高三临门一脚理科数学试题 含答案.docx

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高三临门一脚理科数学试题含答案

2021年高三临门一脚理科数学试题含答案

一、选择题:

本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合,

，则图中的阴影部分表示的集合为

A．B．C．D．

2.复数（i是虚数单位）的共轭复数是

A．B．C．D．

3.是等差数列，“a1＜a3”是“an＜an+1”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4.已知平面向量，，，则

A．B.C．D.

5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是

A．B．C．D．

6.已知为第二象限角，，则

A．B．C．D．

7.平面直角坐标系上有两个定点和动点，如果直线和的斜率之积为定值

，则点的轨迹不可能是（下列轨迹的一部分）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

8.定义域为R的函数f（x）=

，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有5个不

同的实数解x1,x2,x3,x4,x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于

A．lg2B．2lg2C．3lg2D．4lg2

二、填空题（本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分．每小题5分,满分30分）

（一）必做题:

第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答．

9．的展开式中的系数等于8，则实数_________．

10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几

何体的体积为_____________．

11．_____________．

12.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．

13．定义max{a,b}=，设实数x,y满足约束条件，z=max{4x+y，3x-y}，则z的取值范围是　　　　　　　　．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，则曲线：

（为参数）的极坐标方程是_________.

15.（几何证明选讲选做题）如图,已知:

△内接于圆，点在的延长线上，是圆的切线，若,,则的长为.

三、解答题：

本大题共有6个小题，共80分，要求写出推演过程．

16．（本小题满分12分）

已知：

（1）求函数的值域和最小正周期；

（2）写出的单调递增区间．

17．（本小题满分12分）小明家订了一份报纸，

寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，

并绘制成频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）根据图中的数据信息，写出众数；

（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间在上午

之间，而送报人每天在时刻

前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达

的可能性相等）．

①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸

（称为事件）的概率；

②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸

的天数的数学期望．

18.（本小题满分14分）如图，是直二面角，四边形为菱形，

且，，，是的中点，设与平面所成的角为.

（1）求证：

平面；

（2）试问在线段（不包括端点）上是否存在一点，使得二面角的大小为？

若存在，

请求出的长，若不存在，请说明理由.

19．（本小题满分14分）已知数列的前n项和满足，且，，成等差数列．

（1）求；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：

．

20、（本小题满分14分）已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为k，为坐标原点．

（1）若抛物线的焦点在直线的下方，求k的取值范围；

（2）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值．

21、已知函数

（1）　当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）　如果函数,在公共定义域上，满足，

那么就称为的“活动函数”．

已知函数

.

①若在区间上，函数是的“活动函数”，求的取值范围；

②当时，求证：

在区间上，函数的“活动函数”有无穷多个．

湛江一中xx届高三5月数学（理科）综合测试

参考答案及评分标准

一、选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

C

C

D

A

A

D

C

二、填空题：

本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

9．；10．；11．；12．；13.14．；15.

2、解析:

，则答案：

C

3、解析:

a1＜a3,

答案：

C

4、解析:

，

选D

5、解析:

对于，而对于，则

，后面是，

不符合条件时输出的.

6、解析：

，两边平方可得

是第二象限角，因此，

所以

7、解析:

以AB的中点为原点，AB的所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设

则，整理可得，

所以点的轨迹不可能是抛物线。

答案：

D

8、解：

因方程方程恰有5个不同的实数解，故x=2应是其中的一

个根，又f

（2）＝1，故1+b+c=0⇒c=－（b+1）,于是有，⇒

[f（x）－1][f（x）+（1+b）]=0⇒[lg|x－2|－1][lg|x－2|+（1+b）]=0⇒四个根为－8，

12，⇒＝f（10）＝3lg2,选C.

9、中含的一项为，令，则，即．量

10、解析：

三视图为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面

圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为．

11..解析:

．量

12、设三边为，则可得所对的边最大，

由余弦定理得。

13．当时，，此时约束条件为，

得，当时，，同理得，即

14、解析：

先将曲线的参数方程化为直角坐标方程：

，从而有，即.

