《正弦定理》教学导案.docx
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《正弦定理》教学导案
《正弦定理》教案
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《正弦定理》教学设计
一、教学目标分析
1、知识与技能:
通过对锐角三角形中边与角的关系的探索,发现正弦定理;掌握正弦定理的内容及其证明方法;能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。
2、过程与方法:
让学生从实际问题出发,结合以前学习过的直角三角形中的边角关系,引导学生不断地观察、比较、分析,采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理,使学生体会完全归纳法在定理证明中的应用;让学生在应用定理解决问题的过程中更深入的理解定理及其作用。
3、情感态度与价值观:
面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,发现并证明正弦定理。
从发现与证明的过程中体验数学的探索性与创造性,让学生体验成功的喜悦,激发学生的好奇心与求知欲。
培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力,并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点分析
重点:
通过对锐角三角形边与角关系的探索,发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
难点:
①正弦定理的发现与证明过程;②已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。
三、教法与学法分析
本节课是教材第一章《解三角形》的第一节,所需主要基础知识有直角三角形的边角关系,三角函数相关知识。
在教法上,根据教材的内容和编排的特点,为更有效的突出重点,突破难点,教学中采用探究式课堂教学模式,首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手,设计恰当的问题情境,将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系,通过学生自己的亲身体验,使学生经历正弦定理的发现过程,激发学生的求知欲,调动学生主动参与的积极性,引导学生尝试运用新知识解决新问题,即在教学过程中,让学生的思维由问题开始,通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。
教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践,通过对定理的推导、解读、应用,引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律,形成一般结论。
在学法上,采用个人探究、教师讲解,学生讨论相结合的方法,让学生在问题情境中学习,自觉运用观察、类比、归纳等思想方法,体验数学知识的内在联系,重视学生自主探究,增强学生由特殊到一般的数学思维能力,形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。
四、学情分析
对于高一的学生来说,已学的平面几何,解直角三角形,三角函数等知识,有一定观察分析、解决问题的能力,但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度,因此思维灵活性受到制约。
同时,由于学生目前还没有学习平面向量,因此,对于正弦定理的证明方法——向量法,本节课没有涉及到。
根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习主动性,多加以前后知识间的联系,带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
五、教学工具
多媒体课件
六、教学过程
创设情境,导入新课
兴趣是最好的老师。
如果一节课有个好的开头,那就意味着成功了一半。
上课一开始,我先提出问题:
工人师傅的一个三角形模型坏了,只剩下如图所示的部分,
,AB的长为1m,但他不知道AC和BC的长
是多少而无法去截料,你能告诉师傅这两边的长度吗?
教师:
请大家思考,看看能否用过去所学过的知识解决
这个问题?
(约2分钟思考后学生代表发言)
学生活动一:
(教师提示)把这个实际问题抽象为数学模型——那就是“已知三角形中的两角及夹边,求另外两边的长”,本题是通过三角形中已知的边和角来求未知的边和角的这个过程,我们把它习惯上叫解三角形,要求边的长度,过去的做法就是把未知的边必须要放在直角三角形中,利用勾股定理或三角函数进行求解,即本题的思路是:
“把一般三角形转化为直角三角形”,也就是要“作高”。
学生:
如图,过点A作BC边上的高,垂直记作D
然后,首先利用题目中的已知数据求出角C的大小,接着把题目中的相关数据和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函数知识可分别求出CD和BD的长度,把所求出的CD和BD的长度相加即可求出BC的长度。
教师:
这位同学的想法和思路非常好,简直是一位天才
(同时再一次回顾该同学具体的做法)
教师:
能否像求AC的方法一样对BC进行求解呢?
学生:
可以
教师:
那么具体应该怎么做呢?
学生:
过点B向AC作高,垂直记作E,如图:
接下来,只需要将相关的数据代入即可求出BC的长度
教师:
总结学生的做法
通过作两条高线后,即可把AC、BC的长度用已知的边和角表示出来
接下来,只需要将题目中的相关数据代入,本题便迎刃而解。
定理的发现:
教师:
如果把本题目中的有关数据变一下,其中A=50o,B=80o大家又该怎么做
呢?
