菱形性质经典练习题详细答案.docx
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菱形性质经典练习题详细答案
菱形性质经典练习题
一.选择题（共4小题）
1.（2011•衡阳）如下图，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3,4）,那么顶点M、N的坐标分别是（）
A.M（5,0）,N（8,4）B.M（4,0）,N（8,4）C.M（5,0）,N
D.M（4,0）,N（7,4）
2.
（2010•肇庆）A.2B.
3.
4.
（2010•襄阳）
A.3：
1B.
（2010•宜昌）菱形的周长为4,一个内角为60。
，那么较短的对角线长为（
Vsc.1D.A2
菱形的周长为8cm,高为1cm,那么该菱形两邻角度数比为（4：
1C,5：
1D.6：
1
如图，菱形ABCD中，AB=15,NADC=120。
，那么B、D两点之间的距离为（A.15B.
C.7.5D.1573二.填空题（共15小题）
5.（2011•铜仁地区）菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,那么它的面积是cm2.
6.（2011•恭江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH_LAB,垂
8
.（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=13,AC=10,过点D作DEIIAC交BC的延长线于点E,那么4BDE的周长为.
9.（2010•嘉兴）如图，菱形ABCD的一个内角NBAD=80。
，对角线AC、BD相交于点O,点E在AB上且
BE=BO,那么NBEO二
10
.（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm,假设墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,那么N1=度.
分析：
由得AC为NDAB的角平分线，且PE,PF分别到角两边的距离，根据角平分线的性质得到PE=PF.解答：
解：
・・ABCD是菱形•・AC为NDAB的角平分线
・・・PEJ_AB于点E,PFJ_AD于点F,PF=3cm.
PE=PF=3cm.
故答案为3.
如图，菱形ABCD中，NB=60。
，AB=4,那么以AC为边长的正方形ACEF的周长为-16.
点评：
此题考查了菱形的性质及角平分线的性质的运用.
菱形的性质；正方形的性质。
计算题。
根据可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC=AB,再根据正方形的周长公式计算即可.
解：
..B=60°,AB=BC
△ABC是等边三角形•.AC=AB=4
二正方形ACEF的周长=4x4=16.
16故答案为.
点评：
此题考查菱形与正方形的性质.
15.（2005•黄石）菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：
4,那么菱形的面积为96cn?
.
考点：
菱形的性质。
专题：
计算题。
分析：
根据可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积.解答：
解：
设两条对角线长分别为3x,4x,根据勾股定理可得（&）2+（&）2=102,
22解之得,x=4,
那么两条对角线长分别为12cm、16cm,
菱形的面积=12xl6+2=96cm2.
故答案为96.
点评：
主要考查菱形的面积公式：
两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理.
16.（2005•新疆）菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm,那么它的面积是120cn?
.
考点：
菱形的性质。
专题：
计算题。
分析：
菱形的周长以及一条对角线的长，根据菱形的性质利用勾股定理可求得另一对角线的长度，然后易求得菱形的面积.
解答:
解：
由题意可得,AD=13cm,OA=12cm,根据勾股定理可得，OD=5cm,那么BD=10cm,那么它的面积是24xl0xJ：
=120cm2.
2故答案为：
120.
\\点评：
此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理.
17.（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PEIIBC交AB于E,PFIICD交AD于F,那么阴影局部的面积是2.5.
菱形的性质。
专题：
计算题。
分析：
根据题意可得阴影局部的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据可求得菱形的面积那么不难求得阴影局部的面积.
解答：
解：
阴影局部的面积等于△ABC的面积.
△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积二1AOBD=5,
2•・图中阴影局部的面积为5+2=2.5.
故答案为2.5.
点评：
此题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影局部的面积等于菱形面积的一半是解题的关键.
18.（2003•温州）如图：
菱形ABCD中，AB=2,ZB=120°,E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，那么PE+PB的最小值是
考点：
菱形的性质；线段垂直平分线的性质。
专题：
动点型。
分析：
过点E作PE_LAB,交AC于P,那么PA=PB,根据得至ljPA=2EP,根据勾股定理可求得PE,PA的值,从而可得到PE+PB的最小值.
解答：
解：
当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值.
过点E作PE_LAB,交AC于P,那么PA=PB.
