位数的积为1612，那么这两个两位数中较大的两位数是（）

A.95B.59C.26D.62

6．餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）

A.（160＋x）（100＋x）＝2×160×100B.（160＋2x）（100＋2x）＝2×160×100

C.（160＋x）（100＋x）＝160×100D.2（160x＋100x）＝160×100

7．如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，则矩形ABCD的面积是（）

A.24cm2B.21cm2C.16cm2D.9cm2

8．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（）

A.（20－x）（32－x）＝540B.（20－x）（32－x）＝100

C.（20＋x）（32－x）＝540D.（20－x）（32＋x）＝540

9．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程（）

A.x（x﹣10）=375B.x（x+10）=375C.2x（2x﹣10）=375D.2x（2x+10）=375

二、填空题（每小题4分）

10．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低______元．

11．如图，某工厂师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当T作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为________．

12．左下图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为________．

13．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一圈金色纸边，制成一幅矩形挂图，如右上图所示．如果要使整个挂图的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为___________________________．

三、主观题（第14题-19题每题8分，第20题每题9分）

14．随着铁路客运量的不断增长，某站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？

（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？

（甲、乙两队的施工时间按月取整数）

15．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元／件销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时的单价为40元／件，设第二个月单价降低x元．

（1）填表（不需化简）：

时间

第1个月

第2个月

清仓时

单价（元／件）

80

40

销售量（件）

200

（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元／件？

16．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：

若当月仅售出l部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元／部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．

（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为________万元；

（2）如果汽车的售价为28万元／部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？

（盈利＝销售利润＋返利）

17．要在一块长52m、宽48m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．如图分别是小亮和小颖的设计方案．

（1）求小亮的设计方案中甬路的宽度；

（2）求小颖的设计方案中四块绿地的总面积．（友情提示：

小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同）

18．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

19．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？

如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．

20．已知：

如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度移动．

（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？

（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？

（3）在

（1）中，△PBQ的面积能否为7cm2？

并说明理由．

参考答案

一、单选题（每小题3分）

1．D

本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程：

解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程.根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2015年的房价，2015年国内地产投资破9.5亿元，故可得到一个一元二次方程.

解：

设这两年平均地产投资年平均增长率为x，

那么2014

国内地产投资：

8（1+x），

2015年国内地产投资为：

8（1+x）2=9.5.

故选D.

2．B

此题主要考查了一元二次方程的应用的有关知识.设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1-x），第二次后的价格是

，据此即可列方程求解即可.

解：

设每次降价的百分率为x，

由题意得：

.

故选B.

3．B

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即49人患了流感，由此列方程求解．

解：

x+1+（x+1）x=49

整理得，（1+x）2=49.

故选B.

4．D

本题考查一元二次方程的应用，理解：

设参加聚会的人数是x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x-1）次是关键．设参加聚会的人数是x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x-1）次，且其中任何两个人的握手只有一次，因而共有

x（x-1）次，设出未知数列方程解答即可．

解：

设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程得,

x（x-1）=28,

解得x1=8，x2=-7（不合题意，舍去）.

答：

参加聚会的人数是8人.

故选D.

5．D

本题考查一元二次方程应用问题-数字问题.设出个位数字，表示出十位数字，根据题意列出方程即可解决.

解：

设个位上的数字为x,则十位上的数字为（x+4）,根据题意列方程得：

[10（x+4）+x][10x+x+4]=1612,

整理得：

x2+4x-12=0

解得：

x1=2，x2=-6（舍去）

x+4=6,

所以这个两位数较大的为62.

故选D.

6．B

本题可先求出桌布的面积，再根据题意用x表示桌布的长与宽，令两者的积为桌布的面积即可；本题考查的是一元二次方程的运用，要灵活地运用面积公式来求解．

解：

依题意得：

桌布面积为：

160×100×2，

桌布的长为：

（160+2x）cm，宽为：

（100+2x）cm，

则桌布的面积=（160+2x）（100+2x）=2×160×100．

故选B．

7．C

本题可设AB=xcm，AD=（10-x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10-x）2cm2，进而结合题意，可列出方程，求得答案；本题主要考查一元二次方程的应用，在利用一元二次方程解决实际问题时，要根据实际问题对解进行取舍．

解：

设AB=xcm，AD=（10-x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10-x）2cm2，根据题意得：

x2+（10-x）2=68，

整理得：

x2-10x+16=0，

解之得x1=2，x2=8，

∴AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，

综上可求矩形ABCD的面积是16cm2.

故选C.

8．A

本题根据题意表示出种草部分的长为（32-x）m，宽为（20-x）m，再根据题目中的等量关系建立起式子就可以了；本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力．

解：

由题意，得种草部分的长为（32-x）m，宽为（20-x）m，

∴由题意建立等量关系，得：

（20-x）（32-x）=540，

故A答案正确.

故选A.

9．A

本题考查一元二次方程的应用，本题可根据矩形面积=长×宽，找出关键语来列出方程．如果设游泳池的长为xm，那么宽可表示为（x-10）m，根据面积为375，即可列出方程．

解：

设游泳池的长为xm，那么宽可表示为（x-10）m；

则根据矩形的面积公式：

x（x-10）=375；

故选A．

二、填空题（每小题4分）

10．0.3或0.2

解：

设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．

根据题意，得[（3-2）-x]（200+

）-24=200．

原式可化为：

50x2-25x+3=0，

解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．

故应将每千克小型西瓜的售价降低0.3或0.2元．

故答案为：

0.3或0.2．

设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：

（3-2-x），由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：

200+

千克．本题的等量关系为：

每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200．

本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．

11．2m2

设大正方形的边长为x米，表示出小正方形的边长，根据总面积为15平方米列出方程求解即可；本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据小正方形的边长表示出大正方形的边长，难度不大.

解：

设大正方形的边长xm，则小正方形的边长为（x-1）m，根据题意得：

x（x+x-1）=15，

2x2-x-15=0，

解得：

x1=3，

（不合题意舍去），

∴小正方形的边长为（x-1）=3-1=2，

裁剪后剩下的阴影部分的面积=15-22-32=15-4-9=2（m2），

答：

裁剪后剩下的阴影部分的面积2m2.

故答案为2m2.

12．144

本题考查数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可.

解：

根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：

x，则最大数为x+16，根据题意得出：

x（x+16）=192，

解得：

x1=8，x2=-24，（不合题意舍去），

故最小的三个数为：

8，9，10，

下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：

15，16，17，

第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：

22，23，24，

故这9个数的和为：

8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.

故答案为144.

13．x2+40x-75=0

本题考查了一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．如果设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），根据总面积即可列出方程．

解：

设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），

根据题意可得出方程为：

（50+2x）（30+2x）=1800，

∴x2+40x-75=0．

故答案为x2+40x-75=0．

三、主观题（第14题-19题每题8分，第20题每题9分）

14．解：

（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要（x-5）个月，

由题意得，x（x-5）=6（x+x-5），

解得x1=15，x2=2（不合题意，舍去），

则x-5=10．

答：

甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；

（2）设甲队施工y个月，则乙队施工

y个月，

由题意得，100y+（100+50）

≤1500，

解不等式得y≤8.57，

∵施工时间按月取整数，

∴y≤8，

∴y的最大值为8.

答：

完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．

本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解．

（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要x-5个月，根据题意列出关系式，求出x的值即可；

（2）设甲队施工y个月，则乙队施工

y个月，根据工程款不超过1500万元，列出一元一次不等式，解不等式求最大值即可．

15．解：

（1）80-x，200+10x，800-200-（200+10x）

时间第一个月第二个月清仓时

单价（元）8080-x40

销售量（件）200200+10x800-200-（200+10x）

（2）根据题意，得

200×（80-50）+（200+10x）×（80-x-50）+（400-10x）（40-50）=9000

整理得10x2-200x+1000=0，

即x2-20x+100=0，

解得x1=x2=10

当x=10时，80-x=70＞50

答：

第二个月的单价应是70元．

本题考查一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：

利润=售价-进价.

