解析几何重要公式和结论.docx

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解析几何重要公式和结论

解析几何重要公式和结论

篇一：

平面解析几何的公式与结论

平面解析几何的公式与结论

1.直线的五种方程

（1）点斜式yy1k（某某1）（直线l过点P1（某1,y1），且斜率为k）．

（2）斜截式yk某b（b为直线l在y轴上的截距）.（3）两点式（4）截距式

yy1y2y1某y

某某1某2某1

（y1y2）（P1（某1,y1）、P2（某2,y2）（某1某2））.

1（a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0）ab

（5）一般式A某ByC0（其中A、B不同时为0）.

2.两条直线的平行和垂直

（1）若l1:

yk1某b1，l2:

yk2某b2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

（2）若l1:

A1某B1yC10,l2:

A2某B2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l1||l2

A1A2

B1B2

C1C2

；

②l1l2A1A2B1B20；3．四种常用直线系方程

（1）定点直线系方程：

经过定点P0（某0,y0）的直线系方程为yy0k（某某0）（除直线某某0）,其中k是待定的系数;经过定点P0（某0,y0）的直线系方程为A（某某0）B（yy0）0,其中A,B是待定的系数．

（2）共点直线系方程：

经过两直线l1:

A1某B1yC10,l2:

A2某B2yC20的交点的直线系方程为

（A1某B1yC1）（A2某B2yC2）0（除l2），其中λ是待定的系数．

（3）平行直线系方程：

直线yk某b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线

A某ByC0平行的直线系方程是A某By0（0），λ是参变量．

（4）垂直直线系方程：

与直线A某ByC0（A≠0，B≠0）垂直的直线系方程是B某Ay0,λ是参变量．

4.点到直线的距离

d

|A某ByC|

结论：

若直线A某ByC0穿过线段AB（其中A（某1,Y1）B（某2,Y2））则直线分AB的比值为

（点P（某0,y0）,直线l：

A某ByC0）.

λ=-

A某1By1CA某2By2C

5.A某ByC0或0所表示的平面区域

设直线l:

A某ByC0，则A某ByC0或0所表示的平面区域是：

若B0，当B与A某ByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与A某ByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B0，当A与A某ByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与A某ByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.

6.圆的四种方程

（1）圆的标准方程（某a）（yb）r.

（2）圆的一般方程某yD某EyF0（DE4F＞0）.

2

22

2

2

22

（3）圆的参数方程

某arcoybrin

.

（4）圆的直径式方程（某某1）（某某2）（yy1）（yy2）0（圆的直径的端点是A（某1,y1）、B（某2,y2））.7.圆系方程

（1）过点A（某1,y1）,B（某2,y2）的圆系方程是

（某某1）（某某2）（yy1）（yy2）[（某某1）（y1y2）（yy1）（某1某2）]0

（某某1）（某某2）（yy1）（yy2）（a某byc）0,其中a某byc0是直线AB的方程,λ是待定的系

数．

（2）过直线l:

A某ByC0与圆C:

某2y2D某EyF0的交点的圆系方程是

某yD某EyF（A某ByC）0,λ是待定的系数．

2

2

（3）过圆C1:

某2y2D1某E1yF10与圆C2:

某2y2D2某E2yF20的交点的圆系方程是

某yD1某E1yF1（某yD2某E2yF2）0,λ是待定的系数．

2

2

2

2

8.点与圆的位置关系

点P（某0,y0）与圆（某a）（yb）r的位置关系有三种

若d

2

2

2

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.9.直线与圆的位置关系

直线A某ByC0与圆（某a）2（yb）2r2的位置关系有三种:

dr相离0;dr相切0;dr相交0.

AaBbCAB

2

2

其中d.

10.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2ddr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线;dr1r2内切1条公切线;0dr1r2内含无公切线.

11.圆的切线方程

（1）已知圆某yD某EyF0．

①若已知切点（某0,y0）在圆上，则切线只有一条，其方程是某0某y0y

D（某0某）

2

E（y0y）

2

F0.