・/ZB=120°•.ZCAB=30°
・•.PA=2EP・,AB=2,E是AB的中点
・・.AE=1在RtZkAPE中，PA2-PE2=1
，pa=^/3・..PE+PB=PE+PA=V5.
故答案为证.
点评：
此题考查的是中垂线，菱形的邻角互补.勾股定理和最值.此题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值.
19.如图：
点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且NEAF=ND=60。
，NFAD=45。
，那么NCFE=45度.
菱形的性质；等边三角形的判定。
专题：
计算题。
分析：
首先证明△ABE"△ACF,然后推出AE=AF,证明△AEF是等边三角形，最后可求出NAFD,NCFE的度数.
解答:
解:
连接AC,•/菱形ABCD,・•.AB=AC,ZB=ZD=60°,
・•.△ABC为等边三角形，ZBCD=120°..AB=AC,NACF」NBCD=60。
，
2
ZB=ZACF,
△ABC为等边三角形，・•.ZBAC=60。
，即NBAE+ZEAC=60。
，
又NEAF=60。
，即NCAF+NEAC=60。
，/.ZBAE=NCAF,
rzb=zacf在^ABE与aACF中彳AB=AC
Izbae=zcaf
△ABE合△ACF（ASA）,二AE二AF,
又NEAF=ZD=60。
，那么4AEF是等边三角形，
ZAFE=60°,又NAFD=180°-45°-60°=75°,
贝CFE=180°-75°-60°=45°.
故答案为45.
点评：
此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理.
三.解答题（共7小题）（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，A（0,4）,B（-3,0）.
（1）求点D的坐标；
（2）求经过点C的反比例函数解析式.
考点：
菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式。
专题：
代数几何综合题；数形结合。
分析：
（1）菱形的四边相等，对边平行，根据此可求出D点的坐标.
（2）求出C点的坐标，设出反比例函数的解析式，根据C点的坐标可求出确定函数式.
解答:
解:
（1）-/A（0,4）,B（-3,0）,OB=3,OA=4,
.二AB=5.
在菱形ABCD中，AD=AB=5,・•.OD=1,
・•・D（0,-1）.
（2）,/BCIIAD,BC=AB=5,・•・C（-3,-5）.
设经过点C的反比例函数解析式为y=Kx
把（-3,-5）代入解析式得：
k=15,・V-15
-y-—•x
点评：
此题考查菱形的性质，四边相等，对边平行，以及待定系数法求反比例函数解析式.
21.（2011•广安）如下图，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DEIIAC交BC的延长线于点E.
求证：
DE—BE.
专题：
证明题。
分析：
由四边形ABCD是菱形，NABO60。
，易得BD_LAC,NDBC=30。
，又由DEIIAC,即可证得DE_LBD,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=』BE.
解答：
证明:
法一：
如右图，连接BD,・.四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,
•,.BD±AC,ZDBC=30°,・,DEIIAC,
/.DE±BD,即NBDE=90°,
••.DE•BE.
2法二：
:
四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,
・•・ADIIBC,AC=AD,,/ACIIDE,・•・四边形ACED是菱形，
.・.DE=CE=AC=AD,又四边形ABCD是菱形，
・•.AD=AB=BC=CD,・・.BC=EC=DE,即C为BE中点,
.・.DE=BC二」BE.2直角三角形的性质等知识.此题难度不大，注意数形结合思想的应用.
22.（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，NA=60。
，AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE_LAB,垂足为E.
（1）求NABD的度数；
（2）求线段BE的长.
分析：
（1）根据菱形的四条边都相等，又NA=60。
，得到△ABD是等边三角形，NABD是60。
；
（2）先求出OB的长和NBOE的度数，再根据30。
角所对的直角边等于斜边的一半即可求出.
解答：
解：
（1）在菱形ABCD中，AB=AD,NA=60。
，•.△ABD为等边三角形，
・・.NABD=60。
；（4分）
（2）由
（1）可知BD=AB=4,又丁。
为BD的中点，•.OB=2（6分），
X/OE±AB,及NABD=60。
・•.ZBOE=30。
，
/.BE=1.（8分）点评：
此题利用等边三角形的判定和直角三角形30。
角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握.
23.（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE_LAD、BF±CD,垂足分别为E、F.
（1）求证：
BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长.