学生1:
同样的做法(仍得作高)
学生2:
只需将已知数据代入上述等式即可求出两边的长度
教师:
还需要再次作高吗?
学生:
不用
教师:
对于任意的锐角三角形中的“已知两角及其夹边,求其他两边的长”的问
题是否都可以用上述两个等式进行解决呢?
学生:
可以
教师:
既然这两个等式适合于任意的锐角三角形,那么我们只需要记住这两个
等式,以后若是再遇见锐角三角形中的这种问题,直接应用这两个等式
并进行代入求值即可。
教师:
大家看看,这两个等式的形式是否容易记忆呢?
学生:
不容易
教师:
能否美化这个形式呢?
学生:
美化之后可以得到:
(定理)
教师:
锐角三角形中的这个结论,到底表达的是什么意思呢?
学生:
在锐角三角形中,各边与它所对角的正弦的比相等
教师:
那么锐角三角形中的这个等式能否推广到任意三角形中呢?
那么接下来就
让我们分别来验证一下,看看这个等式在直角三角形和钝角三角形中是否
成立。
定理的探索:
教师:
大家知道,在直角三角形ABC中:
若
则:
所以:
故:
即:
在直角三角形中也成立
教师:
那么这个等式在钝角三角形中是否成立,我们又该如何验证呢?
请大家思考。
学生活动二:
验证
在钝角三角形中是否成立
教师(提示):
要出现sinA、sinB的值
必须把A、B放在直角三角形中
即就是要作高(可利用诱导公式将
转化为
)
学生:
学生可分小组进行完成,最终可由各小组组长
汇报本小组的思路和做法。
(结论成立)
教师:
我们在锐角三角形中发现有这样一个等式成立,接下来,用类比的方法对
它分别在直角三角形和钝角三角形中进行验证,结果发现,这个等式对于
任意的直角三角形和任意的钝角三角形都成立,那么我们此时能否说:
“这
个等式对于任意的三角形都成立”呢?
学生:
可以
教师:
这就是我们这节课要学习的《正弦定理》(引出课题)
定理的证明 教师:
展示正弦定理的证明过程
证明:
(1)当三角形是锐角三角形时,过点A作BC边
上的高线,垂直记作D,过点B向AC作高,垂直记作E,如图:
同理可得:
所以易得
(2)当三角形是直角三角形时;
在直角三角形ABC中:
若
因为:
所以:
故:
即:
(3)当三角形是钝角三角形时(角C为钝角)
过点A作BC边上的高线,垂直记作D
由三角形ABC的面积可得即:
故:
所以,对于任意的三角形都有
成立。
教师:
这就是本节课我们学习的正弦定理(给出定理的内容)
(解释定理的结构特征)
思考:
正弦定理可以解决哪类问题呢?
学生:
在一个等式中可以做到“知三求一”
定理的应用
教师:
接下来,让我们来看看定理的应用(回到刚开始的那个实际问题,用正弦
定理解决)(板书步骤)
随堂训练
学生:
独立完成后汇报结果或快速抢答
教师:
上述几道题目只是初步的展现了正弦定理的应用,其实正弦定理的应用相
当广泛,那么它到底可以解决什么问题呢,这里我送大家四句话:
“近测
高塔远看山,量天度海只等闲;古有九章勾股法,今看三角正余弦.”
以这四句话把正弦定理的广泛应用推向高潮)
课堂小结:
1、知识方面:
正弦定理:
2、其他方面:
过程与方法:
发现 推广 猜想 验证 证明
(这是一种常用的科学研究问题的思路与方法,希望同学们在今
后的学习中一定要注意这样的一个过程)
数学思想:
转化与化归、分类讨论、从特殊到一般
作业布置:
①书面作业:
P527
②查找并阅读“正弦定理”的其他证明方法(比如“面积法”、“向量法”等)
③思考、探究:
若将随堂训练中的已知条件改为以下几种情况,结果如何?
板书设计:
1、定理:
2、探索:
3、证明:
4、应用:
检测评估: