yux的初中数学组卷+平行线的证明.docx

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yux的初中数学组卷+平行线的证明

2016年06月25日yux的初中数学组卷平行线的证明

一．选择题（共2小题）

1．（2014•福鼎市模拟）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2009•萧山区校级模拟）下列命题：

①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；

②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；

③若b2﹣4ac＞0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．

其中正确的是（　　）（根据2008武汉卷改编）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

二．填空题（共27小题）

3．（2012•曾都区校级模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP=　　　　　　．

4．（2013春•鄂尔多斯校级月考）如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．

（1）AE与FC会平行吗？

说明理由．

（2）AD与BC的位置关系如何？

为什么？

（3）BC平分∠DBE吗？

为什么．

5．（2011•广东模拟）如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1=　　　　　　．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010=　　　　　　．

6．（2012•烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　　　　　　度．

7．（2012•乐山）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：

（1）∠A1=　　　　　　；

（2）∠An=　　　　　　．

8．（2010•资阳）给出下列命题：

①若方程x2+5x﹣6=0的两根分别为x1，x2，则

；

②对于任意实数x、y，都有（x﹣y）（x2+xy+y2）=x3﹣y3；

③如果一列数3，7，11，…满足条件：

“以3为第一个数，从第二个数开始每一个数与它前面相邻的数的差为4”，那么99不是这列数中的一个数；

④若※表示一种运算，且1※2=1，3※2=7，4※4=8，…，按此规律，则可能有a※b=3a﹣b．

其中所有正确命题的序号是　　　　　　．

9．（2010•茂名）小慧同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如图．

家务项目

擦窗

洗菜

洗饭煲、洗米

炒菜（用煤气炉）

饭煲（用电饭煲）

完成各项家务所需时间

5分钟

4分钟

3分钟

20分钟

30分钟

小慧同学完成以上各项家务活，至少需要　　　　　　分钟．（注：

各项工作转接时间忽略不计）．

10．（2009•常德）如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=　　　　　　度．

11．（2009•攀枝花）阅读下面的命题：

①中国国家男子足球队和巴西国家男子足球队比赛，中国国家男子足球队赢得比赛这一事件是不可能事件；②到三角形三顶点距离相等的点是这个三角形三边的中垂线的交点；③一组数据﹣2，﹣1，0，1，2，3的极差是5，中位数是0和1；④如果三个正数a、b、c的三条线段满足a+b＞c，则一定可以围成一个三角形；⑤若点P是△ABC中∠ABC的平分线和外角∠ACE的平分线的交点，则∠BPC=

∠A．以上命题中，正确的命题序号是　　　　　　．（将正确的命题序号全部写上）

12．（2009•广州）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：

　　　　　　．

13．（2008•永州）如图，直线a，b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件　　　　　　（填一个即可）．

14．（2007•玉溪）小颖中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：

①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序，小颖要将面条煮好，最少用　　　　　　分钟．

15．（2005•南平）在四边形ABCD中，AC是对角线．下列三个条件：

①∠BAC=∠DAC；②BC=DC；③AB=AD．请将其中的两个作为已知条件，另一个作为结论构成一个真命题：

如果　　　　　　，那么　　　　　　．

16．（2004•万州区）如图，AD、AE是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请写出两个正确的结论：

（1）　　　　　　；

（2）　　　　　　．（只写出两个你认为正确的结论即可）．

17．（2003•金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=　　　　　　度．

18．（2003•海南）一次数学测试，满分为100分．测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：

我俩分数的和是160分，吴珊说：

我俩分数的差是60分．那么，对于下列两个命题：

①俩人的说法都是正确的，②至少有一人说错了．其中真命题是　　　　　　（用序号①、②填写）．

19．（2015•呼和浩特）以下四个命题：

①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补；

②边数相等的两个正多边形一定相似；

③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E是一腰AC上的一点，若∠BAD=60°且AD=AE，则∠EDC=30°；

