大一下高等数学知识点.docx
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大一下高等数学知识点
高等数学A2知识点
【注意】不考试的知识点：
带*号的（除球面坐标系、比值审敛法），二次曲面，斯托克斯公式，
函数的幂级数展开式的应用，一般周期函数的傅立叶级数，物理应用部分，
一、概念与定义
1、数量积、向量积及坐标表示（向量的位置关系）；
2、柱面，旋转曲面的方程形式及常见曲面画图，平面，直线的方程及其位置关系，平面束；
曲面、曲线、实体在坐标平面上的投影
3、偏导数定义及判定一点可导的定义方法；
4、偏导、连续、全微分的关系，方向导数与梯度；
5、极值、条件极值，最值和驻点.及拉格朗日乘数法；
6、七类积分的关系，格林公式、高斯公式；
7、级数的定义，等比级数的和，级数收敛的必要条件，常见级数的敛散性及判定方法。
二、计算
1、求极限
（1）二元函数求极限：
代入法、两类特殊极限、无穷小性质等
（2）极限不存在的判断：
取不同的路径
2、求偏导数或全微分
（1）定义——在某一点可导，常见于分段函数
（2）一个变量为常数，按一元函数求导法则计算，对于指定点的偏导可以先代入一个变量再求；（3）多元复合函数求导——链式法则；
（4）隐函数（方程与方程组）求导及其高阶导数——不要记公式，理解方法；
（5）抽象函数求导及其高阶导数——注意符号；
z
zxx
zy
y
（6）求（指定点）全微分或判断是否可微——用定义lim
2
0
0
y
2
x
3、求重积分（画图）
（1）二重积分—坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积函数特点定】，积分次序的交换；
（2）三重积分—坐标系以及区域类型的选择【由区域和被积函数特点定】；
（3）对称性区域上奇、偶函数的积分以及对1积分时的计算。
4、求曲线、面积分（画图）
“一代、二换、三定限”
（1）代入参数方程或zfx,y；不同的积分换的公式不同；
（2）定限或定区域的时候注意方向性【第二类】及定限规则（3）格林公式、高斯公式的应用——验证条件并灵活使用；
（4）对称性区域上奇、偶函数的积分以及对1积分时的计算。
5、无穷级数
（1）数项级数审敛；
（2）幂级数收敛域与和函数，函数展开成幂级数；
（3）傅立叶级数的收敛情况——Dirichlet定理的结论
三、应用
1、偏导数的几何应用——空间曲线的切线和法平面、空间曲面的切平面和法线、方向导数与梯
度。
2、偏导数求极值以及条件极值、最值；
3、重积分、曲线、面的几何应用——平面区域的面积、空间曲面的面积，曲顶柱体的体积；
四、证明
1、极限不存在、连续性、可导、可微；
2、偏导数相关等式；
3、格林公式——积分与路径无关、原函数；
4、级数的敛散性判定——注意级数的分类与对应方法；
5、向量的位置关系，平面、直线的位置关系等几何问题。
曲面及其方程
常见曲面
方程
柱面
只含有两个字母的三原方程，缺少的字母为母线
圆锥面
z
x2
y2
方程中
旋转
旋转抛物面
z
x2
y2或z1
x2
y2
含有
两个字母
曲面
球
z
R2
x2
y2或xx0
yy0
zz0
R2
2
2
2
的
圆柱面
x2
y2
R2或z2
y2
R2或x2
z2
R2
平方和
平面与直线
方程
点向式
一般式
两点式
直线
xx0
yy0
zz0
A1xB1yC1zD1
xx0
yy0
zz0
m
n
p
AxByCzD
2
x1x0
y1
y0
z1z0
2
2
2
点法式
一般式
截距式
平面
Axx0Byy0
Czz00
AxByCzD
x
y
z
1
a
b
c
直线与直线垂直、平行、相交（夹角）
位置
平面与平面垂直、平行、相交（夹角）
关系
直线与平面垂直、平行、相交（夹角）、平面束
偏导、连续、可微
偏导数连续
可微
函数连续函数偏导数存在
隐函数的求导
形式
确定的函数
f
x,y
0