菱形的性质；全等三角形的判定与性质。
分析：
（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE与4CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明;
（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出.
解答：
（1）证明：
•・・四边形ABCD是菱形，..AB=CB,NA=NC,
・BE_LAD、BF±CD,•.ZAEB=ZCFB=90°,在^ABE>fnACBF中，rzA=zc
]ab=cbIzAEB^ZCFB=90°
・•.△ABE兰△CBF（AAS）,•・BE二BF.
（2）解:
如图,・,对角线AC=8,BD=6,
・•・对角线的一半分别为4、3,•.菱形的边长为万7^=5，
菱形的面积=5BE=°x8x6,2解得BE=&.
5
点评：
此题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法.
24.（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE.
（1）证明：
ZAPD二NCBE；
（2）假设NDAB=60。
，试问P点运动到什么位置时，4ADP的面积等于菱形ABCD面积的工，为什么？
D
考点：
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
专题：
证明题；动点型。
分析：
（1）可先证ABCEM△DCE得到NEBC=NEDC,再根据ABIIDC即可得到结论.
（2）当P点运动到AB边的中点时，SaADP二1S菱形ABCD,证明SaADP二1x』AB・DP=1S菱形ABCD即可.
4224解答：
（1）证明：
・・・四边形ABCD是菱形
..BC=CD,AC平分NBCD（2分）•/CE=CE
「.△BCE空△DCE（4分）
ZEBC=ZEDC又「ABIIDC
/.ZAPD=NCDP（5分）・•.ZEBC=NAPD（6分）
（2）解：
当P点运动到AB边的中点时，S^ADP=菱形ABCD.（8分）4
理由：
连接DB
ZDAB=60°,AD=AB・•.△ABD等边三角形（9分）
TP是AB边的中点..DP_LAB（10分）
Saadp=—AP*DP,S菱形ABCD二AB・DP（11分）2
•/AP二1AB2
SaADP—X-AB*DP=-S菱形ABCD224
即^ADP的面积等于菱形ABCD面积的1.（12分）
点评：
此题主耍考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当P点运动到AB边的中点时，S^adp二1S菱形ABCD是4
难点.
25.（2006•大连）：
如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜测并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）.
（1）连接AF；
（2）猜测：
AF=AE；（3）证明：
（说明：
写出证明过程的重要依据）
考点：
菱形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：
几何综合题。
分析：
观察图形应该是连接AF,可通过证△AFB和△ADE全等来实现AF=AE.
解答：
解：
（1）如图，连接AF；
（2）AF=AE；（3）证明：
四边形ABCD是菱形.
AB=AD,/.ZABD=NADB,
ZABF二NADE,在^ABF和^ADE中（AB二AD
ZABF=ZADEIBF=DE
.・.△ABF兰△ADE,
可以通过全等三角形来证明.
26.如下图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是lcm/s.
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？
如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
专题：
计算题。
分析：
（1）设经过x秒后，四边形AQCP是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所需的时间.
（2）根据第一问可求得菱形的边长，从而不难求得其周长及面积.
解答：
解：
（1）经过x秒后，四边形AQCP是菱形由题意得16+x2=（8-x）2,解得x=3
即经过3秒后四边形是菱形.
（2）由第一问得菱形的边长为5・.・菱形AQCP的周长=5x4=20（cm）
菱形AQCP的面积=5x4=20（cm2）点评：
此题主要考查菱形的性质及矩形的性质的理解及运用.
