人教版初二数学上册知识点归纳.docx
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人教版初二数学上册知识点归纳
人教版初二数学上册
因式分解
1.因式分解：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：
因式分解与乘法是相反的两个转化•
2•因式分解的方法：
常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.
3•公因式的确定：
系数的最大公约数•相同因式的最低次幕.
注意公式：
a+b=b+a；a-b=-（b-a）;（a-b）2=（b-a）2；（a-b）3=-（b-a）3.
4•因式分解的公式：
（1）平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）;
⑵完全平方公式：
a2+2ab+b2=（a+b）2,a2-2ab+b2=（a-b）2.
5•因式分解的注意事项：
（1）选择因式分解方法的一般次序是：
一提取、二公式、三分组、四十字;
（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；
（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；
（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；
（5）因式分解的最后结果要求加以整理；
（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.
6•因式分解的解题技巧：
（1）换位整理，加括号或去括号整理；
（2）提负号;
（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7•完全平方式：
能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式
x2+px+q,有“x2+px+q是完全平方式二2”.
分式
A
1•分式：
一般地，用A、B表示两个整式，A-B就可以表示为B的形式，如
A
果B中含有字母，式子B叫做分式.
2.有理式：
整式与分式统称有理式；即
3.对于分式的两个重要判断：
（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；
（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：
若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.
4.分式的基本性质与应用：
（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
2）注意：
在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
一分子一分子分子分子
即一分母分母一分母分母
（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单5•分式的约分：
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：
分式约分前经常需要先因式分解•
6.最简分式：
一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：
分式计算的最后结果要求化为最简分式•
7.
13.含有字母系数的一元一次方程：
在方程ax+b=0（a^0）中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：
在字母方程中，一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.
14.公式变形：
把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意:
公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：
字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.
15.分式方程：
分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：
以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.
16.分式方程的增根：
在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：
在解方程
时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根•
17.分式方程验增根的方法：
把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：
由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根•
18•分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序•
数的开方
1•平方根的定义：
若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：
（1）a叫x的平方数，
（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.
2•平方根的性质：
（1）正数的平方根是一对相反数；
（2）0的平方根还是0；
（3）负数没有平方根.
3•平方根的表示方法：
a的平方根表示为a和“a.注意：
a可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.
4•算术平方根：
正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为".注意：
0的算术平方根还是0.
5•三个重要非负数：
a2>0,|a|>0，a>0.注意：
非负数之和为0,说明它们都是0.
6.两个重要公式：
（1）a=a;（a>0）
厂^a（a色0）
va=a=丿
（2）,-a（a£0）
7.立方根的定义：
若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意:
（1）a叫x的立方数；
（2）a的立方根表示为3a;即把a开三次方.
8.立方根的性质：
（1）正数的立方根是一个正数；
（2）0的立方根还是0；
（3）负数的立方根是一个负数.
9.立方根的特性：
—=缶.
10.无理数：
无限不循环小数叫做无理数.注意：
二和开方开不尽的数是无理数.
11.实数：
有理数和无理数统称实数.
正有理数］有理数20
实数*
'有限小数与无限循环小数
负有理数正无理数：
负无理数:
无限不循环小数
正实数
实数丿0
负实数
13.数轴的性质：
数轴上的点与实数对应.
14.无理数的近似值：
实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.
注意：
（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；
（2）要求记忆：
1.414
一3=1.732一5=2.236
三角形
几何A级概念：
（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1.三角形的角平分线定义：
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
（如图）
BDC
几何表达式举例：
（1）tAD平分/BAC•••/BAD=/CAD
（2）vZBAD=/CAD
•••AD是角平分线
2.三角形的中线定义：
在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.
（如图）
A
zA
BDC
几何表达式举例：
（1）vAD是三角形的中线
•••BD=CD
（2）vBD=CD
•••AD是三角形的中线
3.三角形的高线定义：
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.
（如图）
A
BDC
几何表达式举例：
（1）vAD是AABC的高•••ZADB=90°
（2）vZADB=90°
•AD是AABC的高
探4.三角形的三边关系定理：
三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）
A
△
BC
几何表达式举例：
（1）vAB+BC>AC
（2）vAB-BCvAC
5•等腰三角形的定义：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形•（如图）
A
△
几何表达式举例：
（1）vAABC是等腰三角形
•••AB=AC
（2）vAB=AC
•••AABC是等腰三角形
6•等边三角形的定义：
几何表达式举例：
有三条边相等的三角形叫做等边三
A
（1）vAABC是等边三角形
角形•（如图）
A
•••AB=BC=AC
（2）vAB=BC=AC
•••AABC是等边三角形
7•三角形的内角和定理及推论：
几何表达式举例：
（1）三角形的内角和180°;（如图）
（1）vZA+/B+/C=180°
（2）直角三角形的两个锐角互余；
（如图）
（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角
（2）vZC=90°
的和；（如图）
-
•ZA+ZB=90°
探（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻
（3）vZACD=ZA+ZB
的内角.