④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．

其中正确命题的序号为　　　　　　．

20．（2015•遂宁）下列命题：

①对角线互相垂直的四边形是菱形；

②点G是△ABC的重心，若中线AD=6，则AG=3；

③若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0；

④定义新运算：

a*b=2a﹣b2，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=1或9；

⑤抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（1，1）．

其中是真命题的有　　　　　　（只填序号）

21．（2001•东城区）在△ABC和△A′B′C中，∠A=∠A′，CD与C′D′分别为AB边和A′B′边上的中线，再从以下三个条件：

①AB=A′B′；②AC=A′C′；③CD=C′D′中任取两个为题设，另一个作为结论，请写出一个正确的命题：

　　　　　　．（用题序号写）

22．如图，∠BAP与∠APD互补，∠BAE=∠CPF，求证：

∠E=∠F．对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整．

证明：

∵∠BAP与∠APD互补，（已知）

∴AB∥CD．（　　　　　　）

∴∠BAP=∠APC．（　　　　　　）

∵∠BAE=∠CPF，（已知）

∴∠BAP﹣∠BAE=∠APC﹣∠CPF，

（　　　　　　）

即　　　　　　=　　　　　　．（　　　　　　）

∴AE∥FP．

∴∠E=∠F．

23．（2015•德阳）下列四个命题中，正确的是　　　　　　（填写正确命题的序号）

①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；

②函数y=（1﹣a）x2﹣4x+6与x轴只有一个交点，则a=

；

③半径分别为1和2的两圆相切，则两圆的圆心距为3；

④若对于任意x＞1的实数，都有ax＞1成立，则a的取值范围是a≥1．

24．（2012•拱墅区二模）已知△ABC中，∠A=α．在图

（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C=90°+

；在图

（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=　　　　　　；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2，…，On﹣1，如图（3），则∠BOn﹣1C=　　　　　　（用含n和α的代数式表示）．

25．（2012•武鸣县模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=104°﹣∠2，∠ABC=76°+∠2，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F，能辨认∠1=∠2吗？

试说明理由．

26．（2012•武鸣县模拟）如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°．

（1）求∠B的度数．

（2）求∠C的度数．

27．（2012•武鸣县模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B=50°，

求∠BAD和∠AEC的度数．

28．（2002•咸宁）有下面四个命题：

（1）若x＜0，则

；

（2）反比例函数的图象是轴对称图形；

（3）函数y=﹣2x中，y随x的增大而减小；

（4）样本8，8，9，10，12，12，12，13的中位数与众数分别是12，12．

其中正确命题的序号是　　　　　　（把你认为正确的序号都填上）．

29．（2001•河北）在Rt△ABC中，锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D，则∠ADB=　　　　　　度．

三．解答题（共1小题）

30．（2005•宁德）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．

2016年06月25日yux的初中数学组卷平行线的证明

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．（2014•福鼎市模拟）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=

∠ABC，∠A1CD=

∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的

，根据此规律即可得解．

【解答】解：

∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，

∴∠A1BC=

∠ABC，∠A1CD=

∠ACD，

又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，

∴

（∠A+∠ABC）=

∠ABC+∠A1，

∴∠A1=

∠A，

∵∠A1=α．

同理理可得∠A2=

∠A1=

α

则∠A2013=

．

故选D．

【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．

2．（2009•萧山区校级模拟）下列命题：

①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；

②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；

③若b2﹣4ac＞0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．

其中正确的是（　　）（根据2008武汉卷改编）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【分析】根据△与0的关系，即可求出答案．