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锅炉知识
第一章锅炉基础知识第一节概述
一.锅炉的工作过程：
锅炉是一种利用燃料燃烧后释放的热能或工业生产中的余热传递给容器内的水，使水到达所需要的温度（热水）或一定压力蒸汽的热力设备。
它是由“锅”（即锅炉本体水压局部）、“炉”（即燃烧设备局部）、附件仪表及附属设备构成的一个完整体。
锅炉在“锅”与“炉”两局部同时进行，水进入锅炉以后，在汽水系统中锅炉受热而将吸收的热量传递给水，使水加热成一定温度和压力的热水或生成蒸汽，被引出应用。
在燃烧设备局部，燃料燃烧不断放出热量，燃烧产生的高温烟气通过热的传播，将热量传递给锅炉受热面，而本身温度逐渐降低，最后由烟囱排出。
“锅”与“炉”一个吸热，一个放热，是密切联系的一个整体设备。
锅炉在运行中由于水的循环流动，不断地将受热面吸收的热量全部带走，不仅使水升温或汽化成蒸汽,而且使受热面得到良好的冷却，从而保证了锅炉受热面在高温条件下平安的工作。
二.锅炉参数：
锅炉参数对蒸汽锅炉而言是指锅炉所产生的蒸汽数量、工作压力及蒸汽温度。
对热水锅炉而言是指锅炉的热功率、出水压力及供回水温度。
蒸发量（D）蒸汽锅炉长期平安运行时，每小时所产生的蒸汽数量，即该台锅炉的蒸发量，用表示，单位为吨/小时（t/h）o
（二）热功率（供热量Q）热水锅炉长期平安运行时，每小时出水有效带热量。
即该台锅炉的热功率，用表示，单位为兆瓦（MW）,工程单位为104千卡/小时（104Kcal/h）o
（三）工作压力工作压力是指锅炉最高允许使用的压力。
工作压力是根据设计压力来确定的，通常用MPa来表示。
（四）温度温度是标志物体冷热程度的一个物理量，同时也是反映物质热力状态的一个基本参数。
通常用摄氏度即
锅炉铭牌上标明的温度是锅炉出口处介质的温度，又称额定温度。
对于无过热器的蒸汽锅炉，其额定温度是指锅炉额定压力下的饱和蒸汽温度；对于有过热气的蒸汽锅炉，其额定温度是指过热气出口处的蒸汽温度；对于热水锅炉，其额定温度是指锅炉出口的热水温度。
第二节锅炉的分类和规格型号一.锅炉的分类
由于工业锅炉结构形式很多，且参数各不相同，用途不一，故到目前为止，我国还没有一个统一的分类规那么。
其分类方法是根据所需要求不同，分类情况就不同，常见的有以下几种。
1.按锅炉的工作压力分类低压锅炉：
PW2.5MPa；
中压锅炉:
P=2.6^5.9MPa；高压锅炉:
P=6.0^13.9MPa；
超高压锅炉：
P^14MPao.按锅炉的蒸发量分类
（1）小型锅炉：
D<20吨/小时；
（2）中型锅炉:
D=20s中吨/小时;
（3）大型锅炉：
D>75吨/小时。
2.按锅炉用途分类电站锅炉、工业锅炉和生活锅炉。
14.（2006•云南）：
如图，菱形ABCD中，NB=60。
，AB=4,那么以AC为边长的正方形ACEF的周长为（2005•黄石）菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：
4,那么菱形的面积为cm2.
15.（2005•新疆）菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm,那么它的面积是cm2.
16.
（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PEIIBC交AB于E,PFIICD交AD于F,那么阴影局部的面积是.
17.（2003•温州）如图：
菱形ABCD中，AB=2,ZB=120°,E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，那么PE+PB的最小值是.
18.如图：
点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且NEAF=ZD=60°,ZFAD=45°,那么NCFE=度.
三.解答题（共7小题）（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，A（0,4）,B（-3,0）.
（1）求点D的坐标；
（2）求经过点C的反比例函数解析式.
20.
（2011•广安）如下图，在菱形ABCD中，NABC=60。
，DEIIAC交BC的延长线于点E.
