人教版理数高考一轮复习 第7章 第4节 直线平面平行的判定及其性质.docx

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人教版理数高考一轮复习第7章第4节直线平面平行的判定及其性质

第四节　直线、平面平行的判定及其性质

[考纲传真]　（教师用书独具）1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．

（对应学生用书第111页）

[基础知识填充]

1．直线与平面平行

（1）直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判

定

定

理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面

a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α

性

质

定

理

一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

2.平面与平面平行

（1）平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面．

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定

定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β

性质

定理

两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

α∥β，a⊂α⇒a∥β

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

3.与垂直相关的平行的判定

（1）a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

（2）a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（　　）

（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．（　　）

（3）若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．（　　）

（4）若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．（　　）

（5）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√　（5）√

2．下列命题中，正确的是（　　）

A．若a∥b，b⊂α，则a∥α

B．若a∥α，b⊂α，则a∥b

C．若a∥α，b∥α，则a∥b

D．若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α

D　[A中还有可能a⊂α，B中还有可能a与b异面，C中还有可能a与b相交或异面，

只有选项D正确．]

3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]

4．三棱柱ABCA1B1C1中，过棱A1C1，B1C1，BC，AC的中点E，F，G，H的平面与平面________平行．

A1B1BA　[

如图所示，连接各中点后，易知平面EFGH与平面A1B1BA平行．]

5．（教材改编）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．

平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，

∴EF∥BD1，

又EF⊂平面ACE，

BD1⊂平面ACE，

∴BD1∥平面ACE.]

（对应学生用书第112页）

与线面平行相关命题的真假判断

（1）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

（2）（2017·全国卷Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）

（1）D　

（2）A　[

（1）A项，α，β可能相交，故错误；

B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；

C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；

D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，∴原命题正确，故D项正确．

（2）A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．

∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，

∴直线AB与平面MNQ相交．

B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，

∴AB∥MQ.

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，

∴AB∥MQ.

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，

∴AB∥NQ.

又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A．]

[规律方法]　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.

2.

（1）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.

（2）特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.

[跟踪训练]　（2017·唐山模拟）若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）

【导学号：

97190236】

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

D　[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．]

直线与平面平行的判定与性质

◎角度1　直线与平面平行的判定

　（2016·全国卷Ⅲ）如图741，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

图741

（1）证明MN∥平面PAB；

（2）求四面体NBCM的体积．

[解]　

（1）证明：

由已知得AM＝

AD＝2.

如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，

TN＝

BC＝2.

又AD∥BC，故TN

AM，

所以四边形AMNT为平行四边形，

于是MN∥AT.

因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，

所以MN∥平面PAB．

（2）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，

所以N到平面ABCD的距离为

PA．

如图，取BC的中点E，连接AE.

由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝

＝

.

由AM∥BC得M到BC的距离为

，

故S△BCM＝

×4×

＝2

.

所以四面体NBCM的体积VNBCM＝

×S△BCM×

＝

.

◎角度2　线面平行性质定理的应用

　如图742所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB．求证：

四边形EFGH是矩形．

图742

[证明]　∵CD∥平面EFGH，

而平面EFGH∩平面BCD＝EF，

∴CD∥EF.

同理HG∥CD，∴EF∥HG.

同理HE∥GF，

∴四边形EFGH为平行四边形，

∴CD∥EF，HE∥AB，

∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角．

又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.

∴平行四边形EFGH为矩形．

[规律方法]　1.证明线面平行的常用方法

（1）利用线面平行的定义（无公共点）.

（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）.

（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）.

（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）.

2.利用判定定理判定线面平行，注意三条件缺一不可，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面找其交线.

[跟踪训练]　如图743所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．

图743

（1）证明：

AD1∥平面BDC1；

（2）证明：

BD∥平面AB1D1.

[证明]　

（1）∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，

∴C1D1

DA，∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D，又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.

（2）连接D1D，

∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，

∴BB1∥D1D，

又∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，

∴BB1＝DD1，

故四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1，又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.

平面与平面平行的判定与性质

　如图744所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

图744

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

[证明]　

（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．

（2）在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，

∴EF∥BC．

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G

EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB．

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG.

在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：

HD∥平面A1B1BA．

[证明]　如图所示，连接HD，A1B，

∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，

∴HD∥A1B．

又HD⊄平面A1B1BA，

A1B⊂平面A1B1BA，

∴HD∥平面A1B1BA．

[规律方法]　证明面面平行的常用方法

（1）利用面面平行的定义.

（2）利用面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

（3）利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”.

（4）利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”.

（5）利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.

[跟踪训练]　在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点．求证：

平面MNP∥平面A1BD．【导学号：

97190237】

[证明]　如图，连接B1D1、B1C．

∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.

又B1D1∥BD，∴PN∥BD．

又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD．

同理，MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，

∴平面PMN∥平面A1BD．