北师大版八年级上册数学单元试题及答案第七章平行线的证明二.docx
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北师大版八年级上册数学单元试题及答案第七章平行线的证明二
北师大版八年级上册数学单元试题及答案
第七章平行线的证明
(二)
一、填空题(18分)
1.命题“任意两个直角都相等”的条件是 ,结论是 ,它是 (真或假)命题。
2.已知,如图,直线AB、CD相交于O,OE平分∠BOD且∠AOE=150°,∠AOC的度数为 。
3.如图,如果∠B=∠1=∠2=50°,那么∠D= 。
4.如图,直线l1、l2分别与直线l3、l4相交,∠1与∠3互余,∠3的余角与∠2互补,∠4=125°,则∠3= 。
5.如图,已知AB∥CD,∠C=75°,∠A=25°,则∠E的度数为 度。
6.如图,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明AD∥BE
解:
∵AB∥CD(已知)
∴∠4=∠ ( )
∵∠3=∠4(已知)
∴∠3=∠ ( )
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF( )
即∠ =∠ ( )
∴∠3=∠
∴AD∥BE( ).
二、选择题(12分)
7.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交,图中的同旁内角共有( )
A.4对B.8对C.12对D.16对
8.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠AOE,∠1=15°30′,则下列结论中不正确的是( )
A.∠2=45°B.∠1=∠3
C.∠AOD与∠1互为补角D.∠1的余角等于75°30′
9.下列语言是命题的是( )
A.画两条相等的线段
B.等于同一个角的两个角相等吗?
C.延长线段AO到C,使OC=OA
D.两直线平行,内错角相等.
10.下列命题是假命题的是( )
A.对顶角相等B.﹣4是有理数
C.内错角相等D.两个等腰直角三角形相似
三、解答题(70分)
11.(4分)已知如图,指出下列推理中的错误,并加以改正.
(1)∵∠1和∠2是内错角,∴∠1=∠2,
(2)∵∠1=∠2,∴AB∥CD(两直线平行,内错角相等)
12.(6分)已知:
如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证:
∠P=90°.
13.(6分)如图,∠1=∠2,∠3=∠4,试问EF是否与GH平行?
14.(6分)如图写出能使AB∥CD成立的各种条件.
15.(6分)如图,已知AB∥CD,∠1=∠3,试说明AC∥BD.
16.(6分)已知:
如图,∠1=∠2,且BD平分∠ABC.求证:
AB∥CD.
17.(6分)如图,已知直线a,b,c被直线d所截,若∠1=∠2,∠2+∠3=180°,求证:
a∥c.
18.(6分)如图,已知BE∥CF,BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD,求证:
AB∥CD.
19.(6分)已知:
如图,AB∥CD,BC∥DE,∠B=70°,求∠D的度数.
20.(6分)已知:
BC∥EF,∠B=∠E,求证:
AB∥DE.
21.(6分)如图,已知AB∥CD,∠A=100°,CB平分∠ACD,求∠ACD、∠ABC的度数.
22.(6分)如图,已知:
DE⊥AO于点E,BO⊥AO于点O,∠CFB=∠EDO,
证明:
CF∥DO.
参考答案
一、填空题(18分)
1.命题“任意两个直角都相等”的条件是 两个角都是直角 ,结论是 相等 ,它是 真 (真或假)命题
【考点】命题与定理
【分析】任何一个命题都是由条件和结论组成
【解答】解:
“任意两个直角都相等”的条件是:
两个角是直角,结论是:
相等.
它是真命题
【点评】本题考查了命题的条件和结论的叙述
2.已知,如图,直线AB、CD相交于O,OE平分∠BOD且∠AOE=150°,∠AOC的度数为 60°
【考点】对顶角、邻补角;角平分线的定义
【分析】根据两直线相交,对顶角相等,可推出∠AOC=∠DOB,又根据OE平分∠BOD,∠AOE=150°,可求∠BOE,从而可求∠BOD
【解答】解:
∵AB、CD相交于O
∴∠AOC与∠DOB是对顶角,即∠AOC=∠DOB
∵∠AOE=150°
∴∠BOE=180°﹣∠AOE=30°
又∵OE平分∠BOD,∠AOE=30°
∴∠BOD=2∠BOE=2×30°=60°
∴∠BOD=∠AOC=60°
故答案为:
60°
【点评】本题主要考查对顶角的性质以及角平分线的定义、邻补角,解决本题的关键是求出∠BOE
3.如图,如果∠B=∠1=∠2=50°,那么∠D= 50°
【考点】平行线的判定与性质
【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC,根据平行线的性质得出∠D=∠1,代入求出即可
【解答】解:
∵∠B=∠2=50°
∴AD∥BC
∴∠D=∠1
∵∠1=50°
∴∠D=50°
故答案为:
50°
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用,能推出AD∥BC是解此题的关键
4.如图,直线l1、l2分别与直线l3、l4相交,∠1与∠3互余,∠3的余角与∠2互补,∠4=125°,则∠3= 55°
【考点】平行线的判定与性质;余角和补角
【分析】求出∠5的度数,根据∠1与∠3互余和∠3的余角与∠2互补求出∠1+∠2=180°,根据平行线的判定得出l1∥l2,根据平行线的性质求出即可
【解答】解:
∵∠4=125°
∴∠5=180°﹣125°=55°
∵∠1与∠3互余,∠3的余角与∠2互补
∴∠1+∠2=180°
∴l1∥l2
∴∠3=∠5=55°
故答案为:
55°
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用,能求出l1∥l2是解此题的关键,注意:
两直线平行,内错角相等
5.如图,已知AB∥CD,∠C=75°,∠A=25°,则∠E的度数为 50 度
【考点】平行线的性质;三角形的外角性质
【专题】计算题
【分析】本题主要利用两直线平行,同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和作答
【解答】解:
∵AB∥CD
∴∠BFE=∠C=75°
又∠A=25°
∴∠E=75°﹣∠A=50°
【点评】本题重点考查了平行线的性质及三角形的外角性质,是一道较为简单的题目
6.如图,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明AD∥BE
解:
∵AB∥CD(已知)
∴∠4=∠ EAB ( 两直线平行,同位角相等 )
∵∠3=∠4(已知)
∴∠3=∠ EAB ( 等量代换 )
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF( 等式的性质 )
即∠ BAE =∠ CAD ( 角的和差 )
∴∠3=∠ CAD
∴AD∥BE( 内错角相等,两直线平行 )
【考点】平行线的判定与性质
【专题】推理填空题
【分析】由平行线的性质可得到∠4=∠EAB,由∠3=∠4可得到∠3=∠EAB,由等式的性质可知∠BAE=∠CAD,从而得到∠3=∠CAD由平行线的判定定理可得到AD∥BE
【解答】解:
∵AB∥CD(已知)
∴∠4=∠EAB(两直线平行,同位角相等)
∵∠3=∠4(已知)
∴∠3=∠EAB(等量代换)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等式的性质).
即∠BAE=∠CAD(角的和差)
∴∠3=∠CAD.
∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行)
【点评】本题主要考查的是平行线的性质和平行线的判定,掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键
二、选择题(12分)
7.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交,图中的同旁内角共有( )
A.4对B.8对C.12对D.16对
【考点】同位角、内错角、同旁内角
【专题】几何图形问题
【分析】每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数
【解答】解:
直线AB、CD被EF所截有2对同旁内角
直线AB、CD被GH所截有2对同旁内角
直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角
直线CD、GH被EF所截有2对同旁内角
直线GH、EF被CD所截有2对同旁内角
直线AB、EF被GH所截有2对同旁内角
直线AB、GH被EF所截有2对同旁内角
直线EF、GH被AB所截有2对同旁内角
共有16对同旁内角
故选D
【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角.要结合图形,熟记同旁内角的位置特点.两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中,有两对同旁内角
8.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠AOE,∠1=15°30′,则下列结论中不正确的是( )
A.∠2=45°B.∠1=∠3
C.∠AOD与∠1互为补角D.∠1的余角等于75°30′
【考点】垂线;角平分线的定义;对顶角、邻补角
【分析】根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义,逐一判断
【解答】解:
A、由OE⊥AB,可知∠AOE=90°,OF平分∠AOE,则∠2=45°,正确
B、∠1与∠3互为对顶角,因而相等,正确
C、∠AOD与∠1互为邻补角,正确
D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°
∴∠1的余角等于75°30′,不成立
故选D
【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角的概念,和为180°的两角互补,和为90°的两角互余
9.下列语言是命题的是( )
A.画两条相等的线段
B.等于同一个角的两个角相等吗?
C.延长线段AO到C,使OC=OA
D.两直线平行,内错角相等
【考点】命题与定理
【分析】根据命题的定义解答,命题是对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题,分别判断得出答案即可
【解答】解:
根据命题的定义
只有答案D、两直线平行,内错角相等.对事情做出正确或不正确的判断,故此选项正确
故选:
D
【点评】本题考查了命题的定义,利用定义得出是解题关键
10.下列命题是假命题的是( )
A.对顶角相等B.﹣4是有理数
C.内错角相等D.两个等腰直角三角形相似
【考点】命题与定理
【分析】根据对顶角的性质对A进行判断;根据有理数的分类对B进行判断;根据平行线的性质对C进行判断;根据等腰直角三角形的性质和相似的判定方法对D进行判断
【解答】解:
A、对顶角相等,所以A选项的命题为真命题
B、﹣4是有理数,所以B选项的命题为真命题
C、两直线平行,内错角相等,所以C选项的命题为假命题
D、两个等腰直角三角形相似,所以D选项的命题为真命题
故选C
【点评】本题考查了命题与定理:
判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理
三、解答题(70分)
11.(4分)已知如图,指出下列推理中的错误,并加以改正
(1)∵∠1和∠2是内错角,∴∠1=∠2
(2)∵∠1=∠2,∴AB∥CD(两直线平行,内错角相等)
【考点】平行线的判定
【分析】
(1)内错角不一定相等,只有在平行线中才能推出相等
(2)根据平行线的判定得出此推理正确
【解答】解:
(1)错误:
内错角不一定相等
改正:
∵∠1和∠2是内错角,DC∥AB
∴∠1=∠2
(2)正确,∵∠1=∠2
∴AB∥CD(两直线平行,内错角相等)
【点评】本题考查了平行线的判定的应用,能正确根据平行线的判定定理进行推理是解此题的关键,注意:
内错角相等,两直线平行
12.(6分)已知:
如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证:
∠P=90°
【考点】三角形内角和定理;平行线的性质
【专题】证明题
【分析】由AB∥CD,可知∠BEF与∠DFE互补,由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°,由三角形内角和定理可得∠P=90°
【解答】证明:
∵AB∥CD
∴∠BEF+∠DFE=180°
又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P
∴∠PEF=
∠BEF,∠PFE=
∠DFE
∴∠PEF+∠PFE=
(∠BEF+∠DFE)=90°
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°
∴∠P=90°
【点评】考查综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识解决问题的能力
13.(6分)如图,∠1=∠2,∠3=∠4,试问EF是否与GH平行?
【考点】平行线的判定
【分析】求出∠1=∠5,根据平行线的判定得出AB∥CD,根据平行线的性质得出∠AEG=∠CGN,求出∠FEG=∠HGN,根据平行线的判定得出即可
【解答】解:
EF∥GH
理由是:
∵∠1=∠2,∠2=∠5
∴∠1=∠5
∴AB∥CD
∴∠AEG=∠CGN
∵∠3=∠4
∴∠AEG﹣∠3=∠CGN﹣∠4
∴∠FEG=∠HGN
∴EF∥GH
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键
14.(6分)如图写出能使AB∥CD成立的各种条件
【考点】平行线的判定
【分析】根据平行线的判定(平行线的判定定理有:
①同位角相等,两直线平行,②内错角相等,两直线平行,③同旁内角互补,两直线平行)得出即可
【解答】解:
AB∥CD的条件为∠7=∠8或∠3=∠4或∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°或∠FAB=∠FDC或∠EDC=∠EAB
【点评】本题考查了平行线的判定的应用,能熟记平行线的判定定理是解此题的关键,注意:
平行线的判定定理有:
①同位角相等,两直线平行,②内错角相等,两直线平行,③同旁内角互补,两直线平行
15.(6分)如图,已知AB∥CD,∠1=∠3,试说明AC∥B
【考点】平行线的判定与性质
【专题】推理填空题
【分析】首先根据两直线平行内错角相等得到∠1=∠2,再根据∠1=∠3得到∠3=∠2,从而判定AC∥BD
【解答】证明:
因为AB∥CD
所以∠1=∠2
又因为∠1=∠3
所以∠3=∠2
所以AC∥BD
【点评】本题考查了平行线的判定与性质,解题的关键是牢记平行线的判定与性质定理
