解析几何重要公式和结论.docx
《解析几何重要公式和结论.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解析几何重要公式和结论.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
解析几何重要公式和结论
解析几何重要公式和结论
篇一：
平面解析几何的公式与结论
平面解析几何的公式与结论
1.直线的五种方程
（1）点斜式y?
y1?
k（x?
x1）（直线l过点P1（x1,y1），且斜率为k）．
（2）斜截式y?
kx?
b（b为直线l在y轴上的截距）.（3）两点式（4）截距式
y?
y1y2?
y1x?
y
?
x?
x1x2?
x1
（y1?
y2）（P1（x1,y1）、P2（x2,y2）（x1?
x2））.
?
1（a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?
0）ab
（5）一般式Ax?
By?
C?
0（其中A、B不同时为0）.
2.两条直线的平行和垂直
（1）若l1:
y?
k1x?
b1，l2:
y?
k2x?
b2①l1||l2?
k1?
k2,b1?
b2;②l1?
l2?
k1k2?
?
1.
（2）若l1:
A1x?
B1y?
C1?
0,l2:
A2x?
B2y?
C2?
0,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l1||l2?
A1A2
?
B1B2
?
C1C2
；
②l1?
l2?
A1A2?
B1B2?
0；3．四种常用直线系方程
（1）定点直线系方程：
经过定点P0（x0,y0）的直线系方程为y?
y0?
k（x?
x0）（除直线x?
x0）,其中k是待定的系数;经过定点P0（x0,y0）的直线系方程为A（x?
x0）?
B（y?
y0）?
0,其中A,B是待定的系数．
（2）共点直线系方程：
经过两直线l1:
A1x?
B1y?
C1?
0,l2:
A2x?
B2y?
C2?
0的交点的直线系方程为
（A1x?
B1y?
C1）?
?
（A2x?
B2y?
C2）?
0（除l2），其中λ是待定的系数．
（3）平行直线系方程：
直线y?
kx?
b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线
Ax?
By?
C?
0平行的直线系方程是Ax?
By0（?
?
0），λ是参变量．
（4）垂直直线系方程：
与直线Ax?
By?
C?
0（A≠0，B≠0）垂直的直线系方程是Bx?
Ay0,λ是参变量．
4.点到直线的距离
d?
|Ax?
By?
C|
结论：
若直线Ax?
By?
C?
0穿过线段AB（其中A（X1,Y1）B（X2,Y2））则直线分AB的比值为
（点P（x0,y0）,直线l：
Ax?
By?
C?
0）.
λ=-
Ax1?
By1?
CAx2?
By2?
C
5.Ax?
By?
C?
0或?
0所表示的平面区域
设直线l:
Ax?
By?
C?
0，则Ax?
By?
C?
0或?
0所表示的平面区域是：
若B?
0，当B与Ax?
By?
C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax?
By?
C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若B?
0，当A与Ax?
By?
C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?
By?
C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.
6.圆的四种方程
（1）圆的标准方程（x?
a）?
（y?
b）?
r.
（2）圆的一般方程x?
y?
Dx?
Ey?
F?
0（D?
E?
4F＞0）.
2
22
2
2
22
（3）圆的参数方程?
?
x?
a?
rcos?
?
y?
b?
rsin?
.
（4）圆的直径式方程（x?
x1）（x?
x2）?
（y?
y1）（y?
y2）?
0（圆的直径的端点是A（x1,y1）、B（x2,y2））.7.圆系方程
（1）过点A（x1,y1）,B（x2,y2）的圆系方程是
（x?
x1）（x?
x2）?
（y?
y1）（y?
y2）?
?
[（x?
x1）（y1?
y2）?
（y?
y1）（x1?
x2）]?
0
?
（x?
x1）（x?
x2）?
（y?
y1）（y?
y2）?
?
（ax?
by?
c）?
0,其中ax?
by?
c?
0是直线AB的方程,λ是待定的系
数．
（2）过直线l:
Ax?
By?
C?
0与圆C:
x2?
y2?
Dx?
Ey?
