小学数学创新教育案例与分析.docx

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小学数学创新教育案例与分析

[小学数学“创新教育案例与分析

内容提要：

本文采用案例分析法从人际环境与创新、课堂教学与创新、数学活动与创新、教学模式与创新、创新教育与成果五个方面，对如何实施小学数学“创新教育”作了初步研究。

每个案例描写的都是“创新教育”中遇到的真实问题，然后运用创造学、思维科学等现代教育科学理论分析这些问题，并提出实施“创新教育”的方法与途径。

关键词：

创新教育人际环境课堂教学数学活动

“创新教育是以培养人的创新精神和创新能力为根本价值取向的教育”,其“着重研究和解决根底教育如何培养中小学生的创新意识,创新精神和创新能力的问题。

”本文拟运用创造学、思维科学与数学教育的理论，对自己亲身经历的“案例”〔其中甲、乙、丙为学生代表〕作为分析，探索如何实施小学数学“创新教育”，以就教于同仁。

人际环境与创新

[例一]甲生被以为是“中等生”学生。

一天下午某老师把甲叫到办公室辅导。

后来这位老师有事出去了，甲做完题在等。

甲四面看看，发现了我，就飞快地走大我身旁，说：

“王老师，昨天我做的填充题：

分母是6的所有最简真分数之和是1；今天做的填充题：

分母是8的所有最简单真分数之和是2，是不是所有这样的同分母最简单真分数的和都是自然数？

”接着她取出一张草稿纸，上面写着：

+=1+=1，+=1+=1，

+++=1+2+3+=2，……

+++++++++===5，……

对甲的发现，我由衷赞赏。

我鼓励她说：

你真肯动脑筋，从一个个具体例子中发现其中具有的规律，“创造”了知识，不过你发现的“规律”是否具有普遍意义，还需进一步作出证明，现在只可以说是我们的“猜测”，而“猜测”是科学发现的先兆，很有价值！

今后你学了更多的数学知识，可以进一步探索，作出证明。

在我的指导下，甲公开发表了我校学生撰写的第一篇数学小论文。

其他同学问讯后也展开了研究。

乙进一步作出了“同分母〔不为2〕的所有最简真分数之和，等于这些分数的个数除以2所得的商”猜测，在校内开拓了探索数学奥秘的风气。

[分析]“从人的天资和使命来看，每个人均有创造力，他们以不同的方式显示出来。

”从数学考试的成绩来看，甲生属于“中下”水平，她的“天资”不见得十分聪明，但她对数学的好奇、好问，令我赞叹。

这种好奇、好问正是创新意识的萌芽，创造力的潜能的流露。

国外最新的创造力研究，特别重视环境对创造力的作用，“把创造思维过程看作是人与他所处的环境之间的相互作用”。

环境要素中人际关系是第一位的。

我待人至诚，与学生平等相处，师生关系和谐，学生和我交谈感到心理平安、心理自由，所以我虽然不教他们班的数学，甲也会与我真诚地交流。

另外，创新思维需要时间，甲当时有充裕的时间。

环境和时间，如果缺少其中的一个条件，那甲的创新思维火花也不会有了。

因而，努力在课堂上下、校园内外营造一种宽容、宽松、开放的环境，使学生拥有自由支配的时间和主动探究的心态，是我们进行创新教育首先必须注意的。

课堂教学与创新

[例二]当学生编完9的乘法口诀以后，我要求学生仔细观察、思考：

相乘的变化会引起积怎样的变化？

这个变化有什么规律？

过了一会儿，甲生说：

每句口诀中被乘都是9，后一句口诀中乘数比前一句多1，积就比前一句多1个9。

乙说：

每句口诀中积的十位上的数和个位上的数相加都是9。

我肯定了甲、乙的发现，并鼓励学生继续找规律。

过了一会儿，丙说：

9和几相乘的积，就是几十减几的得数。

我问：

你是怎么发现的？

丙说：

1个9比10少1，2个9比20少2，3个9比30少3，……，几个9就比几十少几，所以……。

大家对丙的发现报以热烈的掌声。

观察客体所得的各种事实和材料是科学研究的根底，是一切科学创造创造的出发点。

所以在教学中培养学生的观察力至为重要。

本例中对如何观察作了指导：

看被乘数、乘数和积三个数之间的关系，什么不变，什么变了；在不同变化中找他们共同的东西。

在这个“异中求同”的过程中，必须要对观察对象进行分析，然后抽取出共同的东西加以综合，得出变化的规律。

这种观察能力的培养和思维方法加以综合，得出变化的规律。

这种观察能力的培养和思维方法的训练，是数学课中创新教育的根本途径。

从本例中还可以看到，正如赞可夫说的，像乘法表这样的传统教学内容，即使教学大纲没有变，可是采用了新的教学法，也能收到较好的教学效果。

[例三]在复习一般应用题时，我出示一道题；某修路队修一天公路，方案每天修60天，7天修完。

假设需提前1天修完，平均每天比方案多修几米？

甲解：

60某7÷〔7－1〕－60＝420÷6－60＝70－60＝10〔米〕

乙解：

60÷〔7－1〕＝60÷6＝10〔米〕，她说：

这条公路方案7天修完，假设提前1天修完，只能用6天。

在6天里平均每天比方案多修的米数加起来等于方案1天修的米数加起来等于方案1天修的米数，所以只要把60除以6即可。

大家对乙另辟蹊径的最简解法十分赞赏，但是又说不清为什么要这样解。

这时，丙提出质疑，他说：

用乙的算法，假设需提前6天只能修完，60÷〔7－6〕＝60米，60+60=120〔米〕，即1天只能修120米，而公路全程有420米，是不可能提前6天修完的。

我表扬丙敢于质疑，并启发说：

我们画个图，结合图形来研究好吗？

于是师生共同作图如下：

一天的工作量

60

⑴

提前6天的工作量

60某6

⑵

在⑴中，提前1天用6天修完，只要1天的工作量分成6份，平均分配到6天的工作时间中去，就是说假设要提前1天修完，每天就要比原来多修“60÷6＝10”米。

乙的解法实际上是60某7÷〔7－1〕，这里把“某1”省略了是可以的。

在〔2〕中，提前6天用1天修完，那么就要把6天的工作量60某6=360〔米〕都加到1天的工作量中去，即60某6+60=420〔米〕。

最后，引导学生反思和评价这一段学习过程，有这样几点看法：

〔1〕两种解法都是正确的，甲是一般解法，乙的解法更为简便。

〔2〕同学们在解题过程中有说不清楚，或者有疑心的地方要敢于提问，提得出问题是进步的开始。

〔3〕根据题意作出草图，可以帮助我们理清思路。

[分析]本例通过一题多解培养发散思维。

所谓发散思维，是指多角度、多方向、多层次的一种思维方式。

创新是对旧的突破。

没有发散思维，墨守成规，就谈不上创新。

通过发散思维获得多种解法之后，还要运用聚合思维，通过比较，选取最优解。

在本例中，学生赞赏了乙的最简解法，丙未真正理解，持疑心态度，言语中有反唇相讥之味。

我假设以此加以否认或让他当众出丑，那对丙的学习激情和批判冲动将是一种残酷打击。

实质上乙的解法只是“提前1天”的特例，而丙要寻求的却是“提前n天”的通解，这也是丙的思维中创新的火花。

我在鼓励的同时启发他们用线段图辅助思考，列出算式，这样丙可以理直气壮地说出解题思路，获得认知与情感上的满足。

在创新教育中，老师的宽容态度很重要，没有宽容心，就没有学生的自信心，没有自信心也就会失去创造的内驱力，无法培养学生的批判思维和创新精神。

数学活动与创新

[例四]在一次数学活动中，学生探索出“两因数十位上数相同，个位上数之和为10”，即俗称‘首同末合十“的速算法：

用两因数个位上数的乘积作积的末两位，用十位上的乘数以比它大1的数，作积的前两位〔如24某26=624，33某37=1221，48某42=2022〕。

接着，我鼓励学生根据的数学事实，猜测一下：

类似的三位数乘三位数有没有速算法？

学生猜测后，用计算器验算。

甲提出了活动教材中没有的内容：

三位数乘三位数，假设两因数百位上数相同，其余数位上数之和为100时，有类似的速算法；乙猜测：

假设两因数千位、百位上数相同，其余数位上数之和为100，也有类似的速算法；丙提出：

能否倒过来考虑，两位数乘两位数，假设十位上数之和为10，个位上数相同，有没有速算法？

三位数乘三位数……？

这样，学生自己提出问题，自己验证。

课堂气氛十分活泼。

[分析]数学创新活动可以开拓创新教育的渠道，训练学生综合运用各种创新思维方法，经历和体验完整的创新过程，产生和扩大创新成果。

基于以上考虑，中央教材所曹裕添研究员和我主编了一套12册的《小学数学活动》教材〔由苏州大学出版社出版〕。

本例即是该教材中的一次创新思维训练，在活动中，我启发学生说出：

最初的两位数乘两位数的速算法是由归纳思维得出的，类比推理到三位数乘三位数，在验证时又用了归纳思维。

我再指出：

由不完全归纳法与类比得到的结论不一定正确，需要证明或找反例推翻。

这就是实事求是的科学精神。

[例五]我利用《小学数学教师》上介绍的教案：

章从群的《222倍之谜》〔见1993年第1期，第74页~76页〕，开展数学活动。

经过一番探索，学生找到一般规律：

如用a、b、c表示不同的数字〔不包括0〕，有abc+acb+……+cab=222（a+b+c）。

出乎意料之外，甲提出：

两位数、四位数等情况会怎样？

学生很快找到两位数的规律：

ab+ba=11（a+b）。

师生又共同总结出四位数的规律：

abcd+abdc+……+dcba=6666（a+b+c+d）。

可五位数、六位数等情况呢？

这时，乙猜测：

多位数时，它的规律必是某一个常数与其数字之和的乘积。

丙猜测：

这个常数分别与11、111、1111、11111、……有关。

我建议可用电脑探索验证。

次日，有学生说：

在因特网上，一位中学老师为他解决了编程问题，电脑证实了乙、丙的猜测；另有学生在家长帮助下，用排列组合的知识也作出了证明。

[分析]《“222“倍之谜》其实是一个开放题具有足够的灵活性，被认为的最富有创造教育价值的一种教学问题的体型，它的出现是知识经济时代呼唤的结果。

又由于在教学活动中使用了计算器，使学生“有了〔头脑、双手、嘴、空间、时间、眼睛〕六大解放，创造力才可能尽量发挥出来。

”这在本例中得到充分表达。

甲的思维主要涉及潜意识过程，与“灵感”有关，假设不加捕捉那么稍纵即逝，当代的创造力研究者“都把杰出的创造性成就归因于情感，非理性因素的作用”。

他们认为“只有在这种意识状态中才会产生重大的创造，发现和创造性的工作。

”正是甲的提问才推动了探索活动的深入，引发了乙、丙的猜测。

乙、丙的猜测是在归纳与类比的根底上提出的，其间伴随着联想、顿悟。

数学教育家波利亚把教会学生猜测作为培养独创能力的得力手段。

他指出：

教猜测比教证明更重要。

首先是猜测，然后是证实二个数学事实。

然而，普通教科书不提供那样的时机。

由于学生受所学知识局限，而且有些开放题不容易靠个人力量或在有限时间内完成，所以最后学生凭借电脑、网络、成人的帮助得出结论，这也是未来数学教育的开展趋向吧。

数学模式的创新

小学数学创新教育需要构建反映学科特点的，反映学生创新精神、创新能力培养的教学模式。

据此我设计了一个“开放性问题解决”教学模式。

[例六]纠正一道初中入学考试试题原“标准答案”的失误。

1、创设问题情景；15年前某省一重点中学初中招生试题有一道填充题：

“写出一个比大，比小的分母最小的最简分数，它是〔〕”因为=，=。

所以标准答案至今取97/112，其实这个答案错了，为什么？

2、引导探索解决：

甲化成小数想：

因为=0.857142，=0.875，可取0.86=；乙说：

因为=12/14；=14/16，所以取。

3、给予积极评价：

这才是正确的标准答案。

我们将15年前的“错案”改正！

4、呈现新问题：

＜〔〕＜，＜〔〕＜……

学生得出：

＜〔〕＜，＜〔〕＜……

5、问题解决：

丙猜测有这样的规律：

＜（）＜（n为自然数），并将证明的要求放到课外去。

在课外有兴趣有能力的学生相互研讨，得如下证法：

=-=1-

==-=1-

===1-

∵＞＞，∴1-＜1-＜1-

∴＜＜

6、回忆：

肯定成功，找出取得成功的原因，鼓励学习积极性。

[分析]“开放性问题解决”教学模式，旨在打破]传统教学的封闭体系，实现以问题为导向的，“课内向课外”、“封闭题向开放题”、“低位能力向高位能力”的开放；在问题解决中培养学生的创新意识、创新精神与创新能力。

数学教育家波利亚认为：

问题解决包括四个环节：

弄清问题→拟订方案→实现方案→回忆。

在此根底上，我将“开放性问题解决”教学模式的主要环节设定为：

创设问题情景→引导探索解决→给予积极评价→呈现新问题→解决〔或循环〕→回忆。

我作了两点改造：

其一增加了评价环节〔分两次进行，一次在中途，一次在末了〕。

注意对学生在解决问题时采用的思维方式及表现出的创新个性给予积极的评价，使学生体验到创造成功的快感。

在问题解决中，情感因素的参与起着十分重要的作用。

从某种意义上讲，学生的创造精神、创造能力不是学出来的，而是激发、弘扬出来的。

其二引进开放题。

由于开放题的灵活性，所以容易出现问题的创新。

这种教学模式也使用于常规教学。

如增加问题的灵活性、探索性，不断解疑生疑，或有意留下回味思考余地，或布置孕伏题等。

创新教育“前沿”的探索

[例七]任选一个正整数，按“逢双数除以2，逢单数乘以3加1”的规律重复进行运算，最终结果必定是1。

这是著名的“角谷猜测”，已有人用电脑实验了7000亿以内的数，无一例外，但至今世上无人能证明它。

例如，你选的数是13，那么有13某3+1=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5某3+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

我在教学活动中向学生介绍上述情况后，大家用计算器进行了验证，但觉得运算步骤实在太多。

甲提出：

假设逢单数加1，其他规那么不变，结果会不会是1？

学生发现甲的“猜测”正确，而且运算步骤大大减少。

乙称可证明：

因为任意一个足够大的单数相加1后再除以2，其结果总比原单数小，反复进行这样的运算，最后必定得到正整数中最小的单数1。

大家为甲的“重大发现”感到兴奋不已。

丙提出：

为什么角谷静要逢单数乘以3，假设逢单数乘以5加1，结果会不会也是1？

学生用计算器验证，很快否认了答案。

以5为例，按丙的规那么算结果是13而不是1，经过讨论，提高了对：

“世界难题”的认识。

[分析]学贵知疑，大疑那么大进，小疑那么小进，不疑那么不进。

创新往往从疑心开始，疑心是思维批判性的表现。

培养创新力，关键在于培养学生智能结构中的批判性思维和发散性思维能力。

甲对著名的“角谷猜测”提出质疑，并提出合理的简化的运算步骤，起批判性思维和发散性思维极其难得。

乙的分析推理简捷巧妙，结论符合逻辑性。

丙的猜测虽被一个反例加以推翻，但他的猜测使大家重新认识了“角谷猜测”的数学研究价值。

创新过程，“这是一种由向新的未知进行质的转变的独特形式。

这个转变，是儿童在各种各样的解决新颖任务的探究活动中实现。

儿童的尝试形式越是五花八门，探究活动越是新颖灵活，那么，他们也就越有可能得到异乎寻常的结果”。

[例八]在一次数学活动中，学生正在用计算器找规律：

任取一个三位数或四位数，把它个数位的数按从大到小和从小到大的两种顺序排列，求出它们的差，并如此反复进行。

我问：

你们发现了什么？

学生异口同声说：

三位数运算的结果必是495。

例如：

“288→882-288=594→954-495=495。

四位数运算的结果必是6174。

例如：

“1989”→9981-1899=8082→8820-0288=8532-2358=6174。

我指出：

这样的运算是美国数学家卡布列克发现的，因此把它叫做“卡布列克运算”，而495与6174分别为叫做三、四位数的卡布列克常数。

许多数学家的研究说明：

只有三、四位数才存在卡布列克常数。

甲表示要用电脑验证数学家的发现；乙提出如果修改运算规那么：

数字0不放在最高位，会有怎样的规律？

丙发现经过一次卡布列克运算，其结果碧能被9整除，因此凡能找到的卡布列克常数必是9的倍数。

大家对他们的奇异想法很感兴趣，纷纷开始新的探索和验证，结果发现：

在乙的规律下得到：

两位数必是9，三位数分别是9、99、495；四位数分别是99、999、495、6174。

同时，证明丙的发现是正确的。

甲与家长借助电脑研究，撰写了《五位数以上的卡布列克运算中的有趣现象》的论文，获市科技小论文一等奖。

[分析]我对学生标新立异的想法一贯给予鼓励和分析性指导。

例如：

在乙的规那么下，两位数时将得到一个常数；63→27→45→“9”或201→201-102=“99”，四位数时的情况与三位数根本相同。

五位数时出现了两个循环圈：

〔1〕82962→860832→862632→642654→420876→851742→750843→840852。

〔2〕在乙的规那么下出现：

671742→651744→620874→671742。

以上运算学生用计算器就可以轻易得到验证，难得的是好的创意。

学生人人皆有创新的潜能，通过正确的教育，都能获得不同层次的创新成果。

马格丽特·米德认为：

“儿童通过本人能重新发现一个原理，即使他的发现对人类文化传统的奉献等于‘零’也是相当有价值的。

”实践说明：

学生并非不能首次提出一个猜测或发现某种规律等，其成果更有特殊意义。

没有某种创新成果，学生无法体验到探索成功的愉快情感，也不能稳固和开展学生的创新教育。

以上案例与分析，仅是我对小学数学创新教育的初步认识和实践。

虽然探索才刚刚起步，但小学生锐意创新的能力和习惯已露端倪，也产生了创新成果：

我任教班级的学生就公开发表数学研究小论文20多篇，并出现了小学生借助电脑探索复杂的数学难题，利用互连网与专家、学者“合作研究”，小学生敢于向著名的数学研究成果挑战等前所未有的现象。

表达了小学生在创新精神、创新能力和创新个性方面的巨大潜能，也从一个侧面显示出创新教育的无限生命力。

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