专题十一线三等角模型下的全等三角形问题解析有答案.docx

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专题十一线三等角模型下的全等三角形问题解析有答案

专题十：

“一线三等角”模型下的全等三角形问题解析（有答案）

知识指引

一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在初二阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值以及角度的证明，是一类比较典型的全等模型，下面我们就来学习一下这个一线三等角下的全等三角形。

Ø一线三等角模型：

Ø处理一线三等角类问题的步骤：

首先，找角，其中会涉及到角度的计算和对等处理；

其次，找线，也就是所给的定线，往往是指全等时对等的那组对应边；

最后，用来判断全等，进而利用全等三角形的性质来证明或求取相应的问题.

典型例题

类型一：

同侧一线三等角类全等的证明

【例1】

（1）如图

（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：

DE＝BD+CE；

（2）如图

（2）将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？

如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【分析】

（1）根据AAS证明△ADB≌△CEA，得到AE＝BD，AD＝CE，即可证明；

（2）同理证明△ADB≌△CEA，得到AE＝BD，AD＝CE，即可证明；

【详解】

（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，

∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，

∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；

（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE+AD＝BD+CE．

类型二：

异侧一线三等角类全等的证明

【例2】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于D，CE⊥AE，若BD＞CE，试问：

（1）AD与CE的大小关系如何？

请说明理由；

（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系如何？

并说明理由．

【分析】

（1）由已知可得AB=AC，∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD=∠ACE

；两角及其一角

的对边对应相等的两个三角形全等，利用△ABD≌△CAE即可得到AD=CE；

（2）据△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=EC，又AE=AD+DE，故可得BD=DE+CE．

【解答】

（1）AD与CE的大小关系为AD=CE，理由是：

∵CE⊥l于E，∴∠ACE+∠EAC=90°，

又∵∠BAD+∠EAC=∠BAC=90°，∴∠BAD=∠ACE；

∵BD⊥l于D，CE⊥l于E，∴∠BDA=∠AEC=90°；

又∵AB=AC；∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE．

（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系为：

BD=DE+CE，理由如下：

∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，又∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE．

强化练习

1．如图，△ABC中，AB⊥BC，AD⊥BD，CE⊥BD，AB=BC，若CE=6，AD=2，求DE的长．

解：

∵AB⊥BC，AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠D=∠CEB=∠ABC=90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，∠CBE+∠ABD=90°，∴∠BCE=∠ABD，

在△ADB和△BEC中，

∴△BCE≌△ABD（AAS），

∴BD=CE=6，BE=AD=2，∴DE=BD-BE=6-2=4，

答：

DE的长是4．

2．已知∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，

（1）如图1，

①线段CD和BE的数量关系是　；

②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．

（2）如图2，上述结论②还成立吗？

如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．

【详解】

（1）①CD＝BE，理由：

∵AD⊥CM

，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠B，

在△ACD和△CBE中，

∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE．

②AD＝BE+DE．理由：

∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，

∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．

（2）②中的结论不成立．DE＝AD+BE．

理由：

∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠B，

在△ACD和△CBE中，

∴△ACD≌△CBE，

∴AD＝CE，CD＝BE，∵DE＝CD+CE＝BE+AD，∴DE＝AD+BE．

3．如图1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，点C在直线BD上且与F重合，AB=FD，BC=DE