16.(6分)已知:
如图,∠1=∠2,且BD平分∠ABC.求证:
AB∥CD
【考点】平行线的判定
【专题】证明题
【分析】根据平行线的判定方法得出∠1=∠DBA的位置关系即可得出答案
【解答】证明:
∵BD平分∠ABC
∴∠2=∠DBA
∵∠1=∠2
∴∠1=∠DBA
∴AB∥CD
【点评】此题主要考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定得出角之间的关系是解题关键
17.(6分)如图,已知直线a,b,c被直线d所截,若∠1=∠2,∠2+∠3=180°,求证:
a∥c
【考点】平行线的判定与性质
【专题】证明题
【分析】求出∠2=∠7,根据平行线的判定推出a∥b,b∥c,即可得出答案
【解答】证明:
∵∠1=∠2
∴a∥b
∵∠2+∠3=180°,∠3+∠7=180°
∴∠2=∠7
∴b∥c
∴a∥c
【点评】本题考查了平行线的判定的应用,能正确根据平行线的判定定理进行推理是解此题的关键,注意:
平行于同一直线的两直线平行
18.(6分)如图,已知BE∥CF,BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD,求证:
AB∥CD
【考点】平行线的判定与性质;角平分线的定义
【专题】证明题
【分析】根据BE∥CF,得∠1=∠2,根据BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD,得∠ABC=2∠1,∠BCD=2∠2,则∠ABC=∠BCD,从而证明AB∥CD
【解答】证明:
∵BE∥CF
∴∠1=∠2
∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD
∴∠ABC=2∠1,∠BCD=2∠2
即∠ABC=∠BCD
∴AB∥CD
【点评】此题综合运用了平行线的性质和判定以及角平分线的定义
19.(6分)已知:
如图,AB∥CD,BC∥DE,∠B=70°,求∠D的度数
【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质即可得到结论
【解答】解:
∵AB∥CD
∴∠C=∠B=70°
∵BC∥DE
∠C+∠D=180°
∴∠D=110°
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质,关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系
20.(6分)已知:
BC∥EF,∠B=∠E,求证:
AB∥DE
【考点】平行线的判定与性质
【专题】证明题
【分析】根据平行线的性质证得同位角∠E=∠1;然后由等量代换知同位角∠B=∠1;最后根据平行线的判定定理证得结论
【解答】证明:
∵BC∥EF
∴∠E=∠1
又∵∠B=∠E
∴∠B=∠1
∴AB∥DE
【点评】本题考查了平行线的判定与性质.平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系
21.(6分)如图,已知AB∥CD,∠A=100°,CB平分∠ACD,求∠ACD、∠ABC的度数.
【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质求出∠ACD,根据角平分线定义求出∠1、∠2,根据平行线的性质即可求出∠ABC
【解答】解:
∵AB∥CD,∠A=100°
∴∠ACD=180°﹣∠A=80°
∵CB平分∠ACD
∴∠1=∠2=
∠ACD=40°
∵AB∥CD
∴∠ABC=∠2=40°
【点评】本题考查了平行线性质的应用,注意:
两直线平行,内错角相等,两直线平行,同旁内角互补
22.(6分)如图,已知:
DE⊥AO于点E,BO⊥AO于点O,∠CFB=∠EDO,
证明:
CF∥DO
【考点】平行线的判定与性质
【专题】证明题
【分析】先由垂直的定义可得:
∠AED=∠AOB=90°,然后根据同位角相等,两条直线平行,可得:
DE∥BO,进而根据两直线平行,内错角相等,可得∠EDO=∠BOD,然后由等量代换可得:
∠BOD=∠CFB,进而由同位角相等,两条直线平行可得:
CF∥DO
【解答】证明:
∵DE⊥AO,BO⊥AO
∴∠AED=∠AOB=90°
∴DE∥BO(同位角相等,两条直线平行)
∴∠EDO=∠BOD(两直线平行,内错角相等)
∵∠EDO=∠CFB
∴∠BOD=∠CFB
∴CF∥DO(同位角相等,两条直线平行)
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用,能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键,难度适中