（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；

（2）利用“获利9000元”，即销售额-进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍.

16．解：

（1）26.8；

（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：

28﹣[27﹣0.1（x﹣1）]=（0.1x+0.9）（万元），

当0≤x≤10，根据题意，得x（0.1x+0.9）+0.5x=12，

整理，得x2+14x﹣120=0，

解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=6，

当x＞10时，根据题意，得x（0.1x+0.9）+x=12，

整理，得x2+19x﹣120=0，

解这个方程，得x1=﹣24（不合题意，舍去），x2=5，

因为5＜10，所以x2=5舍去，

答：

需要售出6部汽车．

本题考查一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．

（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：

27-0.1×3，即可得出答案；

（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可.

解：

（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，

∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：

27﹣0.1×2=26.8万元，

故答案为26.8；

（2）见答案.

17．解：

（1）根据小亮的设计方案列方程得：

（52-x）（48-x）=2300，

解之得：

x=2或x=98（舍去），

∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m；

（2）过点A作AI⊥CD，过点H作HJ⊥EF，垂足分别为I，J，如图所示．

∵AB∥CD，∠1＝60°，

∴∠ADI＝60°．

∵BC∥AD，

∴四边形ADCB是平行四边形，

∴BC＝AD．

由

（1）得x＝2，

∴BC＝HE＝2m＝AD．

在Rt△ADI中，利用勾股定理可得

．

同理可得

．

∴绿地的总面积为：

．

答：

小颖的设计方案中四块绿地的总面积为2299m2．

本题考查了一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考查一元二次方程的应用的主要题型．

（1）根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可；

（2）求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可；

18．解：

设AB为xm，则BC为（50-2x）m，

根据题意得方程：

x（50-2x）=300，

2x2-50x+300=0，

解得；x1=10，x2=15，

当x1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去），

当x2=15时50-2x=20＜25（符合题意）．

答：

当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米．

设AB为xm，则BC为（50-2x）m，根据题意可得等量关系：

矩形的长×宽=300，根据等量关系列出方程，再解即可．

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．

19．解：

（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．

则（40-2x）2=484，

即40-2x=±22，

解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9，

∴剪掉的正方形的边长为9cm．

②侧面积有最大值．

设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2，

则y与x的函数关系为：

y=4（40-2a）a，

即y=-8a2+160a，

即y=-8（a-10）2+800，

∴a=10时，y最大=800．

即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2．

（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的长方形盒子的高为xcm．

2（40-2x）（20-x）+2x（20-x）+2x（40-2x）=550，

解得：

x1=-35（不合题意，舍去），x2=15．

∴剪掉的长方形盒子的高为15cm．

40-2×15=10（cm），

20-15=5（cm），

此时长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm．

（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40-2x）2=484，求出即可；

②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：

y=4（40-2x）x，利用二次函数最值求出即可；

（2）假设剪掉的长方形盒子的高为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可．

20．解：

（1）设xs后，△PBQ的面积为4cm2，此时，AP＝xcm，BP＝（5－x）cm，BQ＝2xcm，

由

，得：

，

整理，得x2－5x＋4＝0，

解之得：

x1＝1，x2＝4，

当x＝4时，2x＝8＞7，说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去，

答：

1s后，△PBQ的面积为4cm2；

（2）仿照

（1），由BP2＋BQ2＝PQ2，得：

（5－x）2＋（2x）2＝52，

整理，得x2－2x＝0，

解之得：

x1＝0（不合题意，含去），x2＝2，

答：

2s后，PQ的长度为5cm；

（3）不能．

理由：

仿照

（1），得：

，

整理，得：

x2－5x＋7＝0，

∵△=（-5）2-4×1×7=25-28=-3＜0，

∴此方程无解，

∴△PBQ的面积不能为7cm2.

本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理和直角三角形的面积公式．

（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程求解即可；

（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程求解即可；

（3）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可．