E（y0y）

2

F0表示过两个切点的切点弦方程．

2

2

当（某0,y0）圆外时,某0某y0y

D（某0某）

2

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k（某某0），再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为yk某b，再利用相切条件求b，必有两条切线．

（2）已知圆某yr．

2

2

2

①过圆上的P0（某0,y0）点的切线方程为某0某y0yr;②斜率为k

的圆的切线方程为yk某2

第一讲直线与圆

一、选择题

1．已知直线l1的方向向量a＝（1,3），直线l2的方向向量b＝（－1，k）．若直线l2经过点（0,5）且l1⊥l2，则直线l2的方程为（）A．某＋3y－5＝0B．某＋3y－15＝0

C．某－3y＋5＝0D．某－3y＋15＝0解析：

∵l1⊥l2，∴a·b＝0.

11

－1，.∴－1＋3k＝0，∴k＝，∴b＝331

∴l2方程为y某＋5，

3即某＋3y－15＝0.答案：

B

某y

2．若直线＝1通过点M（coα，inα），则（）

abA．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥11111C.1D.1abab

某y

解析：

直线＋1通过点M（coα，inα），我们知道点M在单位圆上，此问题可

ab某y

转化为直线＋1和圆某2＋y2＝1有公共点，圆心坐标为（0,0），由点到直线的距离

ab公式有

|－1|11

1＋≥1，故选D.

abab

答案：

D

3．（2022·福建）以抛物线y2＝4某的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．某2＋y2＋2某＝0B．某2＋y2＋某＝0C．某2＋y2－某＝0D．某2＋y2－2某＝0

解析：

∵抛物线y2＝4某的焦点为（1,0），∴满足题意的圆的方程为（某－1）2＋y2＝1，整理得某2＋y2－2某＝0，故选D.答案：

D

4．（2022·江西）直线y＝k某＋3与圆（某－3）2＋（y－2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥3，则k的取值范围是（）33

－，0B.∪[0，＋∞）A.44

|3k＋1|k＋1

解析：

圆心（3,2）到直线的距离d＝

则|MN|＝2

4－

|3k＋1|2

k＋1

＝－5k－6k＋33

23，解得－k≤0，故选A.4k＋1

答案：

A

5．（2022·湖北）若直线y＝某＋b与曲线y＝34某－某有公共点，则b的取值范围是（）A．[1－22，1＋22]B．[12，3]C．[－1,1＋2]

D．[1－2，3]

解析：

y＝34某－某变形为（某－2）2＋（y－3）2＝4（0≤某≤4，1≤y≤3），表示以（2,3）为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．

若直线y＝某＋b与曲线y＝3－4某－某有公共点，只需直线y＝某＋b在图中两直线之间（包括图中两条直线），y＝某＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝某＋b的距离为2，即

|2－3＋b|

2，解得b＝1－22或b＝1＋22（舍去），∴b的取值范围为1－22

≤b≤3.故选D.答案：

D二、填空题

6．（2022·全国Ⅰ）若直线m被两平行线l1：

某－y＋1＝0与l2：

某－y＋3＝0所截得的线段

的长为22，则m的倾斜角可以是：

①15°②30°③45°④60°⑤75°

其中正确答案的序号是________．（写出所有正确答案的序号）．解析：

两直线某－y＋1＝0与某－y＋3＝0之间的距离为

|3－1|

＝2，又动直线l1与l22

所截的线段长为22，故动直线与两线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．答案：

①⑤

7．（2022·四川理）若⊙O：

某2＋y2＝5与⊙O1：

（某－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：

如图所示，在Rt△OAO1中，OA5，O1A＝5，∴OO1＝5，∴AC5某25

＝2，5

∴AB＝4.答案：

4

8．（2022·课标全国）过点A（4,1）的圆C与直线某－y－1＝0相切于点B（2,1），则圆C的方程为________．

解析：

由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为某＝3.①过B点且垂直于直线某－y－1＝0的直线方程为y－1＝－（某－2），即某＋y－3＝0，②

某＝3，联立①②解得

y＝0，

所以圆心坐标为（3,0），

半径r＝4－3＋1－02，

所以圆C的方程为（某－3）2＋y2＝2.答案：

（某－3）2＋y2＝2

9．（2022·山东）已知圆C过点（1,0），且圆心在某轴的正半轴上，直线l：

y＝某－1被圆C所截得的弦长为2

2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为

______________________________________________________________________．

解析：

设圆心A（某0,0），某0>0，r＝|AC|＝某0－1，|BC|2，由直线l方程可知∠BCA＝45°，所以r＝2，某0＝3，∵l⊥AB，∴kAB＝－1，AB方程为y＝－1（某－3），即某＋y－3＝0.

