高中数学函数总结大全.docx

高中数学函数总结大全.docx

《高中数学函数总结大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学函数总结大全.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高中数学函数总结大全

一次函数

一、定义与定义式：

自变量*和因变量y有如下关系：

y=k*+b

则此时称y是*的一次函数。

特别地，当b=0时，y是*的正比例函数。

即：

y=k*〔k为常数，k≠0〕

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的*的变化值成正比例，比值为k

即：

y=k*+b〔k为任意不为零的实数b取任何实数〕

2.当*=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：

通过如下3个步骤

〔1〕列表；

〔2〕描点；

〔3〕连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

〔通常找函数图像与*轴和y轴的交点〕

2．性质：

〔1〕在一次函数上的任意一点P〔*，y〕，都满足等式：

y=k*+b。

〔2〕一次函数与y轴交点的坐标总是〔0，b），与*轴总是交于〔-b/k，0〕正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随*的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随*的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O〔0，0〕表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

点A〔*1，y1〕；B〔*2，y2〕，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

〔1〕设一次函数的表达式〔也叫解析式〕为y=k*+b。

〔2〕因为在一次函数上的任意一点P〔*，y〕，都满足等式y=k*+b。

所以可以列出2个方程：

y1=k*1+b……①和y2=k*2+b……②

〔3〕解这个二元一次方程，得到k，b的值。

〔4〕最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

设水池中原有水量S。

g=S-ft。

六、常用公式：

〔不全，希望有人补充〕

1.求函数图像的k值：

〔y1-y2）/（*1-*2）

2.求与*轴平行线段的中点：

|*1-*2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：

|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：

√（*1-*2）^2+（y1-y2）^2〔注：

根号下〔*1-*2）与〔y1-y2）的平方和〕

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量*和因变量y之间存在如下关系：

y=a*^2+b*+c

〔a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.〕

则称y为*的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：

y=a*^2+b*+c〔a，b，c为常数，a≠0〕

顶点式：

y=a（*-h）^2+k[抛物线的顶点P〔h，k〕]

交点式：

y=a（*-*₁）（*-*₂）[仅限于与*轴有交点A〔*₁，0〕和B〔*₂，0〕的抛物线]

注：

在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=（4ac-b^2）/4a*₁,*₂=（-b±√b^2-4ac）/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=*^2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线

*=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴〔即直线*=0〕

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在*轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时〔即ab＞0〕，对称轴在y轴左；

当a与b异号时〔即ab＜0〕，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于〔0，c〕

6.抛物线与*轴交点个数

Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与*轴有2个交点。

Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与*轴有1个交点。

Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与*轴没有交点。

*的取值是虚数〔*=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a〕

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数〔以下称函数〕y=a*^2+b*+c，

当y=0时，二次函数为关于*的一元二次方程〔以下称方程〕，

即a*^2+b*+c=0

此时，函数图像与*轴有无交点即方程有无实数根。

函数与*轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=a*^2，y=a（*-h）^2，y=a（*-h）^2+k，y=a*^2+b*+c（各式中，a≠0）的图象形状一样，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

顶点坐标

对称轴

y=a*^2

（0，0）

*=0

y=a（*-h）^2

（h，0）

*=h

y=a（*-h）^2+k

（h，k）

*=h

y=a*^2+b*+c

（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）

*=-b/2a

当h>0时，y=a（*-h）^2的图象可由抛物线y=a*^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=a*^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（*-h）^2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=a*^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（*-h）^2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（*-h）^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（*-h）^2+k的图象；

因此，研究抛物线y=a*^2+b*+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（*-h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=a*^2+b*+c（a≠0）的图象：

当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线*=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）．

3．抛物线y=a*^2+b*+c（a≠0），假设a>0，当*≤-b/2a时，y随*的增大而减小；当*≥-b/2a时，y随*的增大而增大．假设a<0，当*≤-b/2a时，y随*的增大而增大；当*≥-b/2a时，y随*的增大而减小．

