2.解函数应用问题的步骤（四步八字）
（1）审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）解模：
求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：
将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
[难点正本 疑点清源]
1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
2．解决函数应用问题重点解决以下问题
（1）阅读理解、整理数据：
通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
（2）建立函数模型：
关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；
（3）求解函数模型：
主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图像的作用；
（4）回答实际问题结果：
将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．
1．某物体一天中的温度T（单位：
℃）是时间t（单位：
h）的函数：
T（t）＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．
答案 78℃
解析 T（3）＝33－3×3＋60＝78（℃）．
2．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）＝40Q－
Q2，则总利润L（Q）的最大值是________万元．
答案 2500
解析 L（Q）＝40Q－
Q2－10Q－2000
＝－
Q2＋30Q－2000
＝－
（Q－300）2＋2500
当Q＝300时，L（Q）的最大值为2500万元．
3．（2011·湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：
太贝克）与时间t（单位：
年）满足函数关系：
M（t）＝M02－
，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2（太贝克/年），则M（60）等于（ ）
A．5太贝克B．75ln2太贝克
C．150ln2太贝克D．150太贝克
答案 D
解析 ∵M′（t）＝－
M02－
·ln2，
∴M′（30）＝－
×
M0ln2＝－10ln2，∴M0＝600.
∴M（t）＝600×2－
，∴M（60）＝600×2－2＝150（太贝克）．
4．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同（设为x），则以下结论正确的是（ ）
A．x>22%
B．x<22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的产量确定
答案 B
解析 设第一年的产量为a，则a（1＋x）2＝a（1＋44%），
∴x＝20%.
5．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A．5千米处B．4千米处
C．3千米处D．2千米处
答案 A
解析 由题意得，y1＝
，y2＝k2x，其中x>0，当x＝10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1＝20，k2＝
，y1＋y2＝
＋
x≥2
＝8，当且仅当
＝
x，即x＝5时取等号，故选A.
题型一 二次函数模型
例1
某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝
－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
思维启迪：
（1）根据函数模型，建立函数解析式．
（2）求函数最值．
解
（1）每吨平均成本为
（万元）．
则
＝
＋
－48≥2
－48＝32，
当且仅当
＝
，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元．
（2）设可获得总利润为R（x）万元，
则R（x）＝40x－y＝40x－
＋48x－8000
＝－
＋88x－8000
＝－
（x－220）2＋1680（0≤x≤210）．
∵R（x）在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，
R（x）有最大值为－
（210－220）2＋1680＝1660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
探究提高 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值
．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：
若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．
某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2（0A．100台B．120台C．150台D．180台
答案 C
解析 设利润为f（x）万元，则
f（x）＝25x－（3000＋20x－0.1x2）
＝0.1x2＋5x－3000（0令f（x）≥0，得x≥150，
∴生产者不亏本时的最低产量是150台．
题型二 指数函数模型
例2
诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：
1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f（x）表示第x（x∈N*）年诺贝尔奖发放后的基金总额（1999年记为f
（1），2000年记为f
（2），…，依次类推）．
（1）用f
（1）表示f
（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；
（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：
1.03129＝1.32）
思维启迪：
从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．
解
（1）由题意知，f
（2）＝f
（1）（1＋6.24%）－
f
（1）·6.24%＝f
（1）（1＋3.12%），
f（3）＝f
（2）（1＋6.24%）－
f
（2）·6.24%
＝f
（2）（1＋3.12%）＝f
（1）（1＋3.12%）2，
∴f（x）＝19800（1＋3.12%）x－1（x∈N*）．
（2）2008年诺贝尔奖发放后基金总额为
f（10）＝19800（1＋3.12%）9＝26136，
故2009年度诺贝尔奖各项奖金为
·
f（10）·6.24%≈136（万美元），与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻
．
探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N（1＋p）x（其中N是基础数，p为增长率，x为时间）和幂函数模型y＝a（1＋x）n（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
已知某物体的温度θ（单位：
摄氏度）随时间t（单位：
分钟）的变化规律：
θ＝m·2t＋21－t（t≥0，并且m>0）．
（1）如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
（2）若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
解
（1）若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2
，
当θ＝5时，2t＋
＝
，令2t＝x≥1，则x＋
＝
，
即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝
（舍去），此时t＝1.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
（2）物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，
亦m·2t＋
≥2恒成立，亦即m≥2
恒成立．
令
＝x，则0由于x－x2≤
，∴m≥
.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是
.
题型三 分段函数模型
例3
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？
如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
思维启迪：
题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量的关系也是分段函数关系．
解
（1）当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，
则S＝200x－
＝－
x2＋400x－80000＝－
（x－400）2，
所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利．
当x＝300时，S取得最大值－5000，
所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（2）由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为
＝
①当x∈[120,144）时，
＝
x2－80x＋5040
＝
（x－120）2＋240，
所以当x＝120时，
取得最小值240.
②当x∈[144,500]时，
＝
x＋
－200≥2
－200＝200，
当且仅当
x＝
，即x＝400时，
取得最小值200.
因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．
（2011·北京）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：
分钟）为f（x）＝
（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）
A．75,25B．75,16
C．60,25D．60,16
答案 D
解析 由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为
＝15，故组装第4件产品所需时间为
＝30，解得c＝60，将c＝60代入
＝15，得A＝16.
