材料力学公式汇总完全版.docx
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材料力学公式汇总完全版
1截面几何参数
序号
公式名称
公式
符号说明
（1.1）
截面形心位置
0AfAydA
乙=，%=——
AA
z为水平方向丫为竖直方向
（1.2）
截面形心位置
送乙A
~7—
送yiA
工A
yc-
工A
（1.3）
面积矩
Sz=JydA，Sy=JzdA
AA
（1.4）
面积矩
Sz=瓦A%，Sy=瓦Az
（1.5）
截面形心位置
SySz
zc—八，yc-A
AA
（1.6）
面积矩
Sy=Azc，Sz=Ayc
（1.7）
轴惯性矩
lz=Jy2dA，
A
Iy=fz2dA
A
（1.8）
极惯必矩
1P=JP2dA
A
（1.9）
极惯必矩
lp=lz+ly
（1.10）
惯性积
1zy=JzydA
A
（1.11）
轴惯性矩
Iz=i；A,
Iy"y2A
（1.12）
惯性半径（回转半径）
面积矩轴惯性矩
Sz=WSzi，Sy=WSyi
（1.13）
极惯性矩
1z=£1zi，
丨y=£lyi
惯性积
IIp，
1zy=》lzyi
Iz=Izc*a2A
（1.14）
平行移轴公式
2
ly=lyc+bA
丨zy=丨zcyc*abA
2应力与应变
序号
公式名称
公式
符号说明
（2.1）
轴心拉压杆横截面上的应力
N
=—
A
（2.2）
危险截面上危险点上的应力
N
。
maxa
（2.3a）
轴心拉压杆的纵向线应变
£=
l
（2.3b）
轴心拉压杆的纵向绝对应变
Al=丨—h=E」
（2.4a）
（2.4b）
胡克定律
=Ez
az=—
E
（2.5）
胡克定律
N.lAl=
EA
（2.6）
胡克定律
织知h
EA
（2.7）
横向线应变
也bD—b
bb
（2.8）
泊松比（横向变形系数）
v丄
z
1
&=
（2.9）
剪力双生互等定理
（2.10）
剪切虎克定理
I=gy
（2.11）
实心圆截面扭转轴横截面上
的应力
TP
XP=I
1P
（2.12）
实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力
TR
可max—
Ip
（2.13）
抗扭截面模量（扭转抵抗矩）
Ip
WT=—
R
（2.14）
实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力
丄
^max—
Wt
（2.15）
圆截面扭转轴的变形
—T」
GIp
（2.16）
圆截面扭转轴的变形
申一送®i―乞Til
GIp
（2.17）
单位长度的扭转角
申T
日=，日=——
1GIp
（2.18）
矩形截面扭转轴长边中点上的剪应力
TT
贰一Wtrb3
Wt是矩形截面
Wt的扭转抵抗矩
（2.19）
矩形截面扭转轴短边中点上的剪应力
石1=旳max
（2.20）
矩形截面扭转轴单位长度的扭转
角
T—T
GItG^b4
IT是矩形截面的
It相当极惯性矩
（2.21）
矩形截面扭转轴全轴的扭转角
G^b
与截
面咼宽
比h/b有关
的参数
（2.22）
平面弯曲梁上任一点上的线应变
P
（2.23）
平面弯曲梁上任一点上的线应力
—旦
P
（2.24）
平面弯曲梁的曲率
1M
厂EIz
（2.25）
纯弯曲梁横截面上任一点的正应
力
一血
Iz
（2.26）
离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力
—M.Vmax
max—
Iz
（2.27）
抗弯截面模量（截面对弯曲的抵抗矩）
I
Wz-
ymax
（2.28）
离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力
M
°max=777
Wz
（2.29）
横力弯曲梁横截面上的剪应力
*
VSzT=
Izb
s；被切割面积对中性轴
的
面积矩。
（2.30）
中性轴各点的剪应力
*
VSzmax
vmax..
Izb
（2.31）
矩形截面中性轴各点的剪应力
3V
”max-..
