高考数学一轮复习教案含答案第7章 第4节 直线平面平行的判定及其性质Word下载.docx

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1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（　　）

（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．（　　）

（3）若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．（　　）

（4）若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）√

2．（教材改编）下列命题中，正确的是（　　）

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

D　[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]

3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的（　　）

A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

B　[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β

α∥β；

当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]

4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．

平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，

∴EF∥BD1，

又EF⊂平面ACE，

BD1⊄平面ACE，

∴BD1∥平面ACE.]

5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.

其中是真命题的是________．（填上序号）

②　[对于①，m∥n或m，n异面，故①错误；

易知②正确；

对于③，m∥β或m⊂β，故③错误；

对于④，α∥β或α与β相交，

故④错误．]

直线与平面平行的判定与性质

►考法1　直线与平面平行的判定

【例1】　如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝

AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

（1）求证：

AP∥平面BEF；

（2）求证：

GH∥平面PAD.

[证明]　

（1）连接EC，

因为AD∥BC，BC＝

AD，

所以BC

AE，

所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．

又因为F是PC的中点，

所以FO∥AP，

因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

（2）连接FH，OH，

因为F，H分别是PC，CD的中点，

所以FH∥PD，因为FH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以FH∥平面PAD.

又因为O是BE的中点，H是CD的中点，

所以OH∥AD，因为OH⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.所以OH∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，

所以平面OHF∥平面PAD.

又因为GH⊂平面OHF，

所以GH∥平面PAD.

►考法2　直线与平面平行的性质

【例2】　如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点（不包括A，D两点），平面CEC1∩平面BB1D＝FG.

证明：

FG∥平面AA1B1B.

[证明]　在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，

所以CC1∥平面BB1D.

又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.

因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.

而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，

所以FG∥平面AA1B1B.

[规律方法]　　判定线面平行的4种方法

（1）利用线面平行的定义（无公共点）；

（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；

（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；

（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β）.,注意：

构造平行的常见形式：

三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等.

如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

MA∥平面BDE.

（2）若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．

[解]　

（1）证明：

如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.

因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，

所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.

又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

所以AM∥平面BDE.

（2）l∥m，证明如下：

由

（1）知AM∥平面BDE，连接DM，MB.

又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，

所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，

又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，

所以m∥AM，所以l∥m.

平面与平面平行的判定与性质

【例3】　如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

[证明]　

（1）因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.

又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，

所以B，C，H，G四点共面．

（2）因为E，F分别为AB，AC的中点，

所以EF∥BC，

因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG.

因为A1G

EB，

所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.

因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG.

因为A1E∩EF＝E，

所以平面EFA1∥平面BCHG.

[拓展探究]　在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：

平面A1BD1∥平面AC1D.

[证明]　如图所示，连接A1C交AC1于点M，

因为四边形A1ACC1是平行四边形，

所以M是A1C的中点，连接MD，

因为D为BC的中点，

所以A1B∥DM.

因为A1B⊂平面A1BD1，

DM⊄平面A1BD1，

所以DM∥平面A1BD1.

又由三棱柱的性质知，D1C1

BD，

所以四边形BDC1D1为平行四边形，

所以DC1∥BD1.

又DC1⊄平面A1BD1.

BD1⊂平面A1BD1，

所以DC1∥平面A1BD1，

又因为DC1∩DM＝D，

DC1，DM⊂平面AC1D.

所以平面A1BD1∥平面AC1D.

[规律方法]　1.判定平面与平面平行的4种方法

（1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点（不常用）；

（2）面面平行的判定定理（主要方法）；

（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（客观题可用）；

（4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观题可用）；

注意：

谨记空间平行关系之间的转化

在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB，G，H分别是EC和FB的中点．求证：

GH∥平面ABC.

[证明]　取FC的中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC.

又EF∥DB，

所以GI∥BD，

又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，

所以平面GHI∥平面ABC.

因为GH⊂平面GHI，

所以GH∥平面ABC.

平行关系中的存在性问题

【例4】　如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形．

（1）证明：

平面AB1C∥平面DA1C1；

（2）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？

若存在，确定点P的位置；

若不存在，请说明理由．

由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知，AB1∥DC1（图略），

∵AB1⊄平面DA1C1，DC1⊂平面DA1C1，∴AB1∥平面DA1C1，

同理可证B1C∥平面DA1C1，

又AB1∩B1C＝B1，

∴平面AB1C∥平面DA1C1.

（2）存在这样的点P，使BP∥平面DA1C1.∵A1B1

AB

DC，

∴四边形A1B1CD为平行四边形．

∴A1D∥B1C.

在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP（图略），

∵B1B

C1C，∴B1B

CP，

∴四边形BB1CP为平行四边形，

则BP∥B1C，∴BP∥A1D，

∴BP∥平面DA1C1.

[规律方法]　解决存在性问题的一般方法,解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；

若找不到使结论成立的充分条件（出现矛盾），则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.

如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？

若存在，请确定点E的位置；

[解]　法一：

假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，

如图，取BB1的中点F，

连接DF，EF，ED，

则DF∥B1C1，

又DF⊄平面AB1C1，

B1C1⊂平面AB1C1，

∴DF∥平面AB1C1，

又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，

∴平面DEF∥平面AB1C1，

∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，

又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，

∴EF∥AB1，

∵点F是BB1的中点，

∴点E是AB的中点．

即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.

法二：

存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.

证明如下：

如图，取BB1的中点F，连接DF，

则DF∥B1C1.

∵DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，

∴DF∥平面AB1C1.

∵AB的中点为E，连接EF，ED，

则EF∥AB1.

∵EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，

∴EF∥平面AB1C1.

∵DF∩EF＝F，

∴平面DEF∥平面AB1C1.

而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.

1．（2020·

全国卷Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）

A　[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.

∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，

∴直线AB与平面MNQ相交．

B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，

∴AB∥MQ.

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.

D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.

又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

故选A.]

2．（2020·

全国卷Ⅱ）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝

AD，∠BAD＝∠ABC＝90°

.

直线BC∥平面PAD；

（2）若△PCD的面积为2

，求四棱锥PABCD的体积．

在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°

，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.

（2）如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝

AD及BC∥AD，∠ABC＝90°

得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.

因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.

设BC＝x，则CM＝x，CD＝

x，PM＝

x，PC＝PD＝2x.

如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，

所以PN＝

x.

因为△PCD的面积为2

，

所以

×

x×

x＝2

解得x＝－2（舍去）或x＝2.

于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2

所以四棱锥PABCD的体积V＝

2

＝4