函数建模问题
典例：
（12分）在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲
将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：
①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．
（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？
并求最大余额；
（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
审题视角
（1）认真阅读题干内容，理清数量关系．
（2）分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的．（3）建立函数模型，确定解决模型的方法．
规范解答
解 设该店月利润余额为L，
则由题设得L＝Q（P－14）×100－3600－2000，①
由销量图易得Q＝
[2分]
代入①式得
L＝
[4分]
（1）当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；
当20元，此时P＝
元．
故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．[8分]
（2）设可在n年后脱贫，
依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫．[12分]
解函数应用题的一般程序：
第一步：
审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量
关系；
第二步：
建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知
识建立相应的数学模型；
第三步：
求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：
还原——将用数学方法得到的结论还原为实际
问题的意义．
第五步：
反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，
必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
温馨提醒
（1）本题经过了三次建模：
①根据月销量图建立Q与P的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式．
（2）本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛．
（3）在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.
方法与技巧
1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；
2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．
失误与防范
1．函数模型应用不当是常见的解题错误．所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
A组 专项基础训练
（时间：
35分钟，满分：
57分）
一、选择题（每小题5分，共20分）
1.有一批材料可以围成200m长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方
围成一块矩形场地（如图），且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为（ ）
A．1000m2B．2000m2
C．2500m2D．3000m2
答案 C
解析 设围成的场地宽为xm，面积为ym2，
则y＝3x（200－4x）×
＝－4x2＋200x（0当x＝25时，ymax＝25×100＝2500.
∴围成的矩形场地的最大面积为2500m2.
2．（2011·湖北改编）里氏震级M的计算公式：
M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．（ ）
A．6 1000B．4 1000
C．6 10000D．4 10000
答案 C
解析 由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝3－（－3）＝6，∴此次地震的震级为6级．
设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lg
＝lgA1－lgA2＝（lgA1－
lgA0）－（lgA2－lgA0）＝9－5＝4.∴
＝104＝10000，∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．
3．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟后甲桶中的水只有
升，则m的值为（ ）
A．8B．10C．12D．15
答案 B
解析 由已知条件可得ae5n＝
，e5n＝
.
由aent＝
，得ent＝
，所以t＝15，m＝15－5＝10.
4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客
车营运的总利润y（单位：
10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数关系（如右图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的平均利润最大（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案 C
解析 由题图可得营运总利润y＝－（x－6）2＋11，
则营运的年平均利润
＝－x－
＋12，
∵x∈N*，∴
≤－2
＋12＝2，
当且仅当x＝
，即x＝5时取“＝”．
∴x＝5时营运的平均利润最大．
二、填空题（每小题5分，共15分）
5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt（其中k为常数，t表示时间，单位：
小时，y表示病毒个数），则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
答案 2ln2 1024
解析 当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e
k，∴k＝2ln2，
∴y＝e2tln2，当t＝5时，∴y＝e10ln2＝210＝1024.
6．某市出租车收费标准如下：
起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
答案 9
解析 设出租车行驶xkm时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.
7．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451）
答案 2037
解析 由已知条件：
14（1＋1.25%）x－2008>20，
x－2008>
＝
＝28.7，
则x>2036.7，即x＝2037.
三、解答题（共22分）
8．（10分）某种出口产品的关税税率为t，市场价格x（单位：
千元）与市场供应量p（单位：
万件）之间近似满足关系式：
p＝2（1－kt）（x－b）2，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
（1）试确定k，b的值；
（2）市场需求量q（单位：
万件）与市场价格x近似满足关系式：
q＝2－x，当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
解
（1）由已知
，
⇒
.
解得b＝5，k＝1.
（2）当p＝q时，2（1－t）（x－5）2＝2－x，
∴（1－t）（x－5）2＝－x⇒t＝1＋
＝1＋
而f（x）＝x＋
在（0,4]上单调递减，
∴当x＝4时，f（x）有最小值
，
故当x＝4时，关税税率的最大值为500%.
9．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b（a>b）．在
AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？
求出这个最大面积．
解 设四边形EFGH的面积为S，
由题意得S△AEH＝S△CFG＝
x2，
S△BEF＝S△DHG＝
（a－x）·（b－x）．
由此得S＝ab－2
＝－2x2＋（a＋b）x＝－2
2＋
.
函数的定义域为{x|0因为a>b>0，所以0.
若
≤b，即a≤3b，x＝
时面积S取得最大值
；
若
>b，即a>3b时，函数S＝－2
2＋
在（0，b]上是增函数，因此，当x＝b时，面积S取得最大值ab－b2.
综上可知，若a≤3b，当x＝
时，四边形EFGH的面积取得最大值
；若a>3b，当x＝b时，四边形EFGH的面积取得最大值ab－b2.
B组 专项能力提升
（时间：
25分钟，满分：
43分）
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：
万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：
辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（ ）
A．45.606万元B．45.6万元
C．45.56万元D．45.51万元
答案 B
解析 依题意可设甲销售x辆，则乙销售（15－x）辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2（15－x）＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15（x－10.2）2＋0.15×10.22＋30（x≥0）．∴
当x＝10时，Smax＝45.6（万元）．
2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开
源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为（ ）
A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14
答案 A
解析 由三角形相似得
＝
，得x＝
（24－y），
∴S＝xy＝－
（y－12）2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ）
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