2bh
（2.32）
工字形和T形截面的面积矩
***
Sz=2Ayci
（2.33）
平面弯曲梁的挠曲线近似微分方
程
Elvz"=-M（x）
V向下为正
X向右为正
（2.34）
平面弯曲梁的挠曲线上任一截面的转角方程
Elzv=EI£=-（M（x）dx+C
（2.35）
平面弯曲梁的挠曲线上任一点挠度方程
Elzv=-JJM（x）dxdx+Cx+D
（2.36）
双向弯曲梁的合成弯矩
m=Jm2+my
（2.37a）
拉（压）弯组合矩形截面的中性轴在Z轴上的截距
・2
iy
az—Zo—-—
Zp
zp,yp是集中
力作用点的标
（2.37b）
拉（压）弯组合矩形截面的中性轴在Y轴上的截距
・2
iz
ay=yo=——
yp
3应力状态分析
序号
公式名称
公式
符号说明
（3.1）
单元体上任意截面上的正应力
CT+CTCT-a
y+ycosK—JsinN
22
（3.2）
单元体上任
意截面上的
剪应力
x_y.
sin2：
：
亠&cos2：
2
（3.3）
主平面方位
角
tan2：
o2x
6—J
（：
•0与-X反号）
（3.4）
最大主应力的计算公式
-■max
2
（3.5）
最小主应力的计算公式
、2
（3.6）
（3.7）
单元体中的
最大剪应力
主单元体的
八面体面上
的剪应力
W—°3
-max2
（3.8）
:
面上的线
应变
（3.9）
:
-+90°面之
间的角应变
（3.10）
主应变方向
公式
（3.11）
最大主应变
（3.12）
最小主应变
（3.13）
xy的替代公
（3.14）
主应变方向
公式
（3.15）
最大主应变
i=3、佑1_亦+阿"32+（▽
3
5十名y名x—£y'xy
二cos2二sin2：
222
xy=一（；x一；y）sin2>xycos2：
tan2：
xy
max
2
4
max
2
4
xy2
xy=2；45°
；max二
tan?
245
:
'x—£450
2
+
丿
J_£'i
y450I
L2
2丿
（3.16）
最小主应变
~22
5七y（J—'丄fSy—豔5。
'
max小訂小小
2L2丿i2丿
（3.17）
简单应力状态下的虎克定理
名x=辛，呂y=亠¥，呂z=一¥辛
（3.18）
空间应和状态下的虎克定理
5=£kx_¥（CTy+69利=音匕-吩z+耳P◎=丄£tQx+巧9
Ey
（3.19）
平面应力状
态下的虎克定理（应变形式）
1
S=E®x-By）名y（口y_VCTx）
E
—『于^）
（3.20）
平面应力状
态下的虎克定理（应力形式）
E
j=d2（JWy）
1-V
E
J—2（科+強％）
1-V
▽z=0
（3.21）
按主应力、主
应变形式写出广义虎克定理
%=1E_¥（ct2+cr3卩
S=£玩_呻3+W9客3=E^3如17jl
（3.22）
二向应力状态的广义虎克定理
1
坷一^2）
1
名2=評2-呷）%=_t（E
（3.23）
二向应力状态的广义虎克定理
-2®十嵋2）1-v
—2任+叫）1—V
6=0
（3.24）
剪切虎克定理
Jy=G?
xy
1yz=G?
yz
弋zx=G飞蠢
4内力和内力图
序号
公式名称
公式
符号说明
（4.1a）（4.1b）
外力偶的换算公式
Te=9.55匕n
Np
Te=7.02—n
（4.2）
分布何载集度剪力、弯矩之间的关系
dV（x）..
'‘=q（x）dx
q（x）向上
为正
（4.3）
dM（x）dx
（4.4）
d2M（x）（）
2—=q（x）
dx
5强度计算
序号
公式名称
公式
（5.1）
第一强度理论：
最大拉应力理论。
当▽1=fut（脆性材料）时S=fu*.（塑性材料）''材料发生脆性断裂破坏。
（5.2）
第二强度理论：
最大伸长线应变理论。
W—V®2+S）=fut（脆性材料）
当*时，
耳—V（＜!