15、解析：

∵AD是圆O的切线，∠B=30°∴∠DAC=30°，∴∠OAC=60°，

∴△AOC是一个等边三角形，∴OA=OC=2，在直角三角形AOD中，

OD=2AO=4，故答案为：

4．

16、解：

………4分

（1）函数的值域为[，4]………6分;

函数f（x）的最小正周期………8分；

（2）∵………10分

∴；

∴的单调递增区间为（）………12分；

17、解：

（1）众数是频率分布直方图中频率最高的时间段的中点，

所以……2分

（2）①设报纸送达时间为，则小明父亲上班前能取到报纸

等价于，………………4分

如图可知，

事件A对应的区域为图中阴影梯形AECD，所有基本事件

对应区域为矩形ABCD，……………….......................5分

，………………..........................6分

所求事件A的概率为………………..................................…8分

②服从二项分布......……………...............................................…10分

故（天）…………………...................................................…12分

18、证明：

是直二面角，平面PAD平面ABCD=AD又,

-………………..........................…2分

……………….................................…3分

连接AC

…………………..........................................................4分

又,

............................................................................................6分

（2）法一（几何法）：

假设存在，

由

（1）知,过点A作

由三垂线定理知.......................................................................8分

为二面角的平面角为45°................................................9分

等腰中,等边，

中，令....................10分

由等面积法，知...................12分

解得所以不存在这样点P....................14分

法二（向量法）：

由

（1）知，两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为轴建立空间直角坐标系A-xyz...................7分

知为与平面所成角

...................8分

设（...................9分

设平面的一个法向量为

平面的一个法向量...................11分

.................12分

解得

所以不存在这样点P....................14分

19、解：

（1）由，得，

，………1分

∵，，成等差数列，.∴

………2分

解得………3分

（2）当，，两式相减得

，即………4分

………5分

又，………6分

是以为首项，2为公比的等比数列。

………7分

即　………8分

（3）证明：

………9分

………10分

…11分

………13分

………14分

20、

（1）解：

抛物线的焦点为.………1分

由题意，得直线的方程为，………………2分

令，得，即直线与y轴相交于点.……………3分

因为抛物线的焦点在直线的下方，

所以，

解得.………………5分

（2）解：

由题意，设，，，

联立方程消去，得，

由韦达定理，得，所以.………………7分

同理，得的方程为，.………………8分

对函数求导，得，

所以抛物线在点处的切线斜率为，

所以切线的方程为，即.…………9分

同理，抛物线在点处的切线的方程为.…………10分

联立两条切线的方程

解得，，

所以点的坐标为.……………11分

因此点在定直线上.…………12分

因为点到直线的距离，

所以，当且仅当点时等号成立．……………13分

由，得，验证知符合题意.

所以当时，有最小值.…………14分

21、解：

（1）当时，，；1分

对于，有，∴在区间上为增函数，

∴

.3分

（2）①在区间上，函数是的“活动函数”，

则

令

，对恒成立，

且

，对恒成立5分

∵

（*）

1）若，令，得极值点，，

当，即时，在（，+∞）上有，

此时在区间（，+∞）上是增函数，并且在该区间上有

∈（，+∞），不合题意；

当，即时，同理可知，在区间（1，+∞）上，有

∈（，+∞），也不合题意；7分

2）若，则有，此时在区间（1，+∞）上恒有，从而在区间上是减函数；

要使在此区间上恒成立，只须满足，

所以.9分

又因为,在上为减函数，

，所以，综合可知的范围是[,].12分

另解：

（接在（*）号后）先考虑,,

在递减，只要,得，解得.8分

而

对且有.

只要,，解得,所以..12分

②当时，

，

则.

因为，在为增函数，

所以.

设,则,所以在区间上，函数的“活动函数”有无穷多个.

其他如

等也可以.14分:

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