《实数复习课》教学设计.docx

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《实数复习课》教学设计

《实数复习课》教学设计

教学目标

　　1.使学生进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；

　　2.理解无理数和实数的意义；　　

　　3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；

　　4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.

教学重点和难点

　　重点：

平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.

　　难点：

算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用.

教学过程设计

　　一、复习基本概念

　　1.什么叫一个数a的平方根，怎样表示?

什么叫数a的算术平方根?

怎样表示?

其中a可以分别表示什么数?

　　2.什么叫一个数a的立方根?

怎样表示?

其中a可以表示什么数?

　　3.任何实数都有平方根吗?

都有立方根吗?

　　4.什么叫无理数?

什么叫实数?

实数与数轴的点有什么关系?

　　答：

1.如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，表示为±a数.的非负的平方根叫做算术平方根，表示为a，其中a≥0.

　　2.如果一人数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，表示为3a，其中a为任意实数.

　　3.正数和0有平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，任何实数都有一个立方根.

　　4.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点一一对应.

　　二、例题　例1a为何值时，下列各式有意义?

（1）a2；　　

（2）－a；　　（3）a+2；　　（4）3a－1；　　（5）a+－a；　　（6）32a+1a.

　　要判断a为何值时各式有意义，首先要弄清各式都表示什么，成立的条件是什么.

（1），

（2），（3）式都表示算术平方根，（5）为两个算术平方根的和，各式被开方数都应为非负数，（4），（6）式都表示立方根.

　　任何实数都可以进行立方运算，但应注意，当被开方数是分数时，分数的分母不能为0.

　　解

（1）因为a为任何实数时，a2≥0，所以a为任意实数时，a2有意义.

（2）因为要使－a有意义，必须使－a≥0，即a≤0，所以当a≤0时，－a有意义.

　　（3）因为要使a+2有意义，必须a+2≥0，即a≥－2，所以当a≥－2时，a+2有意义.

　　（4）因为3a－1有意义，a－1可取任意实数，即a为任意实数，所以当a为任意实数时3a－1的意义.

　　（5）因为要使a有意义，必须使a≥0；要使－a有意义，必须使－a≥0，即a≤0，所以要使a+-a有意义，a必须等于0.因此仅当a=0时，a+-a有意义.

　　（6）因为2a+1a是分式，当a≠0时有意义，所以当a≠0时，32a+1a有意义.

　　例2计算：

（1）求5的算术平方根与2的平方根之和；（保留三位有效数字）

（2）｜2－5｜－｜5+2｜；（精确到0.01）　　

　　（3）｜a－π｜+｜2－a｜（2

　　上列各题是进行实数运算.

　　问：

计算各式的思路和方法是什么?

　　答：

根据各题的要求分别取其近似值，转化为有理数进行计算.含有绝对值的式子应先

根据实数绝对值的意义，去掉绝对值的符号，再进行计算.

　　解 

（1）因为5的算术平方根为5，2的平方根是±2.所以5的算术平方根与2的平方根之和为5±2.又因为5≈2.236，2≈1.414，所以

　　　　　　　　　　5+2≈2.236+1.414=3.65，　　

　　　　　　　　　　5－2≈2.236－1.414≈0.82.

（2）因为2＜5所以2－5=－（5－2）.所以

　　　　｜2－5｜－｜5+2｜=5－2－5－2

　　　　　　　　　　 =－22≈－2×1.414≈－2.83.

　　（3）因为2＜a＜π，所以

　　　　　　　　｜a－π｜=－（a－π）=π－a,｜2－a｜=－（2－a）=－2+a.

　　　因此｜a－π｜+｜2－a｜=π－a－2+a=π－2≈3.142－1.414=1.73.

　　指出：

　　1.例2中的有关运算实际是进行实数运算，有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立.

　　2.无理数的运算，可以转化为用相应的（或题目指定）近似有限小数进行，有的题目可根据问题的要求取其近似值，转化成有理数进行运算.

　　例3

（1）如图，已知正方形ABCD的面积是4a2，E，F，G，H分别为正方形四条边的中点，依次连结E，F，G，H得到一个正方形.求这个正方形的边长（用带根号的数表示）.

（2）当a=4时，正方形EFGH的边长是多少?

（精确到0.01）.

　　分析：

求正方形EFGH的边长，首先应求出正方形ABCD的边长.由于正方形的面积等于它的一边的平方，所以它的一条边是面积的算术平方根.

　　已知E，F，G，H是正方形ABCD的各边的中点，所以BF=BE,再在直角三角形EBF中，用勾股弦定理可求出EF的长.

　解 

（1）在正方形ABCD中，

 　AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

　　因为正方形ABCD的面积=AB2抽以AB2=4a2.

　　因为4a2＞0,a＞0，所以AB=4a2=2a.

　　同理，BC=2a.

　　因为E是AB中点，F是B中点，所以BE=12AB=a，BF=12BC=a.

　　在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=a2+a2=2a2,所以

　　　　　　　　　EF=2a2=2a（a＞0）.

（2）当a=4时，EF=42≈4×1.414=5.66.

　　三、小结

　　1.在解答有关被开方数是字母的式子是否有意义的问题，要根据所涉及的概念的意义去考虑，如例1中的

（1），

（2），（3），（5）各式都表示算术平方根，因此被开方数必须是非负数，从这个意义去考虑使式子有意义的字母的取值范围.

　　2.在进行实数运算时，可根据各题的要求分别取无理数的近似值，转化成有理数进行计算.对于含绝对值的式子，应先根据实数的绝对值的意义，去掉绝对值的符号再进行计算，有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然成立.

　　3.在代数中解答几何题，是代数和几何的综合，是数和形的结合，在解答过程中一定要结合图形的几何性质，把论证和计算结合起来.