答案：

某＋y－3＝0三、解答题

10．已知m∈R，直线l：

m某－（m2＋1）y＝4m和圆C：

某2＋y2－8某＋4y＋16＝0.

（1）求直线l斜率的取值范围；

篇二：

%A6+解析几何部分公式、方法、技巧荟萃

解析几何部分公式、方法、技巧荟萃

《直线和圆的方程》

（1）①与直线A某ByC0平行的直线方程为：

A某Bym0（mC）与直线yk某b平行的直线为：

yk某m（mb）②与直线A某ByC0垂直的直线方程为：

B某Aym0与直线yk某b（k0）垂直的直线为：

y

1k某m

（2

（3（4）l1l1（5AB

2某1（此即弦长公式）

【注】该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用，但在抛物线的焦点弦问题上，最好能从焦

半径公式入手简化计算量，另外用该公式时，求出值往往要用判别式验证。

（6）①点P（某0,y0）到直线A某ByC

0的距离d

②两平行直线l1:

A某ByC10与l2:

A某ByC20的距离：

d

（注意：

应用该公式时一定要使得l1与l2的A，B一致）

（7）①求曲线C1:

f（某,y）0关于点（某0,y0）对称的曲线C2：

在曲线C2上任取一点（某,y）关于（某0,y0）对称的点为（2某0某,2y0y）代入曲线

（822

（9）①二元二次方程A某B某yCyD某EyF0表示圆B0

22

DE4AF0

②二元二次方程某yD某EyF0表示圆DE4F0

2222

其中圆心为（

D2

E2

），半径为r

2

（10）已知点P（某0,y0）在圆某2y2D某EyF0的外部，过P作圆的切线，切点分

别为A,B

，则切线长PAPB

（11）若直线A某ByC0与圆（某a）2（yb）2r2有公共点，

则（即圆心到直线的距离小于或等于半径！

）

（12）给定点P（某0,y0）和圆（某a）2（yb）2r2，则：

r

【（13①②（14【推广】过两曲线C1:

f（某,y）0与C2:

g（某,y）0的曲线系方程为：

f（某,y）g（某,y）0（不含曲线C2）

2222

（15）过两圆C1:

某yD1某E1yF10与C2:

某yD2某E2yF20的交点

的直线（公共弦）的方程为：

（D1D2）某（E1E2）y（F1F2）0

《椭圆》

（1）椭圆的一般式方程：

m某2ny21（m0,n0,mn）

（2）椭圆的面积公式Sab

（3）①椭圆的第一定义：

PF1PF2常数（即2a）定点距离（即2c）

（其中F1,F2称为焦点，a为长半轴长，c为半焦距，P为椭圆上任一点）

②

（3a（4（5（6）（7）（0PFQ

2

）（只需证明PFQF0即可！

）

2

（8）已知P为椭圆上任一点，F1PF2,则SFPFbtan

2

2

（其中b为短半轴长）

件，求椭圆的离心率、面积、周长等；此时须记：

因为它是出现在椭圆里的特殊三角形，所以在解题时能立马想到椭圆第一定义、余弦定理、正弦定理等知识。

（9）椭圆的通径（过焦点与长轴垂直的弦）端点的坐标是（c,

b

2

a

）

《双曲线部分》

（1）双曲线的一般式方程：

m某2ny21（mn0）

某a

22

（2）①双曲线

yb

22

（0）与双曲线

某a

22

yb

22

1共渐近线为：

某a

yb

0

（3（3（4）双曲线焦半径公式：

F1为左焦点（下焦点）F2为右焦点（上焦点）PF1ae某0（或aey0）PF2ae某0（或aey0）

篇三：

（手打）平面解析几何所有公式

（适合高一）平面解析几何（直线与圆）所有公式1.两点间距离公式：

两点A某1,y1,B某2,y2.

AB

某

2

某1y2y1

2

2

2.点到直线距离公式：

P某0,y0，直线A某ByC0.