4．抛物线y=a*^2+b*+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

（2）当△=b^2-4ac>0，图象与*轴交于两点A（*₁，0）和B（*₂，0），其中的*1,*2是一元二次方程a*^2+b*+c=0

（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|*₂-*₁|

当△=0．图象与*轴只有一个交点；

当△<0．图象与*轴没有交点．当a>0时，图象落在*轴的上方，*为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在*轴的下方，*为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=a*^2+b*+c的最值：

如果a>0（a<0），则当*=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为图象经过三个点或*、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=a*^2+b*+c（a≠0）．

（2）当题给条件为图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a（*-h）^2+k（a≠0）．

（3）当题给条件为图象与*轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a（*-*₁）（*-*₂）（a≠0）．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

反比例函数

形如y＝k／*（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。

自变量*的取值围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f（-*）=-f（*）,图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负〔2和-2〕时的函数图像。

当K＞0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K＜0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2.对于双曲线y＝k／*，假设在分母上加减任意一个实数（即y＝k／〔*±m〕m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。

〔加一个数时向左平移，减一个数时向右平移〕

对数函数

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。

因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=*的对称图形，因为它们互为反函数。

〔1〕对数函数的定义域为大于0的实数集合。

〔2〕对数函数的值域为全部实数集合。

〔3〕函数总是通过〔1，0〕这点。

〔4〕a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

〔5〕显然对数函数无界。

指数函数

指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得*能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如下图为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

〔1〕指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

〔2〕指数函数的值域为大于0的实数集合。

〔3〕函数图形都是下凹的。

〔4〕a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

〔5〕可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中〔当然不能等于0〕，函数的曲线从分别接近于Y轴与*轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与*轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

〔6〕函数总是在*一个方向上无限趋向于*轴,永不相交。

〔7〕函数总是通过〔0，1〕这点。

〔8〕显然指数函数无界。

奇偶性

注图：

〔1〕为奇函数〔2〕为偶函数

1．定义

一般地，对于函数f（*）

〔1〕如果对于函数定义域的任意一个*，都有f（-*）=－f（*），则函数f（*）就叫做奇函数。

〔2〕如果对于函数定义域的任意一个*，都有f（-*）=f（*），则函数f（*）就叫做偶函数。

〔3〕如果对于函数定义域的任意一个*，f（-*）=-f（*）与f（-*）=f（*）同时成立，则函数f（*）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

〔4〕如果对于函数定义域的任意一个*，f（-*）=-f（*）与f（-*）=f（*）都不能成立，则函数f（*）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：

①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇〔或偶〕函数。

〔分析：

判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f（*）比拟得出结论〕

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇偶函数图像的特征：

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f（*）为奇函数"＝＝"f（*）的图像关于原点对称

点〔*,y〕→〔-*,-y〕

奇函数在*一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在*一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

（1）.两个偶函数相加所得的和为偶函数.

（2）.两个奇函数相加所得的和为奇函数.

（3）.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

（4）.两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

（5）.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

（6）.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域

〔高中函数定义〕设A,B是两个非空的数集，如果按*个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数*，在集合B中都有唯一确定的数f（*）和它对应，则就称f:

A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（*）,*属于集合A。

其中，*叫作自变量，*的取值围A叫作函数的定义域；

值域

名称定义

函数中，应变量的取值围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

〔1〕化归法；〔2〕图象法〔数形结合〕，

〔3〕函数单调性法，

〔4〕配方法，〔5〕换元法，〔6〕反函数法〔逆求法〕，〔7〕判别式法，〔8〕复合函数法，〔9〕三角代换法，〔10〕根本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个根本“元件〞。

平时数学中，实行“定义域优先〞的原则，无可置疑。

然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬〞一手“软〞，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中〔典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化〕。

如果函数的值域是无限集的话，则求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“围〞与“值域〞一样吗.

“围〞与“值域〞是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。

“值域〞是所有函数值的集合〔即集合中每一个元素都是这个函数的取值〕，而“围〞则只是满足*个条件的一些值所在的集合〔即集合中的元素不一定都满足这个条件〕。

也就是说:

“值域〞是一个“围〞，而“围〞却不一定是“值域〞。