（1）请说明△ABC≌△FDE，并判断AC是否垂直FE？

（2）若将△ABC 沿BD方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？

请说明为什么？

【解答】

（1）AC⊥EF，理由：

∵AB⊥BD于B，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，

在△ABC和△FDE中，

∴△ABC≌△FDE，∴∠A=

∠EFD，

∵∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，

∴∠ACE=180°-90°=90°，∴AC⊥CE，即AC⊥FE．

（2）AC垂直FE，

理由是∵∠A=∠F（已证），∠ABC=∠ABF=9

0°，∠AMN=∠FMB，

∴∠F+∠FMB=90°，∴∠A+∠AMN=90°，∴∠ANM=180°-90°=90°，∴AC⊥FE．

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：

ED=AE+BD；

（2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交时，请你探究ED，AE，BD三者之间的数量关系．

【解析】

（1）∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

∴△AEC≌△CDB（AAS），

∴CE=BD，AE=CD，∵ED=C

E+CD，∴ED=AE+BD；

（2）ED=

BD﹣AE，理由是：

∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

∴△AEC≌△CDB（AAS），∴CE=BD，AE=CD，

∵ED=CE

﹣CD，∴ED=BD﹣AE．

5．如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点

E，AF⊥CF于点F，其中0°＜∠ACF＜45°．

（1）求证：

△BEC≌△CFA；

（2）若AF=5，EF=8，求BE的长；

（3）连接A

B，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断△QEF的形状，并说明理由．

．

【解答】

（1）∵∠BCA=∠BEC=∠F=90°，

∴∠BCE+∠B=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠B=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

∴△BEC≌△CFA．

6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：

DE＝AD＋BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：

DE＝AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？

请你写出这个数量关系，并证明

【详解】

（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）

∴CD=BE，AD=CE，∴DE＝CD+CE=AD＋BE

（2）在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE，

∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）

∴CD=BE，AD=CE.∴DE=CE-CD=AD-BE.

（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE，

∵AC=BC∴△ACD≌△CBE（AAS）.

∴CD=BE，AD=CE.∴DE=CD-CE=BE-AD.

∴DE、AD、BE之间的关系为DE=BE-AD.

7．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在直线AB上，且DE=CE．

（1）如图

（1），若∠DEC=∠A=90°，BC=3，AD=2，求AB的长；

（2）如图

（2），若DE交BC于点F，∠DFC=∠AEC，猜想AB、AD、BC之间具有怎样的数量关系？

并加以证明．

【解答】

（1）∵∠DEC=∠A=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，

∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B+∠A=180°，∴∠B=∠A=90°，

在△AED和△CEB中，

∴△AED≌△CEB（AAS），

∴AE=BC=3，BE=AD=2，∴AB=AE+BE=2+3=5．

（2）AB+AD=BC，理由如下：

∵AD∥BC，∴∠A=∠EBC，

∵∠DFC=∠AEC，∠DFC=∠

BCE+∠DEC，∠AEC=∠AED+∠DEC，∴∠AED=∠BCE，

在△AED和△BCE中，

∴△AED≌△BCE（AAS），

∴AD=BE，AE=BC，∵BC=AE=AB+BE=AB+AD，即AB+AD=BC

8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：

ED=AE+BD；

（2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交时，请你探究ED、AE、BD三者之间的数量关系

．

解：

（1）∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

∴△AEC≌△CDB（AAS），∴CE=BD，AE=CD，∵ED=CE+CD，∴ED=AE+BD；

（2）ED=BD﹣A

E，理由是：

∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

∴△AEC≌△CDB（AAS），∴CE=BD，AE=CD，

∵ED=CE﹣CD，∴ED=BD﹣AE．

9．如图

（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AC=DE，试说明BC⊥CE的理由；

如图

（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．

【解答】（1

）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°．

又∵AB=CD，AC=DE，∴△ABC≌△DCE．∴∠B=∠DCE．

∵∠B+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°．

∴∠BCE=90°，即BC⊥CE；

（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，∴∠A=∠CDE=90°．

又∵AB=CD，AD=DE，∴△ABD≌△DCE．

∴∠B=∠DCE．∵∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB+∠DCE=90°．∴BD⊥CE．

10．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE　　CF；EF　　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

【解答】

（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，

∵CA=CB，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．

②所填的条件是：

∠α+∠BCA=180°．

证明：

在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．

∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．

又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，

又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）.∴BE=CF，CE=AF，

又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．

（2）EF=BE+AF．

11．如图1，AB=8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=6cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=65°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？

若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】

（1）当t=2时，AP=BQ=2，BP=AC=6，

在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）.∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直；

（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，可得

解得

②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，可得

解得

综上所述，存在

或得

使得△ACP与△BPQ全等．