【解答】解：

①若a+b+c=0，则b=﹣a﹣c，

∴b2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，正确；

②若b=2a+3c则△=b2﹣4ac=4a2+9c2+12ac﹣4ac=4a2+9c2+8ac=（2a+2c）2+5c2，

∵a≠0

∴△恒大于0，

∴有两个不相等的实数根，正确；

③若b2﹣4ac＞0，则二次函数的图象，一定与x轴有2个交点，

当与y轴交点是坐标原点时，与x轴的交点有两个，且一个交点时坐标原点，抛物线与坐标轴的交点个数是2．

当与y轴有交点的时候（不是坐标原点），与坐标轴的公共点的个数是3，正确．

故选D．

【点评】本题考查命题的真假性，是易错题．需注意对根的判别式的应用．

二．填空题（共27小题）

3．（2012•曾都区校级模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP=　54°　．

【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．

【解答】解：

过P点作PF⊥BA于F，PN⊥BD于N，PM⊥AC于M，

设∠PCD=x°，

∵CP平分∠ACD，

∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，

∴PF=PM，

又∵PF⊥BA于F，PM⊥AC于M，

∴∠FAP=∠PAC．

∵∠BPC=36°，

∴∠ABP=∠PBC=（x﹣36）°，

∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣36°）﹣（x°﹣36°）=72°，

∴∠CAF=108°，

∴∠FAP=∠PAC=54°．

故答案为：

54°．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．

4．（2013春•鄂尔多斯校级月考）如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．

（1）AE与FC会平行吗？

说明理由．

（2）AD与BC的位置关系如何？

为什么？

（3）BC平分∠DBE吗？

为什么．

【分析】

（1）证明∠1=∠CDB，利用同位角相等，两直线平行即可证得；

（2）平行，根据平行线的性质可以证得∠A=∠CBE，然后利用平行线的判定方法即可证得；

（3）∠EBC=∠CBD，根据平行线的性质即可证得．

【解答】解：

（1）平行．理由如下：

∵∠1+∠2=180°，∠2+∠CDB=180°（邻补角定义）

∴∠1=∠CDB

∴AE∥FC（同位角相等两直线平行）

（2）平行．理由如下：

∵AE∥CF，

∴∠C=∠CBE（两直线平行，内错角相等）

又∵∠A=∠C

∴∠A=∠CBE

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

（3）平分．理由如下：

∵DA平分∠BDF，

∴∠FDA=∠ADB

∵AE∥CF，AD∥BC

∴∠FDA=∠A=∠CBE，∠ADB=∠CBD

∴∠EBC=∠CBD．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．

5．（2011•广东模拟）如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1=　

　．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010=　

　．

【分析】根据三角形的外角定理可知∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线定义得∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，代入∠ACD=∠A+∠ABC中，与∠A1CD=∠A1+∠A1BC比较，可得∠A1=

=

，由此得出一般规律．

【解答】解：

∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，

∴2∠A1CD=∠A+2∠A1BC，即∠A1CD=

∠A+∠A1BC，

∴∠A1=

=

，

由此可得∠A2010=

．

故答案为：

，

．

【点评】本题考查了三角形外角和定理的运用．关键是根据外角和定理，角平分线的定义，列方程变形，得出一般规律．

6．（2012•烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为　85　度．

【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．

【解答】解：

∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，

∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，

∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．

故答案为：

85．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

7．（2012•乐山）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：

（1）∠A1=　

　；

（2）∠An=　

　．

【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=

∠ABC，∠A1CD=

∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；

（2）与

（1）同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的

，根据此规律即可得解．

【解答】解：

（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，

∴∠A1BC=

∠ABC，∠A1CD=

∠ACD，

又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，

∴

（∠A+∠ABC）=

∠ABC+∠A1，

∴∠A1=

∠A，

∵∠A=θ，

∴∠A1=

；

（2）同理可得∠A2=

∠A1=

•

θ=

，

所以∠An=

．

故答案为：

（1）

，

（2）

．

【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．

8．（2010•资阳）给出下列命题：

①若方程x2+5x﹣6=0的两根分别为x1，x2，则

；

②对于任意实数x、y，都有（x﹣y）（x2+xy+y2）=x3﹣y3；

③如果一列数3，7，11，…满足条件：

“以3为第一个数，从第二个数开始每一个数与它前面相邻的数的差为4”，那么99不是这列数中的一个数；

④若※表示一种运算，且1※2=1，3※2=7，4※4=8，…，按此规律，则可能有a※b=3a﹣b．

其中所有正确命题的序号是　①②④　．

【分析】根据各命题考查的知识点，依次进行各命题的判断即可．

【解答】解：

①x1+x2=﹣5，x1x2=﹣6，故

+

=

=

，①为真命题；

②（x﹣y）（x2+xy+y2）=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3=x3﹣y3，②为真命题；