F?
0的交点的圆系方程是
x?
y?
Dx?
Ey?
F?
?
（Ax?
By?
C）?
0,λ是待定的系数．
2
2
（3）过圆C1:
x2?
y2?
D1x?
E1y?
F1?
0与圆C2:
x2?
y2?
D2x?
E2y?
F2?
0的交点的圆系方程是
x?
y?
D1x?
E1y?
F1?
?
（x?
y?
D2x?
E2y?
F2）?
0,λ是待定的系数．
2
2
2
2
8.点与圆的位置关系
点P（x0,y0）与圆（x?
a）?
（y?
b）?
r的位置关系有三种
若d?
2
2
2
d?
r?
点P在圆外;d?
r?
点P在圆上;d?
r?
点P在圆内.9.直线与圆的位置关系
直线Ax?
By?
C?
0与圆（x?
a）2?
（y?
b）2?
r2的位置关系有三种:
d?
r?
相离0;d?
r?
相切0;d?
r?
相交0.
Aa?
Bb?
CA?
B
2
2
其中d?
.
10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?
dd?
r1?
r2?
外离?
4条公切线;d?
r1?
r2?
外切?
3条公切线;
r1?
r2?
d?
r1?
r2?
相交?
2条公切线;d?
r1?
r2?
内切?
1条公切线;0?
d?
r1?
r2?
内含?
无公切线.
11.圆的切线方程
（1）已知圆x?
y?
Dx?
Ey?
F?
0．
①若已知切点（x0,y0）在圆上，则切线只有一条，其方程是x0x?
y0y?
D（x0?
x）
2
?
E（y0?
y）
2
?
F?
0.
?
E（y0?
y）
2
?
F?
0表示过两个切点的切点弦方程．
2
2
当（x0,y0）圆外时,x0x?
y0y?
D（x0?
x）
2
②过圆外一点的切线方程可设为y?
y0?
k（x?
x0），再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为y?
kx?
b，再利用相切条件求b，必有两条切线．
（2）已知圆x?
y?
r．
2
2
2
①过圆上的P0（x0,y0）点的切线方程为x0x?
y0y?
r;②斜率为k
的圆的切线方程为y?
kx?
2
第一讲直线与圆
一、选择题
1．已知直线l1的方向向量a＝（1,3），直线l2的方向向量b＝（－1，k）．若直线l2经过点（0,5）且l1⊥l2，则直线l2的方程为（）A．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0
C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0解析：
∵l1⊥l2，∴a·b＝0.
11
－1，.∴－1＋3k＝0，∴k＝，∴b＝?
3?
31
∴l2方程为yx＋5，
3即x＋3y－15＝0.答案：
B
xy
2．若直线＝1通过点M（cosα，sinα），则（）
abA．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1abab
xy
解析：
直线＋1通过点M（cosα，sinα），我们知道点M在单位圆上，此问题可
abxy
转化为直线＋1和圆x2＋y2＝1有公共点，圆心坐标为（0,0），由点到直线的距离
ab公式有
|－1|11
1?
＋≥1，故选D.
abab
答案：
D
3．（2010·福建）以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝0
解析：
∵抛物线y2＝4x的焦点为（1,0），∴满足题意的圆的方程为（x－1）2＋y2＝1，整理得x2＋y2－2x＝0，故选D.答案：
D
4．（2010·江西）直线y＝kx＋3与圆（x－3）2＋（y－2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥3，则k的取值范围是（）33
－，0?
B.?
∪[0，＋∞）A.?
4?
4?
?
|3k＋1|k＋1
解析：
圆心（3,2）到直线的距离d＝
则|MN|＝2
4－?
?
|3k＋1|2
?
k＋1?
＝－5k－6k＋33
23，解得－k≤0，故选A.4k＋1
答案：
A
5．（2010·湖北）若直线y＝x＋b与曲线y＝34x－x有公共点，则b的取值范围是（）A．[1－22，1＋22]B．[12，3]C．[－1,1＋2]
D．[1－2，3]
解析：
y＝34x－x变形为（x－2）2＋（y－3）2＝4（0≤x≤4，1≤y≤3），表示以（2,3）为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．
若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间（包括图中两条直线），y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即
|2－3＋b|
2，解得b＝1－22或b＝1＋22（舍去），∴b的取值范围为1－22
≤b≤3.故选D.答案：
D二、填空题
6．（2009·全国Ⅰ）若直线m被两平行线l1：
x－y＋1＝0与l2：
x－y＋3＝0所截得的线段
的长为22，则m的倾斜角可以是：
①15°②30°③45°④60°⑤75°
其中正确答案的序号是________．（写出所有正确答案的序号）．解析：
两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为
|3－1|
＝2，又动直线l1与l22
所截的线段长为22，故动直线与两线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．答案：
①⑤
7．（2009·四川理）若⊙O：
x2＋y2＝5与⊙O1：
（x－m）2＋y2＝20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：
高而基培训中心内部资料
如图所示，在Rt△OAO1中，OA5，O1A＝5，∴OO1＝5，∴AC5×25
＝2，5
∴AB＝4.答案：
4
8．（2010·课标全国）过点A（4,1）的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B（2,1），则圆C的方程为________．
解析：
由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0，②
?
?
x＝3，联立①②解得?
?
y＝0，?
所以圆心坐标为（3,0），
半径r＝?
4－3?
＋?
1－0?
2，
所以圆C的方程为（x－3）2＋y2＝2.答案：
（x－3）2＋y2＝2
9．（2010·山东）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：
y＝x－1被圆C所截得的弦长为2
2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为
______________________________________________________________________．
解析：
设圆心A（x0,0），x0>0，r＝|AC|＝x0－1，|BC|2，由直线l方程可知∠BCA＝45°，所以r＝2，x0＝3，∵l⊥AB，∴kAB＝－1，AB方程为y＝－1（x－3），即x＋y－3＝0.
答案：
x＋y－3＝0三、解答题
10．已知m∈R，直线l：
mx－（m2＋1）y＝4m和圆C：
x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.
（1）求直线l斜率的取值范围；
篇二：
%A6+解析几何部分公式、方法、技巧荟萃
解析几何部分公式、方法、技巧荟萃
（1）①与直线Ax?
By?
C?
0平行的直线方程为：
Ax?
By?
m?
0（m?
C）与直线y?
kx?
b平行的直线为：
y?
kx?
m（m?
b）②与直线Ax?
By?
C?
0垂直的直线方程为：
Bx?
Ay?
m?
0与直线y?
kx?
b（k?
0）垂直的直线为：
y?
?
1kx?
m
（2
（3（4）l1l1（5AB?
2?
x1?
（此即弦长公式）
注该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用，但在抛物线的焦点弦问题上，最好能从焦
半径公式入手简化计算量，另外用该公式时，求出值往往要用判别式验证。
（6）①点P（x0,y0）到直线Ax?
By?
C?
0的距离d?
②两平行直线l1:
Ax?
By?
C1?
0与l2:
Ax?
By?
C2?
0的距离：
d?
（注意：
应用该公式时一定要使得l1与l2的A，B一致）
（7）①求曲线C1:
f（x,y）?
0关于点（x0,y0）对称的曲线C2：
在曲线C2上任取一点（x,y）关于（x0,y0）对称的点为（2x0?
x,2y0?
y）代入曲线
（8?
22
（9）①二元二次方程Ax?
Bxy?
Cy?
Dx?
Ey?
F?
0表示圆?
?
B?
0
?
22
?
D?
E?
4AF?
0
②二元二次方程x?
y?
Dx?
Ey?
F?
0表示圆?
D?
E?
4F?
0
2222
其中圆心为（?
D2
,?
E2
），半径为r?
2
（10）已知点P（x0,y0）在圆x2?
y2?
Dx?
Ey?
F?
0的外部，过P作圆的切线，切点分
别为A,B
，则切线长PA?
PB?
（11）若直线Ax?
By?
C?
0与圆（x?
a）2?