2+。
3）=fu（塑性材料）
材料发生脆性断裂破坏。
（5.3）
第三强度理论：
最大剪应力理论。
当▽1_^3=fy（塑性材料）时—-^3=5（脆性材料）''
材料发生剪切破坏。
（5.4）
第四强度理论：
八面体面剪切理论。
当
¥虻-—丫十厲-^2+（—-SfLfy（塑性材料）
Ph——j-—2+（—-5^=fuc（脆性材料）
H2
时，材料发生剪切破坏。
（5.5）
第一强度理论相当应力
*
O"1=O"1
（5.6）
第二强度理论相当应力
2=O1—V（
（5.7）
第三强度理论相当应力
*
6=6
—6
（5.8）
第四强度理论相当应力
◎；=£治1一6）十Q
2.2]-口3）+（口2-。
3）
（5.9a）
由强度理论建立的强度条件
。
tmax兰[°t]
（5.9b）
（5.9c）
（5.9d）
由直接试验建立的强度条件
|%max兰[%]
Imax兰[E]
N
口tmax——A
5]
（5.10a）
（5.10b）
轴心拉压杆的强度条件
A
|N
^cmax七
A
-牛c]
*T
耳=。
1=Tmax=--^t
WT
］（适用于脆性材料）
CT2=CT1-¥（CT+CT3）=
（5.11a
（5.11b）
（5.11c）
（5.11d）
^max一¥（0—^max）=（1++Fmax兰[6]
由强度理论建立的扭转
轴的强度条件
Sax-兰（适用于脆性材料）
Wr1+v
—。
1一—^max—（—忑max）—2max兰]
陥ax=工兰凹（适用于塑性材料）
Wr2
1r2221
问—6）+何）+（s）」
—{2匕max—0）+（0+£max）+（—三max—忑max）'
—73忑max兰[°]
Emax=丄兰卑（适用于塑性材料）
Wt<3
（5.iie
由扭转试验建立的强度条件
巧max=—^]
Wt
（5.12a（5.12b）
平面弯曲梁的正应力强度条件
Mr、
▽tmax=廿兰[^t]Wz
|m|
▽cmax=了兰Qc]
wz
（5.13）
平面弯曲梁的剪应力强度条件
*
Tmax=VS^W]
Izb
（5.14a）
（5.14b）
平面弯曲梁的主应力强度条件
CT；=#CT2十42兰[CT]
CT；=JcT2十3巧2兰[石]
（5.15a）
（5.15a）
圆截面弯扭组合变形构件的相当弯矩
*
yM；+M：
+T2M；
==—3
13ww
*
Jm
Pb"22+何1-Sf+何2-
2
；+M：
+0.75T2M；
ww
（5.16）
螺栓的抗剪强度条件
4N
£-2如
n兀d
（5.17）
螺栓的抗挤压强度条件
crb=―N—（5.18）
贴角焊缝的剪切强度条件
“N<^W]
0.7hQlw
6刚度校核
序号
公式名称
公式
符号说明
（6.1）
构件的刚度条件
Amax（]
l」
（6.2）
扭转轴的刚度条件
%ax二亠兰［日］
GIp
（6.3）
平面弯曲梁的刚度条件
Vmax<[V]ll
7压杆稳定性校核
序号
公式名称
公式
符号说明
（7.1）
两端铰支的、细长压杆
的、临界力的欧拉公式
兀2ei
Per_i2
I取最小值
（7.2）
细长压杆在不同支承情
况下的临界力公式
n兀2El
Rr=2
岸」）2
lo=Pl
lo—计算长度。
4—长度系数；一端固定，一端自
由：
4=2
一端固定，一端铰
支：
卩=0.7
两端固定：
卩=0.5
（7.3）
压杆的柔度
、£l扎一
i
i=匹是截面的惯
勺A
性半径（回转半径）
（7.4）
