弹簧10大模型.docx

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弹簧10大模型

弹簧”模型10大问题

太原市第十二中学姚维明

模型建构:

在我们的日常生活中，弹簧虽然形态各异,大小不同,但是从弹簧秤,机动车的减震装置,各种复位按钮和机械钟表内的动力装置等,弹簧处处在为我们服务.因为弹簧本身的特性，如弹簧弹力的方向与弹簧所处的伸缩状态有关、弹力的大小与弹簧形变量大小有关；而且，弹簧在伸缩过程中涉及的物理过程较复杂，物理概念和规律较多，如力和加速度、功和能、冲量和动量等，因此，弹簧类试题多年来深受物理命题专家的青睐。

【模型】弹簧

【特点】：

（1）一般问题中的轻弹簧是一种理想模型，不计质量。

（2）弹簧弹力不能突变，弹

力变化需要形变量变化，需要时间的积累。

（3）弹力变化：

F=kx或△F=k△x，其中F为弹力（△

F为弹力变化），k为劲度系数，x为形变量（△x为形变变化量）。

（4）弹簧可以贮存能量，弹力做功和弹性势能的关系为：

W=－△EP其中W为弹簧弹力做功，

△EP为弹性势能变化。

另外，弹性势能计算公式暂不做要求。

、轻弹簧的弹力与弹簧秤的读数问题

【典案1】如图1，四个完全相同的轻弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力F

作用，而左端的情况则各不相同：

⑴弹簧的左端固定在墙上

⑵弹簧的左端受到大小也为F的拉力作用

以l1、l2、l3、l4依次表示四条弹簧的伸长量，则有

A、l1l2B、l4l3C、l1l3D、l2=l4〖解析〗因轻弹簧自身质量不计，则轻弹簧的伸长量与轻弹簧上的弹力大小成正比，因为四种状态中轻弹簧的弹力均为F，故四种状态轻弹簧的伸长量相同；选D

【体验1】如图2，四个完全相同的弹簧秤都处于水平位置，它们的右端受到大小相等的拉力F

作用，而左端的情况则各不相同：

⑴弹簧秤的左端固定在墙上

的拉力

⑵弹簧秤的左端受到大小也为F作用

⑶弹簧秤的左端拴一小物块块在光滑的水平面上滑动

⑷弹簧秤的左端拴一个小物块m1，物块在粗糙的水平面上滑动

以l1、l2、l3、l4依次表示四条弹簧的伸长量，则有

A、l1=l2B、l4=l3C、l1l3D、l2=l4

〖解析〗弹簧秤的读数取决于弹簧的伸长量，而弹簧秤自身有质量，前两种情况弹簧秤处于平衡状态，则弹簧的伸长量相同，则读数相同；后两种情况弹簧秤处于加速状态，则弹簧上的弹力不等

于F，则读数不同。

对⑶设弹簧秤自身质量也为m2，则有弹簧秤的读数为F'm1am1F对

m1m2

⑷设物块所受的滑动摩擦力为F，弹簧秤自身质量为m2,弹簧秤的拉力为F',物块与弹簧秤的共同

FfFm1fm2

加速度为a，则弹簧秤的读数为F'm1af12,因此，应选A、Cm1m2m1m2

而当弹簧秤自身有质量

点评】轻弹簧的伸长量或弹簧秤的读数只与弹簧上的弹力大小成正比，时，弹簧秤的读数与作用在弹簧秤钮上的力没有直关系。

二、弹簧与绳子约束问题的区别

【典案2】

（1）如图3所示，物体的质量为m，L2为质量不计的轻弹簧，一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为，L1为一水平绳，现将L1剪断，求剪断瞬间物体的加速度与弹簧的弹力。