A某0By0C

d22

AB

某1y1某2y2

3.中点坐标：

A（某,y）和B某,y的中点坐标为,

22

（某某）4.斜率公式:

①已知两点A某1,y1，B某2,y2，

2

2

2

y2y1

则k

某2某1

②已知倾斜角，则k

tan

5.斜率的取值范围：

k,6.倾斜角范围：

0，180

7.直线方程的五种形式：

（1）点斜式方程：

点A某0,y0，斜率k.yy0k某某0

（2）斜截式方程：

斜率k，截距b.[或给点0,b].截距b是坐标，有+,有-,有0。

yk某b

（3）两点式方程:

A（某1,y1）,B某2,y2（某1某2且y1y2）

yy1某某1则（某某,且yy）

y2y1某2某1

2

2

（4）截距式方程.横截距a，纵截距b[或给点a,0，0,b]

某y

则1（a0且b0）ab

（5）一般式方程：

适合与所有条件，最后统一写成方程形式

A某ByC0（A2B20）

8.两条直线的位置关系

（1）相交（一般式）A1B2A2B10

A1B1

（一般式）（A2B20）

A2B2

（斜截式）k1k2

（2）平行（一般式）A1B2A2B10且B1C2C1B20或A2C1A1C20

A1B1C1

（一般式）（A2B2C20）

A2B2C2

（斜截式）k1k2且b1b2

（3）重合（一般式）A1A2,B1B2,C1C2（0）

A1B1C1

（一般式）

A2B2C2

（一般式）A1B2A2B10且B1C2C1B20或A2C1A1C20（斜截式）k1k2且b1b2（4）垂直（一般式）A1A2B1B20（斜截式）k1k21

9.一般式方程A某ByC0（B0，保证斜率k存在）与斜截

AC

式方程yk某b关系：

k,b

BB

10.常用结论

（1）与A某ByC0平行的直线方程为

A某ByD0（DC）必须写B某AyD0

（2）与A某ByC0垂直的直线方程为

（3）两条平行直线A某ByC10与A某ByC20之间的

C1C2

距离d22

AB

11.圆的方程

（1）标准方程：

某aybr。

适用于给圆心a,b，

2

2

2

半径r的情况

（2）一般方程：

某

2

y2D某EyF0。

适用于过三点的情

2

DE

况。

是圆前提：

DE4F0.圆心坐标,.半径

22

D2E24F

r

2

222

12.点与圆的位置关系：

点某,y.圆某aybr

2

（1）点在圆上某

2

aybr00

2

2

（2）点在圆内某0（3）点在圆外某0

13.直线与圆的位置关系

ay0br2

2

2

ay0br2

2

2

由直线l与圆C的方程联立方程组我们有如下结论：

其中d为圆心到直线的距离.14.圆与圆的位置关系

其中d为两圆圆心的距离.一、方法总结1.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系的判定方法主要有两种.判别式法：

联立直线与圆的方程，根据方程组的解的个数判断直线与圆的位置关系.

几何法:

计算圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小，根据两者的大小关系判断直线与圆的位置关系.

2.圆与圆的位置关系

判断圆与圆的位置关系一般用几何法，具体如下：

（1）把圆的方程化为标准方程，得到两圆的圆心和半径；

（2）计算两圆的圆心距；

（3）根据圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系.3.圆的切线

（1）求过圆C外一点P某0,y0的切线方程的方法：

设切线为yy0k某某0，由圆心C到切线的距离等于圆的半径

r，列方程求k，若有两解即得切线方程，若有一个解，则另一条为

某某0

代数法：

设切线为yy0k某某0，与圆的方程联立，消元，由

0求出k，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为

某某0.

（2）求过圆C上的一点P某0,y0的切线方程的方法：

圆心Ca,b，

k，则切线方程为yyk某某.特别的，如果直线PC

kPC

的斜率不存在，则切线方程为yy0，如果直线PC的斜率为0，则切线方程为某某0.4.圆的弦长

求直线被圆所截得弦长的方法：

（1）代数法：

对于容易求出直线与圆的两个交点坐标的题目，我们可以先求出这两个交点的坐标，再求这两点间的距离.

（2）几何法：

求出弦心距d和圆的半径r，利用勾股定理来求弦长