•
•
AA
A
（4）vZACD>ZA
（1B）'c
（2）B/
/
~（3丿Cl4丿D
8•直角三角形的定义：
几何表达式举例：
有一个角是直角的三角形叫直角
A
*
（1）vZC=90°
三角形.（如图）
-
•AABC是直角三角形
1
、
（2）vAABC是直角三角形
C
B
•ZC=90°
9•等腰直角三角形的定义：
几何表达式举例：
两条直角边相等的直角三角形叫
（1）vZC=90°CA=CB
等腰直角三角形.（如图）
A
-
•AABC是等腰直角三角形
1
\
（2）vAABC是等腰直角三角形
C
B
-
•ZC=90°CA=CB
10.全等三角形的性质：
几何表达式举例：
（1）全等三角形的对应边相等；（如图）
（1）vAABCAEFG
（2）全等三角形的对应角相等.（如图）
-
•AB=EF
（2）vAABC也AEFG
A
E
•ZA=ZE
厶厶
BF
11.全等三角形的判定：
r几何表达式举例：
“SAS”“ASA”“AAS”“SSS'“HL
”.（如图）
（1）vAB=EF
AE
厶厶
AE
KbKf
（1）
（2）
（3）
•••/B=/F
又•••BC=FG
•••△ABCAEFG
（2）
⑶在RtAABC和RtAEFG中
•••AB=EF
v--Ar-匚c
RtAABC也RtAEFG
12.角平分线的性质定理及逆定理：
（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）
（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上•（如图）
A
几何表达式举例：
（1）VOC平分/AOB
又TCD丄OACE丄OB
•••CD=CE
（2）vCD丄OACE丄OB又vCD=CE
B
OC是角平分线
13.线段垂直平分线的定义：
垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）
丄
几何表达式举例：
（1）VEF垂直平分AB•••EF丄ABOA=OB
十
（2丿
•EF丄ABOA=OB
EF是AB的垂直平分线
14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理：
（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；
（如图）
（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）
本
几何表达式举例：
（1）vMN是线段AB的垂直平分线
•••PA=PB
（2）vPA=PB
•••点P在线段AB的垂直平分线上
arCB
N
15.等腰三角形的性质定理及推论：
（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）
（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一；（如图）
（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）
几何表达式举例：
（1）VAB=AC
•/B=ZC
（2）vAB=AC
又v/BAD=/CAD
•BD=CD
AD丄BC
（3）vAABC是等边三角形
•/A=/B=/C=60°
AA
A
\c
BC（i）
（2）—
（3）
16.等腰三角形的判定定理及推论：
（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）
（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30,那么它
所对的直角边是斜边的一半•（如图）
A
A△K
几何表达式举例：
（1）vZB=ZC
•••AB=AC
（2）vZA=ZB=ZC
•••△ABC是等边三角形
（3）vZA=60°又vAB=AC
•••△ABC是等边三角形
（4）vZC=90°Z
B=30°
1
BC
（1）B
（2）（3）C
B（4）
•••AC=2AB
17.关于轴对称的定理
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）
M
E
几何表达式举例：
（1）v△ABC、△EGF关于MN轴对称
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）
•△ABC也△EGF
（2）vAABC、△EGF关于MN轴对称
•OA=OEMN丄AE
B
N
18.勾股定理及逆定理：
（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2;（如图）
（2）如果三角形的三边长有下面关系：
a2+b2=c2,那么这个三角形
A
K
几何表达式举例：
（1）vAABC是直角三角形
•a2+b2=c2
（2）va2+b2=c2
•AABC是直角三角形
是直角三角形•（如图）
CB
19.Rt△斜边中线定理及逆定理：
（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）
（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形•（如图）
A
k
几何表达式举例：
vAABC是直角三角形
vD是AB的中点
•CD=2AB
CB
（2）vCD=AD=BD
•AABC是直角三角形
几何B级概念：
（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数•
二常识：
1•三角形中，第三边长的判断：
另两边之差V第三边V另两边之和•
2•三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外•注意：
三角形的角平分线、中线、高线都是线段•
CD•AB=BE•CA.
4•三角形能否成立的条件是：
最长边V另两边之和.a
5•直角三角形能否成立的条件是：
最长边的平方等于另两边的平方和.八
6•分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.「E
BC
7•如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：
A
（1）AC•CB=CD•AB;
（2）z仁/B，Z2=ZA.
8•三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.C2_
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3•如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：
若CD丄AB，BE丄CA，则
9•全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.
10•等边三角形是特殊的等腰三角形.
11•几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.
12.符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.
13•几何习题经常用四种方法进行分析：
（1）分析综合法；
（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.
14.几何基本作图分为：
（1）作线段等于已知线段；
（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.
15.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS'、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.
16.作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：
每步作图都应该是几何基本作图.
17.几何画图的类型：
（1）估画图；
（2）工具画图；（3）尺规画图.探18.几何重要图形和辅助线：
（1）选取和作辅助线的原则：
1构造特殊图形，使可用的定理增加；
2一举多得；
3聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；
4作辅助线必须符合几何基本作图.
（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）
1在BA上截取BE=BC构造全等,转移线段和角；
A
/1
2过D点作DE//BC交AB于E，构造等腰三角形.
（5）其它
④多边形转化为三角形；
A
D
⑤延长BC到D，使
CD=BC，连结AD，直角
三角形转化为等腰三角
作等边三角形ABC一边的平行线DE，构造新的等边三角形；
②作CE//AB，转移角;
3延长BD与AC交于E,不规则图形转化为规则图形；
A
⑥若a/b,AC,BC是角平分线，则/C=90°.
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