重庆市中考数学一轮复习第四章三角形第3节全等三角形练习册.docx

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重庆市中考数学一轮复习第四章三角形第3节全等三角形练习册

第3节　全等三角形

（建议答题时间：

60分钟）

基础过关

1.如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝（　　）

A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB

第1题图　第2题图

2.（人教八上第44页11题改编）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A.AB＝DEB.AC＝DFC.∠A＝∠DD.BF＝EC

3.如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A.1对B.2对C.3对D.4对

第3题图第4题图第5题图

4.

（2017怀化）如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：

____________________________，使得△ABC≌△DEC.

5.如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝________.

6.如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为________．

第6题图

7.（2017福建）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：

∠A＝∠D.

第7题图

8.（2017武汉）如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．

第8题图

9.（2017南充）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE＝CF，AE＝BF，求证：

AC∥BD.

第9题图

10.（2017重庆巴南区期中检测）如图，在四边形ABCD中，点E在对角线AC上，AB∥DE，∠ACB＝∠ADE，AB＝EA，求证：

AC＝ED.

第10题图

11.（人教八上第44页4题改编）如图所示，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件，证明：

AB＝AC.

（1）你添加的条件是________________；

（2）请写出证明过程．

第11题图

12.（2017重庆一中期中考试）如图，AF∥DE，点B、C在线段AD上，且∠E＝∠F，连接FC、EB，延长EB交AF于点G.

（1）求证：

BE∥CF；

（2）若CF＝BE，求证：

AB＝CD.

第12题图

13.（2017苏州）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.

（1）求证：

△AEC≌△BED；

（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数．

第13题图

14.（2017哈尔滨）已知，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.

（1）如图①，求证：

AE＝BD；

（2）如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．

第14题图

满分冲关

1.（2017滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：

（1）PM＝PN恒成立；

（2）OM＋ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）

A.4B.3C.2D.1

第1题图第2题图

2.（2018原创）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论：

①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.（2017新疆建设兵团）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：

①∠ABC＝∠ADC；

②AC与BD互相平分；

③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；

④四边形ABCD的面积S＝

AC·BD，正确的是________．（填写所有正确结论的序号）

第3题图

4.（2017温州）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.

（1）求证：

△ABC≌△AED；

（2）当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．

第4题图

5.（2017荆门）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.

（1）求证：

△ADE≌△FCE；

（2）若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．

第5题图

6.（2017齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．

（1）求证：

DE＝DF，DE⊥DF；

（2）连接EF，若AC＝10，求EF的长．

第6题图

7.（2017德阳）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G.

（1）证明：

△CFG≌△AEG；

（2）若AB＝4，求四边形AGCD的对角线GD的长．

第7题图

8.（2017北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B，C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.

（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

第8题图

9.（2018原创）已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．

（1）如图①，当AC⊥DE，且AD＝2时，求线段BC的长度；

（2）如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：

DF＝EG.

第9题图

答案

基础过关

1.A　2.C

3.D　【解析】∵AB＝AC，D为BC中点，∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO＝90°，

在△ABD和△ACD中，

，∴△ABD≌△ACD（SSS），∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△AOE和△COE中，

，∴△AOE≌△COE（SSS）；

在△BOD和△COD中，

，∴△BOD≌△COD（SAS）；在△AOC和△AOB中，

，∴△AOC≌△AOB（SSS）．

4.AB＝DE（答案不唯一）　

5.4　【解析】∵AB∥CF，∴∠ADE＝∠CFE，∵E是DF的中点，∴DE＝EF，在△ADE与△CFE中，

，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF，∵AB＝10，CF＝6，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4.

6.120°　【解析】∵△ACD和△BCE均为等边三角形，∴∠DCA＝∠BCE＝60°，AC＝DC，BC＝EC，∴∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝∠BCE＋∠ACB＝∠ACE，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴∠CDB＝∠CAE，∴∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝∠DAC＋∠CAE＋∠ADC－∠CDB＝∠ADC＋∠DAC＝120°.

7.证明：

∵BE＝CF，

∴BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠A＝∠D.

8.解：

CD∥AB，CD＝AB.