③这一列数均满足：

4n﹣1（n为正整数），4n﹣1=99，则n=25，即第25个数就是99，99是这列数中的一个数，③是假命题；

④因为1※2=1，当a=1，b=2时，即有a※b=3a﹣b，故④是真命题．

综上可得①②④是真命题．

故答案为：

①②④．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，涉及了根与系数的关系，数字的规律变化及特殊运算符号的运算规律，有一定难度，注意熟练掌握各知识点是关键．

9．（2010•茂名）小慧同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如图．

家务项目

擦窗

洗菜

洗饭煲、洗米

炒菜（用煤气炉）

饭煲（用电饭煲）

完成各项家务所需时间

5分钟

4分钟

3分钟

20分钟

30分钟

小慧同学完成以上各项家务活，至少需要　33　分钟．（注：

各项工作转接时间忽略不计）．

【分析】此题是统筹安排的问题，比如用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜，按此思路进行解答．

【解答】解：

因为用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜，

所以小慧同学完成以上五项家务活，至少需要3+30=33分钟．

【点评】这是一道非常实际的题目，统筹安排的思想在生活中应用较广，灵活掌握有利提高工作效率．

10．（2009•常德）如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=　20　度．

【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理求得．

【解答】解：

∵AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，

∴∠CBD=∠1=130°．

∵∠BDC=∠2，

∴∠BDC=30°．

在△BCD中，∠CBD=130°，∠BDC=30°，

∴∠C=180°﹣130°﹣30°=20°．

【点评】本题应用的知识点为：

三角形的外角与内角的关系及两直线平行，同位角相等．

11．（2009•攀枝花）阅读下面的命题：

①中国国家男子足球队和巴西国家男子足球队比赛，中国国家男子足球队赢得比赛这一事件是不可能事件；②到三角形三顶点距离相等的点是这个三角形三边的中垂线的交点；③一组数据﹣2，﹣1，0，1，2，3的极差是5，中位数是0和1；④如果三个正数a、b、c的三条线段满足a+b＞c，则一定可以围成一个三角形；⑤若点P是△ABC中∠ABC的平分线和外角∠ACE的平分线的交点，则∠BPC=

∠A．以上命题中，正确的命题序号是　②⑤　．（将正确的命题序号全部写上）

【分析】分别根据随机事件、三角形的外心、极差、中位数、三角形的三边关系、三角形角平分线的性质进行逐一分析即可．

【解答】解：

①错误，是随机事件，可能发生；

②正确，符合三角形中垂线的定义；

③错误，根据极差的计算公式及中位数的定义可知，一组数据﹣2，﹣1，0，1，2，3的极差是5，中位数是

．

④错误，如果三个正数a、b、c的三条线段满足a+b＞c＞a﹣b，则一定可以围成一个三角形；

⑤正确，根据三角形角平分线的性质可以证明．

故正确的命题序号是②、⑤．

【点评】此题比较复杂，具有较强的综合性，解答此题的关键是熟知各知识点的定义及性质．

12．（2009•广州）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：

　如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直　．

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．

【解答】解：

命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”的逆命题是“如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直”．

【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

13．（2008•永州）如图，直线a，b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件　∠1=∠3　（填一个即可）．

【分析】欲证a∥b，在图中发现a、b被一直线c所截，故可按同位角相等两直线平行补充条件．

【解答】解：

∵∠1=∠3，

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．

故答案为：

∠1=∠3

【点评】本题答案不唯一．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．

14．（2007•玉溪）小颖中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：

①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各道工序，除④