y
f
x
一个
方程
x,y,z
0
z
f
x,y
f
f
x,y,z
0
y
yx
g
x,y,z
0
z
zx
方程组
fu,v,x,y
0
uux,y
gu,v,x,y
0
vvx,y
求导方法
视y为x的函数，两端对x求导，解得y
视z为x,y的函数，两端对x,y求偏导，解得zx,zy
视y,z为x的函数，两端同时对x求导，解得y,z
视u,v为x,y的函数，两端对x,y求偏导，
解得ux,uy,vx,vy
高阶导数与偏导数的求导
复合函数的链式法则
函数
中间变量
求导【链式法则】
z
f
u,v
u
ux
dz
zdu
zdv
注意导数与偏导数的符号
v
vx
dx
udx
vdx
u
ux,y
注意求导要完整
z
f
u,v
z
zu
zv,
z
zu
zv
注意抽象复合函数的符号
vvx,y
x
ux
vx
y
uy
vy
偏导数的应用
问题
应用
曲线的切线与法平面
曲线x
t,y
t,z
t
r
t,
t,
t
T
曲面的切平面与法线
曲面F
x,y,z
0
r
Fx,Fy,Fz
n
函数z
f
x,y
，方向
f
f
cos
f
cos
方向导数与梯度
r
l
x
y
cos,cos
l
graduf
x,y
fx,fy
令zx
zy0得驻点与不可导点
极值
函数z
fx,y
并由AC
B2判断极值情况
条件极值
函数zf
x,y
，条件gx,y
0
Lagerange乘数法
重积分的几何应用
度量
应用
平面面积
SD
1dxdy
1
ydxxdy
2L
D
S:
z
zx,y
，则S
2
2
曲面面积
1zx
zydxdy1dS
Dxy
立体体积
V
fx,ydxdy
1dV
Dxy
曲线弧长
l
1ds
L
重积分的计算
坐标系区域表示化为定次积分适用类型
先单后重
x,y,zz1x,yzz2x,y,x,yDxy
【穿线法】
直角坐标系
先重后单
x,y,zz1zz2,x,yDz
【切片法】
三重积分
fx,y,zdV
,zz1,zz2,,,Dxy
柱面坐标系
先单后重方法中用极坐标求解二重积分
r
0
2
0
0
r
球面坐标系
先确定
，然后确定
，最后穿线法确定r
X-型区域
D
x,y
a
x
b,
1
x
y
2
x
【穿线法】
二重积分
直角坐标系
D
x,y
c
y
d,
1
y
x
2
y
[穿线
Y-型区域
fx,yd
法]
D
D
1
2
极坐标系
先确定
，然后穿线法确定
z2x,y
fx,y,zdzdxdy
z1x,y
Dxy
d
fx,y,zdxdydz
c
Dz
fcos,sin,zdddz
xrsincos,yrsinsin,
zrcos
dxdydzr2sindddr
b2x
dxfx,ydy
a1x
d2y
dyfx,ydx
c1y
d
2
fcos,sind
1
一般的立体区域
柱面区域或被积函数含有
x2y2
球面区域或被积函数含有
x2y2z2
一般的平面区域
圆形区域或被积函数含有
x2y2
曲线、曲面积分的差异
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
形式
fx,yds
L
Px,ydxQx,ydy
L
fx,y,zdS
PdydzQdzdxRdxdy
一代
xtytds
xtytdx
zzx,ydS
zzx,y根据
方向性
无
LL
无
PdydzPdydz
二换
2
t
2
t
dt
tdtdytdt
22
1zxzxdxdy
指定侧定二重积分符号
特殊性质
对1积分为L的长度
垂直性——L垂直与坐标轴则关于该坐标的积分为0
对1积分为
的面积
垂直性——L垂直与坐标平面则关于该坐标平面的两个坐标的积分为
0
对1积分为
在坐标平面投影的面积（带有正负号）
计算
三定限（域）
化为积分
t
f
t,
t
2
t
2
t
dt
起点
t,t
t
Q
t,
t
tdt
P
终点
Dxy
f
x,y,zx,y
1
2
2
dxdy
zx
zx
Dxy