（y?
b）2?
r2有公共点，
则（即圆心到直线的距离小于或等于半径！
）
（12）给定点P（x0,y0）和圆（x?
a）2?
（y?
b）2?
r2，则：
?
r
（13①②（14推广过两曲线C1:
f（x,y）?
0与C2:
g（x,y）?
0的曲线系方程为：
f（x,y）g（x,y）?
0（不含曲线C2）
2222
（15）过两圆C1:
x?
y?
D1x?
E1y?
F1?
0与C2:
x?
y?
D2x?
E2y?
F2?
0的交点
的直线（公共弦）的方程为：
（D1?
D2）x?
（E1?
E2）y?
（F1?
F2）?
0
（1）椭圆的一般式方程：
mx2?
ny2?
1（m?
0,n?
0,m?
n）
（2）椭圆的面积公式S?
?
ab
（3）①椭圆的第一定义：
PF1?
PF2?
常数（即2a）?
定点距离（即2c）
（其中F1,F2称为焦点，a为长半轴长，c为半焦距，P为椭圆上任一点）
②
（3a（4（5（6）（7）?
?
（0?
P?
FQ
2
）（只需证明P?
F?
Q?
F?
0即可！
）
2
（8）已知P为椭圆上任一点，?
F1PF2?
?
则S?
FPF?
btan
1
2
?
2
（其中b为短半轴长）
注关于?
F1PF2,很多资料书称之为焦点三角形，试题经常给定该三角形的一些条
件，求椭圆的离心率、面积、周长等；此时须记：
因为它是出现在椭圆里的特殊三角形，所以在解题时能立马想到椭圆第一定义、余弦定理、正弦定理等知识。
（9）椭圆的通径（过焦点与长轴垂直的弦）端点的坐标是（?
c,?
b
2
a
）
（1）双曲线的一般式方程：
mx2?
ny2?
1（mn?
0）
xa
22
（2）①双曲线?
yb
22
?
?
（?
?
0）与双曲线
xa
22
?
yb
22
?
1共渐近线为：
xa
?
yb
?
0
（3（3（4）双曲线焦半径公式：
F1为左焦点（下焦点）F2为右焦点（上焦点）PF1?
a?
ex0（或a?
ey0）PF2?
a?
ex0（或a?
ey0）
篇三：
（手打）平面解析几何所有公式
（适合高一）平面解析几何（直线与圆）所有公式1.两点间距离公式：
两点A?
x1,y1?
B?
x2,y2?
.
AB?
x
2
?
x1?
y2?
y1
2
2
2.点到直线距离公式：
P?
x0,y0?
，直线Ax?
By?
C?
0.
Ax0?
By0?
C
d?
22
A?
B
x1?
y1x2?
y2?
?
3.中点坐标：
A（x,y）和B?
x,y?
的中点坐标为?
?
2?
?
2
（x?
x）4.斜率公式:
①已知两点A?
x1,y1?
，B?
x2,y2?
，
1
1
2
2
1
2
y2?
y1
则k?
x2?
x1
②已知倾斜角?
，则k
?
tan?
5.斜率的取值范围：
k,6.倾斜角范围：
?
?
?
0，180?
?
?
7.直线方程的五种形式：
（1）点斜式方程：
点A?
x0,y0?
，斜率?
y0?
k?
x?
x0?
（2）斜截式方程：
斜率k，截距b.[或给点?
0,b?
].※截距b是坐标，有+,有-,有0。
y?
kx?
b
（3）两点式方程:
A（x1,y1）,B?
x2,y2?
（x1?
x2且y1?
y2）
y?
y1x?
x1则（x?
x,且y?
y）?
y2?
y1x2?
x1
1
2
1
2
（4）截距式方程.横截距a，纵截距b[或给点?
a,0?
，?
0,b?
]
xy
则?
?
1（a?
0且b?
0）ab
（5）一般式方程：
适合与所有条件，最后统一写成方程形式
Ax?
By?
C?
0（A2?
B2?
0）
8.两条直线的位置关系
（1）相交?
（一般式）A1B2?