证明：

∵CE＝BF，

∴CF＝BE，

又∵∠CFD＝∠BEA，DF＝AE，

∴△CFD≌△BEA（SAS），

∴CD＝AB，∠C＝∠B，

∴CD∥AB.

9.证明：

∵DE⊥AB，CF⊥AB，

∴∠BED＝∠AFC＝90°，

又∵AE＝BF，

∴AE＋EF＝BF＋EF，

∴AF＝BE.

在△ACF和△BDE中，

，

∴△ACF≌△BDE（SAS），

∴∠A＝∠B，

∴AC∥BD.

10.证明：

∵AB∥DE，

∴∠BAC＝∠AED，

在△ABC和△EAD中，

，

∴△ABC≌△EAD（AAS），

∴AC＝ED.

11.

（1）解：

∠B＝∠C或∠ADB＝∠ADC等；

（2）证明：

若添加的条件为∠B＝∠C，在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（AAS），

∴AB＝AC；

若添加的条件为∠ADB＝∠ADC，在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（ASA），

∴AB＝AC.

12.证明：

（1）∵AF∥DE，

∴∠E＝∠AGE，

∵∠E＝∠F，

∴∠F＝∠AGE，

∴BE∥CF；

（2）∵AF∥DE

∴∠A＝∠D，

在△ACF和△DBE中，

，

∴△ACF≌△DBE（AAS），

∴AC＝DB，

∴AB＝CD.

13.

（1）证明：

∵AE和BD相交于点O，

∴∠AOD＝∠BOE，

在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，

∴∠BEO＝∠2，

又∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠BEO，

∴∠AEC＝∠BED，

在△AEC和△BED中，

，

∴△AEC≌△BED（ASA）；

解：

（2）∵△AEC≌△BED，

∴EC＝ED，∠C＝∠BDE，

在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，

∴∠C＝∠EDC＝69°，

∴∠BDE＝∠C＝69°.

14.

（1）证明：

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，

∴∠BCD＝∠ACE，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD；

（2）解：

△ACB≌△DCE，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE，△NCB≌△MCE.

满分冲关

1.B　【解析】如解图，过点P分别作OA、OB的垂线PC、PD，根据角平分线的性质可得PC＝PD，∵OP一定，∴OC＝OD.∵∠AOB是定角，∠MPN与∠AOB互补，∴∠MPN也为定角．∵∠CPD与∠AOB也互补，∴∠MPN＝∠CPD，∴∠MPC＝∠NPD，∴△MPC≌△NPD（ASA），∴CM＝DN，MP＝NP.故

（1）正确；∵OM＋ON＝OC＋CM＋OD－DN，∴OM＋ON＝OC＋OD，∵OC＝OD为定长，∴OM＋ON为定长．故

（2）正确；∵△MPC≌△NPD，∴S四边形MONP＝S△CMP＋S四边形CONP＝S△NPD＋S四边形CONP＝S四边形CODP.∴四边形MONP面积为定值．故（3）正确；∵Rt△MPC中，MP为斜边，CP为直角边，∴可设MP＝kCP，∴PN＝kDP，∵∠MPN＝∠CPD，∴△MPN∽△CPD，其相似比为k，∴MN＝kCD，当点M与点C重合，点N和点D重合时，MN＝CD，当点M与点C不重合，点N与点D不重合时，MN≠CD，∴MN的长度在发生变化．故（4）错误．

　第1题解图

2.A　【解析】∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△BDF中，

，

∴△CDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④正确．故选A.

3.①④　【解析】在△ABC与△ADC中，

，∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠ABC＝∠ADC，故①正确；∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∴AC平分∠BAD、∠BCD，故③错误；又∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∴OB＝OD，∴AC，BD互相垂直，但不平分，故②错误；∵AC，BD互相垂重，∴四边形ABCD的面积S＝

AC·BO＋

AC·OD＝

AC·BD.故④正确，综上所述，正确的结论是①④.

4.

（1）证明：

∵AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC，

∴∠BCD－∠ACD＝∠EDC－∠ADC

即∠BCA＝∠EDA，

在△ABC与△AED中，BC＝ED，∠BCA＝∠EDA，AC＝AD，

∴△ABC≌△AED（SAS）；

（2）解：

∵△ABC≌△AED，

∴∠E＝∠B＝140°，

∵五边形ABCDE内角和为（5－2）×180°＝540°，

∴∠BAE＝540°－2×90°－2×140°＝80°.