压杆的临界应力
a=P
euA兀2E
□eu-_2
扎
（7.5）
欧拉公式的适用范围
\fp
当九兰入c=兀I—E—日寸,
\IO.57fy
fy—压杆材料的屈
（7.6）
抛物线公式
□cr=fy[1）]
扎C
服极限；
a—常数，般取
a=0.43
Perfy[1—G（=）2].A
^-c
（7.7）
安全系数法校核压杆的稳定公式
Rr
P兰匚-=[Rr]
kw
®—折减系数
（7.8）
折减系数法校核压杆的稳定性
p刑
0=—兰^.[石]
g]
q>=[cr]，小于1Q]
动荷载
序号
公式名称
公式
符号说明
（8.1）
动荷系数
IXPdNdGd心d
Kd====
PM巧纠
P-何载N-内力CT-应力△-位移d-动j-静
（8.2）
构件匀加速上升或下降时的动荷系数
1aKd=1+—g
a-加速度
g-重力加速度
（8.3）
构件匀加速上升或下降时的动应力
%=（1+2）巧
g
（8.4）
动应力强度条件
口dmax—Kd°jmax兰[°]
Q]-杆件在静荷载作用下
的容许应力
（8.5）
构件受竖直方向冲击时的动荷系数
丄！
丄2H
K=1+丨1+
Kd1f»
H-下落距离
（8.6）
构件受骤加荷载时的动荷系数
Kd=1+』1+0=2
H=0
（8.7）
构件受竖直方向冲击时的动
荷系数
心-1+v
Vg^j
v-冲击时的速度
（8.8）
疲劳强度条件
▽max兰闪讨=
K
0p-疲劳极限
Bp]-疲劳应力容许值
K-疲劳安全系数
9能量法和简单超静定问题
序号
公式名称
公式
（9.1）
外力虚功：
姚=鸥+啓2+Me3&3+..•=送R6
（9.2）
内力虚功：
W=—瓦JMd&—送（Vdff—送L
[Nd』—送[Td®
（9.3）
虚功原理：
变形体平衡的充要条件是：
We+W=0
（9.4）
虚功方程：
变形体平衡的充要条件是：
We=—W
（9.5）
莫尔定理：
A=X[MdB+瓦[VMY+瓦JNMI+瓦（Td护
（9.6）
莫尔定理：
“©Mdx+zfKG/dx+z.
粘+書严
（9.7）
桁架的莫尔定理：
A=ENNl
EA
（9.8）
变形能：
U=-W（内力功）
（9.9）
变形能：
U=We（外力功）
（9.10）
外力功表示的变形能
111
u=—Rq+—P2A2+...—RA222
（9.11）
内力功表示的变形能：
M2（x）KV2（x）N2（x）T2（x）
心=送[dx+送f，dx+送]‘dx+送[dx
Jl2EI‘2GA山2EA"2GIp
（9.12）
卡氏第二定理：
A別
也i=
（9.13）
卡氏第二定理计算位移公式：
.rM__.KV.N.TcT.
A=送[dx+送[dx+送[dx+送[dx
1EIgR4GA鋼°EA铝PIpWR
（9.14）
卡氏第二定理计算桁架位移公式：
&匸N眄
A=送1
EA
（9.15）
卡氏第二定理计算超静定问题：
McM
也By=WJdX=0
寸ElcRB
（9.16）
莫尔定理计算超静定问题：
比By—L[Eldx-0
（9.17）
一次超静定结构的力法方程：
drXj+A1P=0
（9.18）
X1方向有位移也时的力法方程：
d11X^A1P=人
（9.19）
自由项公式：
*亍pM1MP
街p=送j一dx耳El
（9.20）
主系数公式：
―2
ep「M1
心11=l[dx
1El
（9.21）
桁架的主系数与自由项公式：
__2
禹八2丨
Z（EA
2严
“EA
升级会员 