〖解析〗设L1的拉力为T1，弹簧的拉力为T2，重力为mg，物体在三个力的作用下保持平衡，沿着水平竖直方向建立直角坐标系。

则：

T2cosmg，T2sinT1

T1mgtan

剪断线的瞬间，T1消失，而弹簧的长度L2未及发生变化，T2的大小和方向都不变，物体即在T1反方向获得加速度。

因为mgtanma

所以瞬时物体加速度：

agtan，方向水平向右。

瞬时弹簧的弹力：

T2mg方向沿弹簧向上。

cos

【点评】弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。

L1剪断，求剪断瞬间物体的加速

2）如果把案例2中的弹簧换成细绳子，其它条件不变，将

度和绳子的张力。

T2mgcos

瞬时绳子的张力：

T2mgcos方向沿绳子向上。

解得瞬时物体的加速度：

agsin方向为切向。

点评】弹簧发生渐变，所以瞬时弹簧弹力“来不及变化”

。

绳子发生突变，瞬时张力“突然发生

变化”，它们有质的变化。

因此要具体问题，具体处理。

比较上面的两典案可以发现：

弹簧与绳子的

加速度、拉力大小方向都发生了变化。

【体验2】A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为k的弹簧相连，一长为l1的细线与m1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO/上，如图7所示，当m1与m2均以角

速度ω绕OO/做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2。

求：

（1）此时弹簧伸长量多大？

绳子张力多大？

（2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？

〖解析〗

（1）m2只受弹簧弹力，设弹簧伸长Δl，满足2

kΔl=m2ω2（l1＋l2）∴弹簧伸长量Δl=m2ω2（l1＋l2）/k对m1，受绳拉力T和弹簧弹力F做匀速圆周运动，满足：

T－F=m1ω2l1绳子拉力T=m1ω2l1＋m2ω2（l1＋l2）

（2）线烧断瞬间

2

A球加速度a1=F/m1=m2ω2（l1＋l2）/m1

2

B球加速度a2=F/m2=ω2（l1＋l2）

三、静态平衡下的弹簧问题

【典案3】一个重为G的小圆环套在一个竖直放置的半径为R的光滑圆环上,小圆环由一根劲度

系数为k,自然长度为L（L<2R）的轻弹簧系着,轻弹簧的另一端固定在大圆环的最高点,如图8所示,当小

圆环静止时,轻弹簧与竖直方向的夹角为多少?