5.

（1）证明：

∵点E是CD的中点，

∴DE＝CE，

∵AB∥CF，

∴∠BAF＝∠AFC，

在△ADE与△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（AAS）；

（2）解：

由

（1）知CD＝2DE，

∵DE＝2，

∴CD＝4，

在Rt△ABC中，点D为AB的中点，

∴AB＝2CD＝8，AD＝CD＝

AB.

∵AB∥CF，

∴∠BDC＝180°－∠DCF＝180°－120°＝60°，

∴∠DAC＝∠ACD＝

∠BDC＝

×60°＝30°，

∴在Rt△ABC中，BC＝

AB＝

×8＝4.

6.

（1）证明：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

在△BDG和△ADC中，

，

∴△BDG≌△ADC（SAS），

∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，

∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，

∴DE＝

BG＝EG，DF＝

AC＝AF，

∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，

∴∠EDG＋∠FDA＝90°，

∴DE⊥DF；

（2）解：

∵AC＝10，

∴DE＝DF＝5，

由勾股定理得，EF＝

＝5

.

7.

（1）证明：

∵E是AB的中点，且CE⊥AB，

∴CA＝CB.

∵F是BC的中点，且AF⊥BC，

∴AB＝AC，

∴AB＝AC＝BC，

∴

AB＝

BC，∴AE＝CF，

在△CFG和△AEG中，

，

∴△CFG≌△AEG（AAS）；

（2）解：

如解图，连接GD，

第7题解图

∵AB＝AC＝BC，

∴△ABC为等边三角形，从而△CAD也为等边三角形，

∵AF⊥BC，

∴∠GAC＝∠EAF＝30°，

又∵AE＝

AB＝2，

∴在Rt△AEG中，AG＝

AE＝

，

∵∠GAD＝∠GAC＋∠CAD＝90°，

∴在Rt△ADG中，根据勾股定理得：

GD2＝AG2＋AD2，

即GD2＝（

）2＋42，

∴GD2＝

，

∴GD＝

.

8.解：

（1）∵∠ACP＝90°，

∴在Rt△ACP中，∠CAP＋∠APC＝90°，

∵HQ⊥AP,

∴在Rt△HPQ中，∠Q＋∠HPQ＝90°，

又∵∠APC＝∠HPQ，∠CAP＝α，

∴∠Q＝α，

又∵在等腰Rt△ABC中，∠B＝∠BAC＝45°，

∴∠AMQ＝∠B＋∠Q＝45°＋α；

（2）PQ＝

BM.

证明：

如解图，连接AQ，过点M作MN⊥BQ于点N.

第8题解图

∵∠ACP＝90°，CQ＝CP，∠CAP＝α，

∴∠CAQ＝∠CAP＝α，AP＝AQ，PQ＝2CP，

又∵∠BAC＝45°，

∴∠MAQ＝∠BAC＋∠CAQ＝45°＋α＝∠AMQ，

∴AQ＝MQ，

∴AP＝MQ，

又∵MN⊥BQ，

∴∠ACP＝∠QNM＝90°.

在Rt△APC和Rt△QMN中，

，

∴Rt△APC≌Rt△QMN（AAS），

∴CP＝MN，∴PQ＝2MN，

又∵在Rt△BMN中，∠B＝45°，

∴BM＝

MN，∴PQ＝

BM.

9.

（1）解：

∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AC⊥DE，AD＝2，

∴BC＝AC，DE＝AD＝2，DF＝

DE＝1，AF＝CF，

∴AF＝

＝

，

∴AC＝2AF＝2

，∴BC＝2

；

（2）证明：

连接CE，FG，如解图所示：

第9题解图

∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠AED＝60°，

∴∠ADB＝120°，∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，

∴∠CED＝∠AEC－∠AED＝60°，

∵CD⊥BE，

∴∠DCE＝30°，

∴DE＝

CE，

∵线段BC的中点为F，线段DC的中点为G，

∴FG∥BD，FG＝

BD，

∴FG∥DE，FG＝DE，

∴四边形DFGE是平行四边形，

∴DF＝EG.