Rx,y,zdxdy
Rx,y,zx,ydxdy
Dxy
Dxy
GREEN公式计算第二类曲线积分的用法
利用公式的时机
被积函数很复杂或积分路径很复杂或明显的
P
Q
y
x
D内无奇点
直接利用公式化成二重积分
L封闭时
D内有奇点
用辅助闭曲线去掉奇点后利用公式，再减去辅助曲线上的积分
P
Q
积分与路径无关，可以改变积分路径或选择简单的路径
y
x
【一般选择平行于坐标轴的折线段】
L不封闭时
用辅助曲线封闭化后利用公式，再减去辅助曲线上的积分
P
Q
y
x
【一般选择平行于坐标轴的折线段】
若dz
x,y
Px,ydxQx,ydy
公式的独特用法—求原函数
Px,ydxQx,ydy，则可设ux,y
0,0
GAUSS公式计算第二类曲面积分的用法
利用公式的时机
三种坐标积分同时出现或被积函数很复杂或积分曲面是特殊的曲面（柱、锥、球）
封闭时
直接利用公式化成三重积分
不封闭时
用辅助曲面封闭化后利用公式，再减去辅助曲面上的积分
【一般选择平行于坐标平面的平面】
对称性区域上奇偶性函数的积分
区域对称性
被积函数的奇偶性
定积分
关于原点对称
关于x为奇函数
关于x为偶函数
关于X轴对称
关于y为奇函数
关于y为偶函数
二重积分
关于x为奇函数
关于Y轴对称
关于x为偶函数
关于XOY对称
关于z为奇函数
关于z为偶函数
三重积分
关于XOZ对称
关于y为奇函数
关于y为偶函数
关于YOZ对称
关于x为奇函数
关于x为偶函数
关于X轴对称
关于y为奇函数
关于y为偶函数
对弧长的曲线积分
关于x为奇函数
关于Y轴对称
关于x为偶函数
对坐标的曲线积分
关于XOY对称
关于z为奇函数
关于z为偶函数
对面积的曲面积分
关于XOZ对称
关于y为奇函数
关于y为偶函数
关于YOZ对称
关于x为奇函数
关于x为偶函数
多坐标的曲面积分
结论
a
2
a
a
1、奇函数fxdx0
、偶函数
fxdx2fxdx
a
a
0
1、奇函数
f
x,yd
0
D
2、偶函数
f
x,yd
2
f
x,ydD1为D中x
0y
0
部分
D
D1
1、奇函数
f
x,y,zdV
0
2、偶函数
f
x,y,zdV
2
fx,y,zdV1为
中x
0y
0、z
0部分
1
1、奇函数
f
x,yds
0
L
2、偶函数
f
x,yds
2fx,ydsL1为L中x
0部分
L
L1
没有对称性的相关结论
1、奇函数
f
x,y,zdV
0
2、偶函数
f
x,y,zdV
2fx,y,zdV1为
中x
0y0、z
0部分
1
没有对称性的相关结论
七类积分间的关系
对面积的曲面积分
对弧长的曲线积分
曲曲
线
Pdx
Qdy
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
面
Pcos
Qcos
Rcos
dS
L
定积分
二重积分
积
Pcos
积
Qcosds
L
分
分
对坐标的曲线积分对坐标的曲面积分
GREEN公式二重积分三重积分GAUSS公式
STOKES公式
数项级数的审敛方法
否
用比值或根式判定发散，
limun0
级数发散
原级数发散
n
交
否1
是
比较审敛
错
否2
是
级
绝对收敛
正项级数
比值审敛
数
否
根式审敛
收敛
加绝对值
un
任意项级数
n1
条件收敛
幂级数收敛域
形式
收敛区间
收敛域
anxn
liman1
R
1得收敛区间R,R
n0
n
an
an
xx0
令xx0
t，求
antn的收敛域，回带得x范围
讨论端点的敛散
n
n0
n0
性，得收敛域
a2nx2n等（缺项）
un1
x
1，得收敛区间
令lim
n0
n
un
x
幂级数和函数
第一步：
求收敛域
第二步：
对和函数Sx求导或积分得到等比级数或ex、sinx等,标上收敛区间
第三步：
Sx
x
x
Sxdx或Sx
Sxdx表上收敛域
00
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