〖解析〗选小环为研究对象,它受到重力G，弹簧拉力T和大环支持力N，由于小环处于平衡状态，所以T、N、G组成一个封闭的三角

图8

形，根据数学知识可以看出三角形AOB跟力三角形TNG相似，得GR

T2Rcos

Tkxk（2RcosL）

轻弹簧与竖直方向的夹角为cso1kL

2（KRG）

点评】这类问题一般形式比较单一，通常用胡克定律F=kx和数学知识求解

【体验3】如图9所示S1和S2表示劲度系数分别为k1和k2的两根弹簧，k1>k2。

a和b表示质量分别为ma和mb的两个物块，ma>mb，将弹簧与物块按如图所示方式悬挂起来。

现要求两根弹簧

的总长度最大，则应使：

（）

A．S1在上，a在上

B．S1在上，b在上

C．S2在上，a在上

D．S2在上，b在上

［解析］上面弹簧弹力是确定的，等于ab两物体的重力要使上面的伸长量大，应使劲度系数小的在上，即S2在上面

要使下面伸长量大，应让质量大的物体在下面，即a物体在下面

正确答案D

【点评】本题是根据胡克定律解题的，由F=kx知要使形变量x最大，则必有

F最大或k最小。

四、动态平衡涉及到的弹簧问题

m1

k1

m2

K2

【典案4】如图10所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。

现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面，在此过程中物块2的重力势能增加了多少？

物块1的重力势能增加了多少？

〖解析〗本题中有两个关键性词语应予重视，“轻质”弹簧——即不计弹簧质量；“缓慢地”竖直上提，系统动能无变化，且上提过程中，系统受合力始终为零。

原先，系统平衡时，k1压缩x1=m1g/k1

k2压缩x2=（m1+m2）g/k2

后来，k2下端刚脱离地面时，k2没形变，此时k1弹簧伸长x1′=m2g/k1

图10

故物块2的重力势能增加Ep2=m2gx2=（m1+m2）m2g2/k2

2

物块1的重力势能增加Ep1=m1g（x1+x2+x1′）=m（1m1+m2）g（1/k1+1/k2）

〖体验4〗如图11所示，两个木块质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块，直到

k2

解析：

对弹簧2分析：

△F=m2g，所以△x=F=m2g，故选DKK

同静态平衡

【点评】因“缓慢”上提木块，故整个装置在上提过程中是处于一种动态平衡过程中，

一样，涉及到的知识是胡克定律，一般用F=kx或△F=k?

△x来求解。

五、变速运动中的弹簧问题弹簧连续形变其弹力为变力，在弹簧作用下的运动一般是加速度变化的变速运动，简谐运动只是其中的一种。

如果连接弹簧的物体做匀变速，必有变化的外力作用，要注意变化的外力存在极值问题。

【典案5】如图12所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中

A．升降机的速度不断减小

B．升降机的加速度不断变大C．先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功D．到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值

〖解析〗在一般的习题集中，本题常见形式是一个球从高处下落到一支竖在地面上的弹簧的顶端（图12）。

升降机下落到弹簧下端触地后，就相当于球下落到直立的弹簧上，弄清图9中的小球

下落情况，也就明白了图12中升降机的运动情况，为了说明图13中小球接触弹簧后的运动，我们

把球接触弹簧后的运动划分成三个点和三个点之间的两个阶段来研究，这三个点就是接触点、平衡点和最低点。

从接触点到平衡点，小球所受的重力大于弹力，加速度逐渐减小，速度逐渐增大，重力的功大于弹力的功，动能逐渐增大，重力势能逐减少，弹性势能逐渐增大；从平衡点到最低点，小球所受的弹力大于重力，加速度逐渐增大，速度逐渐减小，重力的功小于弹力的负功，动能逐渐减少，重力势能逐渐减少，弹性势能逐渐增大。

在本例中，对于选项（D），可以用弹簧振子的一个

知识点来分析，把小球接触弹簧后的运动看作简谐运动，那么最低点是简谐运动的一个端点，而接触点不是端点，接触点位置有速度，由于简谐运动过程中速度小处加速度大，接触点处的加速度为g，所以最低点处（端点）的加速度就大于g。

【点评】运用对称性解决简谐运动问题，是最有效的方法。

要特别注意简谐运动回复力、加速度、位移的对称性。

【体验5】如图14所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定与杆上，小球处于平衡状态，设拔除销钉

M的瞬间，小球加速度的大小为

2m/s）

A．22m/s2,方向竖直向上

C．2m/s2,方向竖直向上

12m/s

2，若不拔除销钉M而拔除销钉N瞬间，小球的加速度可能是（g=10

2

．22m/s2,方向竖直向下

．2m/s2,方向竖直向下自身的重力、弹簧

簧2的拉力（或推力），这三个力的合力为零。

拔去销钉M，弹簧1的一端失去了“依靠”

〖解析〗拔去销钉之前，小球受到三个力的作用

1的拉力（或推力）、弹

，另一端FM

也就“使不出力”了，即弹簧1对小球的作用力消失，弹簧2的作用力暂时FN

不变。

拔去销钉M的瞬间，小球的加速度为12m/s2，其方向有两种可能，一种是方向向上，另一种是方向向下。

（1）若方向向上，则拔去M之前，球的受力如图甲所示，若拔去销钉N，则F合=FM+mg=ma1，a1=22m/s2，方向向下。

（2）若方向向下，则拔去M之前，球的受力如图乙所示，若拔去

销钉N，则F合=FM－mg=ma2，a2=2m/s2，方向向上。

【点评】弹簧所处的状态不同如拉伸、压缩时，弹力的方向也不相同题要明白弹簧可能所处的不同的状态就容易得出答案：

B、C

mg

FM

15

mg

FN

乙

六、瞬时作用涉及到的弹簧问题

【典案6】质量相同的A、B两球，由弹簧连接后，挂在天花板上，如图16所示，aA、

aB分别表示A、B两球的加速度，则（）

A.在c处剪断瞬间

aA2g,aB0

B.在c处剪断瞬间

aAaBg

图16

17

C.在d处剪断瞬间

aA0,aBg

D.在d处剪断瞬间

aAg,aBg

〖解析〗剪断前，A、B两球的受力情况如图

在c处剪断的瞬间，T1变为零，由于A、B间弹簧的弹力不能发生突变，仍保持原来的大小、方向不变，由牛顿第二定律的瞬时性特征知，aB=0，aA=2g

在d处剪断的瞬间，同理可得T1不变，T2变为零，故aB=gaA=-g故选AD项。

因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。

因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小和方向不变，即弹簧的弹力瞬间不突变。

〖体验6〗如图18所示，木块A与B用一轻弹簧相连，竖直放在木块C上，

A、B、C的质量之比是1∶2∶3．设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C的瞬时，木块A和B的加速度分别是aA=，aB=

A、B、C的质量分别为抽出木块C前，木块A受到重力和弹力一对平衡力，A受到重力和弹力的大小和方向均没变，故木块A的

17所示

图18

三者静置于地面，

〖解析〗由题意可设

以木块A为研究对象，抽出木块C的瞬时，木块瞬时加速度为0

以木块AB为研究对象，由平衡条件可知，木块C对木块B的作用力FcB=3mg以木块B为研究对象，木块B受到重力、弹力和FcB三力平衡，抽出木块C的瞬时，木块B受到重力和弹力的大小和方向均没变，FcB瞬时变为0，故木块C的瞬时合外力为竖直向下的3mg。

瞬时加速度为1.5g

说明区别不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变

m、2m、3m

七、临界状态中涉及到的弹簧问题

典案7】如图19所示，A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A、B质量分别为0.42kg

和0.40kg，弹簧的劲度系数k=100N/m，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10m/s2）

（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值

（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹

性势能减少了0.248J，求这一过程F对木块做的功

〖解析〗此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力N=0时,恰好分离.

当F=0（即不加竖直向上F力时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有

即=（mA+mB）g①

kx=（mA+mB）g即x=①

k

对A施加F力，分析A、B受力如右图所示

对AF+N-mAg=mAa②

图

对Bkx'-N-mBg=mBa

可知，当N≠0时，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A匀加速运动，随N减小F增大.当N=0时，F取得了最大值Fm,

即Fm=mA（g+a）=4.41N

又当N=0时，A、B开始分离，由③式知，

此时，弹簧压缩量kx'=mB（a+g）x'=mB（a+g）④

k

2

AB共同速度v2=2a（x-x'）⑤

由题知，此过程弹性势能减少了WP=EP=0.248J

设F力功WF，对这一过程应用功能原理

12

WF=2（mA+mB）v2+（mA+mB）g（x-x'）-Ep⑥

联立①④⑤⑥，且注意到EP=0.248J可知，WF=9.64×10-2J

体验7】一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平

板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。

如图21所示。

现让木板由静止开始以加速度a（a

向下移动。

求经过多长时间木板开始与物体分离。

〖解析〗设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。

据牛顿第二定律有：

mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma

m（ga）

当N=0时，物体与平板分离，所以此时x

k

因为x12at2

，所以t

2m（ga）

ka

a

图21

点评】相互接触的物体间可能存在弹力的相互作用，对于面接触的物体，在接触面间弹力变为零时，它们将要分离。

八、简谐运动涉及到的弹簧问题

典案8】两块质量分别为m1和m2的木块，用一根劲度系数为k的轻弹簧连在一起，现在m1

上施加压力F，如图22所示．为了使撤去F后m1跳起时能带起m2，则所加压力F应多大？

〖解析〗m2恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长x2，且kx2=m2g和

m1速度为零．

根据简谐振动的对称性求解：

m2不离开地面，m1做简谐振动，则振幅：

Ax1x0x2x0x1x22x0m2g2m1g

kk加压力F时Fm1gkx1所以人Fkx1m1g（m1m2）g

点评】物体与弹簧组成的系统做简谐运动时，具有明显的对称性，这类题一般用对称性求解，会简单的多。

【体验8】如图23所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中：

（）

A.升降机的速度不断减小

B.升降机的加速度不断变大

C.先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功

D.到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值

〖解析〗升降机从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动可以转化为熟悉的弹簧振子，其平衡位置是重力与弹力相平衡的时刻。

升降机的弹簧从触地到平衡位置之前，加速度是在不断减小，速度不断增大，故选项A、B不正确。

弹簧下端触地后，升降机先加速后减速，加速度先减小后增大。

达到平衡位置之前，重力大于弹力，所以重力做正功大于弹力做的负功；过了平衡位置，弹力大于重力，所以重力做正功小于弹力做的负功。

选项C正确。

对于选项D，可以设想有一轻弹簧竖直在水平地面上，将一小球无初速度放于弹簧上，可以证明小球的运动为简谐运动。

由简谐运动的对称性知小球在最低点加速度的值等于在最高点的值。

若小球以一定速度落在弹簧上，在最低点加速度的值必大于重力加速度的值。

故选项D正确。

答案：

CD

〖点评〗简谐运动的对称性在弹簧问题的运动上有广泛的应用，因此在解决有关于位移、速度、加速度及力的变化时，经常用到。

九、弹簧做功与动量、能量的综合问题

典案9】如图24中，轻弹簧的一端固定，另一端与

碰前），由功能关系，有

滑块B相连，B静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。

另一质量与B相同滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑过距离L1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。

已知最后A恰好返

回出发点P并停止。

滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为L2，求A从P出发时的初速度υ0。

解析〗设A、B质量均为m，A刚接触B时速度为v1

1mv021mv12mgL1

22

A、B碰撞过程中动量守恒，设碰后A、B共同运动的速度为v2.有

mv12mv2②

碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速

度为v3，在这过程中，弹簧弹性势能始末两态都为零，利用功能关系，有

1212

（2m）v22（2m）v32（2m）g（2L2）③

22

此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有

12

mv3mgL1④

2

由以上各式，解得v0g（10L116L2）⑤

【点评】弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系。

它有机地将动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化结合在一起，能力要求较高，分析这类问题时，要耐心细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。

弹力做功是一个“变力”做功的问题，在中学物理中，“变力”做功应用动能定理来解答，弹性势能在中学物理中没有定义式，在求其值的时候，必须应用能量守恒的原理来求，对于较综合的题型，

虽然先后涉及到几个较复杂的过程，但往往会出现先后二个状态弹簧的形变情况一样，这就意味着

图25

先后二个状态弹簧的弹性势能一样，对此必须引起足够的重视。

【体验9】如图25所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。

一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连

一轻挂钩。

开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。

现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能

使B离开地面但不继续上升。

若将C换成另一质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？

已知重力加速度为g。

〖解析〗先后两个状态都讲到B刚要离开地面，即弹簧的弹力都等于m2g，即先后讲到的B要

离开地面的两个状态对应的弹簧

弹性势能相等，由于初态的弹性势能一样，可见弹性势能的改变量E相等。

初态：

弹簧的压缩量x1=m1g/k

B刚要离开地面时弹簧的伸长量x2=m2g/k2

第一过程E=m3g（x1+x2）－m1g（x1+x2）

第二过程E=（m1+m3）g（x1+x2）－m1g（x1+x2）－（m1+m3）v－m1v

解得：

v2m1（m1m2）g2

2m1m2k

【点评】弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量。

弹簧的弹力做功是变力做功，求解一般