离散数学第四版课后答案.docx
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离散数学第四版课后答案
离散数学第四版课后答案
第1章习题解答
1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，
（1），
（2），（8），（9），
（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，
所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为
（1），
（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们
都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，
（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来
的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许
多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，
一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”
联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结
的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或
“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2
（1）p:
2是无理数，p为真命题。
（2）p:
5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:
2是素数，q：
三角形有三条边。
由于p与q都是真
命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：
雪是黑色的，q：
太阳从东方升起。
由于p为假命
题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:
2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不
知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：
太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1
（10）p：
小李在宿舍里.p的真值则具体情况而定，是确定的。
（12）p∨q，其中，p:
4是偶数，q:
4是奇数。
由于q是假命题，所以，q
为假命题，p∨q为真命题。
（13）p∨q，其中，p:
4是偶数，q:
4是奇数，由于q是假命题，所以，p∨q
为假命题。
（14）p：
李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。
（15）p：
蓝色和黄色可以调配成绿色。
这是真命题。
分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不
能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。
1．3令p:
2+2=4,q:
3+3=6,则以下命题分别符号化为
（1）p→q
（2）p→¬q
（3）¬p→q
（4）¬p→¬q
（5）p↔q
（6）p↔¬q
（7）¬p→q
（8）¬p↔¬q
以上命题中，
（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。
分析本题要求读者记住p→q及p↔q的真值情况。
p→q为假当且仅当
p为真,q为假,而p↔q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题，
在4个蕴含式中，只有
（2）p→r，其中，p同
（1），r：
明天为3号。
在这里，当p为真时，r一定为假，p→r为假，当p为假时，无论r为真
还是为假，p→r为真。
2
1．5
（1）p∧q，其中，p：
2是偶数，q：
2是素数。
此命题为真命题。
（2）p∧q，其中，p：
小王聪明，q：
小王用功
（3）p∧q，其中，p：
天气冷，q：
老王来了
（4）p∧q，其中，p：
他吃饭，q：
他看电视
（5）p∧q，其中，p：
天下大雨，q：
他乘公共汽车上班
（6）p→q，其中，p，q的含义同（5）
（7）p→q，其中，p，q的含义同（5）
（8）¬p↔¬q，其中，p：
经一事，q：
长一智
分析1°在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，
这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。
在符号化时，应该注意，不要将联结
词部分放入简单命题中。
例如，在
（2）中，不能这样写简单命题：
p：
小王不但
聪明，q：
小王而且用功。
在（4）中不能这样写：
p：
他一边吃饭，q：
他一边
看电视。
2°后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，
关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。
p→q所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要
条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。
例如，“因为p，所以q”，“只要p，
就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则¬p”“没有q，就没有p”等都表
达了q是p的必要条件，因而都符号化为p→q或¬p↔¬q的蕴含式。
在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为p→q，而在（6）（7）中，
p成了q的必要条件，因而符号化为q→p。
在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符
号化为蕴含式。
1．6
（1），
（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。
分析1°
（1）中公式含3个命题变项，因而它应该有23=8个赋值：
000，
3
001，…，111题中指派p,q为0,r为1，于是就是考查001是该公式p∧（q∧r）的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。
2°在公式
（2），（3），（4）中均含4个命题就项，因而共有24=16个赋值：
0000，0001，…，1111。
现在考查0011是它的成假赋值。
1.7
（1），
（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。
一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。
（1）对
（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法
表1.2给出了
（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，
（1）为重言式。
p∨q∨rp→（p∨q∨r）
pqr
00001
00111
01011
01111
10011
10111
11011
11111
等值演算法
p→（p∨q∨r）
⇔¬p∨（p∨p∨r）（蕴含等值式）
⇔（¬p∨p）∨p∨r（结合律）
⇔1∨q∨r（排中律）
⇔1（零律）
4
由最后一步可知，
（1）为重言式。
（2）用等值演算法判
（2）为重言式。
（p→¬p）→¬p
⇔（¬p∨¬）→¬p（蕴含等值式）
⇔¬p∨¬p（等幂律）
⇔p∨¬p（蕴含等值式）
⇔1（排中律）
（3）用等值演算法判（3）为矛盾式
¬（p→q）∧q
⇔¬（p¬∨q）∧q（蕴含等值式）
⇔p∨¬q∧q（德·摩根律）
⇔p∨（¬q∧q）（结合律）
⇔p∧0（矛盾律）
⇔0（零律）
由最后一步可知，（3）为矛盾式。
（5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。
真值表法
pq¬p¬p→qq→¬p（¬p→q）→（q→¬p）001011
011111
100111
110100
由表1.3可知（5）为非重言式的可满足式。
主析取范式法
（¬p→q）→（q→¬p）
⇔（p∨q）→（¬q∨¬p）
5
⇔¬（p∨q）∨（¬q∨¬p）
⇔（¬p∨¬q）∨¬q∨¬p
⇔¬p∨¬q
⇔（¬p∧1）∨（1∧¬q）
⇔（¬p∧（¬q∨q）∨（（¬p∨p）∧¬q）
⇔（¬p∧¬q）∨（¬p∨q）∨（¬p∧¬q）∨（p∨¬q）
⇔（¬p∧¬q）∨（¬p∨q）∨（¬p∧¬q）
⇔m0∨m1∨m2.