4.按锅炉出口介质分类蒸汽锅炉，热水锅炉，汽、水两用锅炉。
5.按采用的燃料分类燃煤锅炉、燃油锅炉和燃气锅炉。
二.锅炉的规格
锅炉与其它机电设备一样，都有其一定规格和型号，以说明设备的性能，工业蒸汽锅炉和热水锅炉的系列标准GB1921、GB3166对其各参数均作了相应的规定。
然而，随着开放搞活，用户对锅炉的需求也越来越多样化、实用化。
故近年来，设计制造锅炉单位也随着市场需求而生产产销对路的锅炉产品，最大限度满足用户要求。
三.锅炉型号
我国工业锅炉产品的型号的编制方法是依据JB1626标准规定进行的。
其型号由三局部组成。
各局部之间用短线隔开。
表示方法如下：
上述型号的第一局部表示锅炉型式，燃烧方式和额定蒸发量或额定热功率。
共分三段：
第一段用两个汉语拼音表示锅炉总体形式见表1—1和表1—2；第二段用一个汉语拼音字母代表燃烧方式（废热锅炉无燃烧方式代号）见表1—3；第三段用阿拉伯数字表示蒸汽锅炉的额定蒸发量，单位为t/h（吨/小时），或热水锅炉的额定热功率，单位为MW（兆瓦）或废热锅炉的受热面，单位为m2（平方米）。
第二章锅炉结构第一节常用中小型锅炉
一.立式锅壳锅炉立式锅壳锅炉主要有立式横水管锅炉和立式多横水管锅炉、立式直水管锅炉、立式弯水管锅炉和立式火管锅炉等，目前应用较多的是后三种。
由于立式锅炉的热效率低和机械化燃烧问题难以解决，并且炉膛水冷程度大，不宜燃用劣质煤，目前产量逐渐减少，只是局限在低压小容量及环保控制不严及供电不正常的地少量应用。
如我厂的LHG系列产品。
二.卧式锅壳锅炉
卧式锅壳式锅炉是工业锅炉中数量最多的一种。
目前已由原来最大生产4t/h（少量的也有6t/h）发展到可以生产40t/h锅壳式锅炉。
1.卧式内燃锅壳式锅炉
卧式内燃锅壳式锅炉以其高度和尺寸较小，适合组装化的需求，采用微正压燃烧时，密封问题容易解决，而炉膛的形状有利于燃油燃气，故在燃油（气）锅炉应用较多，燃煤锅炉应用较少。
如我厂WNS系列卧式内燃室燃锅壳式燃油（气）锅炉。
2.卧式外燃锅壳式锅炉
这是我国工业锅炉中使用的最多、最普遍的一种炉型，按现行的工业锅炉型号编制方法，应用代号WW,但目前国内锅炉行业均用水管锅炉的形式代号DZ来表示。
如我厂的DZL系列产品。
卧式外燃水火管锅炉与卧式内燃水火管锅炉的主要区别，在于卧式外燃水火管锅炉将燃烧装置从锅壳中移出来，加大了炉排面积和炉膛体积，并在锅壳两侧加装了水冷壁管，组成燃烧室，为煤的燃烧创造了良好条件，因此燃料适应性较广，热效率较高。
三.水管锅炉
水管锅炉在锅筒外部设水管受热面，高温烟气在管外流动放热，水在管内吸热。
由于管内横断面比管外小，因此汽水流速大大增加，受热面上产生的蒸汽立即被冲走，这就提高了锅水吸热率。
与锅壳式锅炉相比水管锅炉锅筒直径小，工作压力高，锅水容量小，一旦发生事故，灾害较轻，锅炉水循环好，蒸发效率高，适应负荷变化的性能较好，热效率较高。
因此，压力较高，蒸发量较大的锅炉都为水管锅炉。
常见的水管锅炉有双锅筒横直式水管、双锅筒纵置式水管锅炉和单锅筒纵置式水管锅炉，如我厂SZL系列产品。
四.热水锅炉
热水锅炉是指水在锅炉本体内不发生相变，即不发生蒸汽，回水被送入锅炉后通过受热面吸收了烟气的热量，未到达饱和温度便被输入热网中的一种热力设备。
（一）热水锅炉的特点.锅炉的工作压力
热水锅炉的工作压力取决于热系统的流动阻力和定压值。
热水锅炉铭牌上给出的工作压力只是说明锅炉强度允许承受的压力，而在实际运行中，锅炉压力往往低于这个值。
因此热水锅炉的平安裕度比较大。
1.烟气与锅水温差大，水垢少，因此传热效果好，效率较高。
2.使用热水锅炉采暖的节能效果比拟明显。
热水锅炉采暖不存在蒸汽采暖的蒸汽损失，并且排污损失也大为减少，系统及疏水器的渗漏也大为减少，散热损失也同样随之减少。
因此热水采暖系统比蒸汽采暖系统可节省燃料20%左右。
3.锅炉内任何局部都不允许产生汽化，否那么会破坏水循环。
4.如水未经除氧，氧腐蚀问题突出；尾部受热面容易产生低温酸性腐蚀。
5.运行时会从锅水中析出溶解气体，结构上考虑气体排除问题。
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