A2B1?
0
A1B1
?
（一般式）?
（A2B2?
0）
A2B2
?
（斜截式）k1?
k2
（2）平行?
（一般式）A1B2?
A2B1?
0且B1C2?
C1B2?
0或A2C1?
A1C2?
0
A1B1C1
?
（一般式）?
?
（A2B2C2?
0）
A2B2C2
?
（斜截式）k1?
k2且b1?
b2
（3）重合?
（一般式）A1?
?
A2,B1?
?
B2,C1?
?
C2（?
?
0）
A1B1C1
?
（一般式）?
?
A2B2C2
?
（一般式）A1B2?
A2B1?
0且B1C2?
C1B2?
0或A2C1?
A1C2?
0?
（斜截式）k1?
k2且b1?
b2（4）垂直?
（一般式）A1A2?
B1B2?
0?
（斜截式）k1k2?
?
1
9.一般式方程Ax?
By?
C?
0（B?
0，保证斜率k存在）与斜截
AC
式方程y?
kx?
b关系：
k?
?
b?
?
BB
10.常用结论
（1）与Ax?
By?
C?
0平行的直线方程为
Ax?
By?
D?
0（D?
C）※必须写Bx?
Ay?
D?
0
（2）与Ax?
By?
C?
0垂直的直线方程为
（3）两条平行直线Ax?
By?
C1?
0与Ax?
By?
C2?
0之间的
C1?
C2
距离d?
22
A?
B
11.圆的方程
（1）标准方程：
?
x?
ay?
b?
?
r。
适用于给圆心?
a,b?
，
2
2
2
半径r的情况
（2）一般方程：
x
2
?
y2?
Dx?
Ey?
F?
0。
适用于过三点的情
2
?
DE?
况。
是圆前提：
D?
E?
4F?
0.圆心坐标?
?
?
?
.半径
?
22?
D2?
E2?
4F
r?
2
222
12.点与圆的位置关系：
点?
x,y?
.圆?
x?
ay?
b?
?
r
2
（1）点在圆上?
?
x
2
a?
y?
b?
r00
2
2
（2）点在圆内?
?
x0（3）点在圆外?
?
x0
13.直线与圆的位置关系
?
ay0?
b?
?
r2
2
2
?
ay0?
b?
?
r2
2
2
由直线l与圆C的方程联立方程组我们有如下结论：
其中d为圆心到直线的距离.14.圆与圆的位置关系
其中d为两圆圆心的距离.一、方法总结1.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判定方法主要有两种.判别式法：
联立直线与圆的方程，根据方程组的解的个数判断直线与圆的位置关系.
几何法:
计算圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小，根据两者的大小关系判断直线与圆的位置关系.
2.圆与圆的位置关系
判断圆与圆的位置关系一般用几何法，具体如下：
（1）把圆的方程化为标准方程，得到两圆的圆心和半径；
（2）计算两圆的圆心距；
（3）根据圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系.3.圆的切线
（1）求过圆C外一点P?
x0,y0?
的切线方程的方法：
设切线为y?
y0?
k?
x?
x0?
，由圆心C到切线的距离等于圆的半径
r，列方程求k，若有两解即得切线方程，若有一个解，则另一条为
x?
x0
代数法：
设切线为y?
y0?
k?
x?
x0?
，与圆的方程联立，消元，由
?
?
0求出k，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为
x?
x0.
（2）求过圆C上的一点P?
x0,y0?
的切线方程的方法：
圆心C?
a,b?
，
1
k?
?
，则切线方程为y?
y?
k?
x?
x?
.特别的，如果直线PC
kPC
的斜率不存在，则切线方程为y?
y0，如果直线PC的斜率为0，则切线方程为x?
x0.4.圆的弦长
求直线被圆所截得弦长的方法：
（1）代数法：
对于容易求出直线与圆的两个交点坐标的题目，我们可以先求出这两个交点的坐标，再求这两点间的距离.
（2）几何法：
求出弦心距d和圆的半径r，利用勾股定理来求弦长
升级会员 