在（3）的主析取范式中不含全部（4个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。
其余各式的类型，请读者自己验证。
分析1真值表法判断公式的类别是万能。
公式A为重言式当且仅当A的o
真值表的最后一旬全为1；A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1，又至少有一个0。
真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真值表的行数较多。
2o用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，A为重言式当且仅当A与1等值；A为矛盾式当且仅当A与0等值，当A为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将A化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋值，就可判断A为非重言式的可满足式了。
例如，对（6）用等值演算判断它的类型。
（p∧¬p）↔q
⇔0↔q（矛盾律）
⇔（p→q）∧（q→0）（等价等值式）
⇔（¬0∨q）∧（¬q∨0）（蕴含等值式）
⇔（1∨q）∧¬q（同一律）
⇔1∧¬q（零律）
6
⇔¬q（同一律）
到最后一步已将公式化得很简单。
由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。
用主析取范式判断公式的类型也是万能的。
A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n（n为A中所含命题变项的个数）个极小项；A为矛盾式当且仅当A的主析取范式中不含任何极小项，记它的主析取范式为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含极小项，但不是完全的。
当命题变项较多时，用主析取范式法判公式的类型，运算量是很大的。
用主合取范式判断公式的类型也是万能的。
A为重言式当且仅当A的主合取范式中不含任何极大项，此时记A的主合取范式为1；A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含2n个极大项（n为A中含的命题变项的个数）；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含含极大项，但不是全部的。
1.8
（1）从左边开始演算
（p∧q）∨（p∧¬q）
⇔p∧（q∨¬q）（分配律）
⇔p∧1（排中律）
⇔p.（同一律）
（2）从右边开始演算
p→（q∧r）
⇔¬p∨（q∧r）（蕴含等值式）
⇔（¬p∨q）∧（¬p∨r）（分配律）
⇔（p→q）∧（p→r）.（蕴含等值式）
（3）从左边开始演算
¬（p↔q）
7
⇔（（p→q）∧（q→p））
⇔¬（（¬p∨q）∨（¬p∨q））
⇔¬（（¬p∧q）∨（¬p∧）∨（q∧¬q）∨（p∧q））⇔¬（（¬p∧¬q）∨（p∧q））
⇔（p∨q）∧¬（p∧q）.
请读者填上每步所用的基本等值式。
本题也可以从右边开始演算
（p∨q）∧¬（p∧q）
⇔¬¬（（p∨q）∧¬（p∧q）
⇔¬（¬（p∨q）∨¬¬（p∧q））
⇔¬（（¬p∨¬q）∨（p∧q））
⇔¬（（¬p∧q）∧（¬p∨q）∧（¬q∨p）∧（¬q∨q））⇔¬（1∧p∨q）∧（¬q∨p）∧1
⇔¬（（p→q）∧（q→p））
⇔¬（p↔q）.
读者填上每步所用的基本的等值式。
1.9
（1）
¬（（p∧q）→p）
⇔¬（¬（p∧q）∨p（蕴含等值式）⇔¬（¬（p∧q）∨p）（德·摩根律）⇔p∧q∧¬p（结合律、交换律）⇔（p∧¬p）∧q（矛盾式）⇔0.（零律）
8
由最后一步可知该公式为矛盾式。
（2）（（p→q）∧（q→p））→（p↔q）
⇔¬（¬（p∧q）∨p）（蕴含等值式）
由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。
（3）（¬p→q）→（q→¬p）
⇔（p∨q）→（¬q∨¬p）（蕴含等值式）
⇔¬（p∨q）∨（¬q∨¬p）（蕴含等值式）
⇔（¬p∧q）∨¬q∨¬p（德·摩根律）
⇔¬q∨¬p（吸收律）
⇔¬p∨¬q.（交换律）
由最后一步容易观察到，11为该公式成假赋值，因而它不是重言式，又00，01，10为成真赋值，因而它不是矛盾式，它是非重言式的可满足式。
1.10题中给出的F，G，H，R都是2元真值函数。
给出的5个联结词集都是全功能集，可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。
首先寻找在各联结词集中与F等值的公式。
（1）设A=¬（p→q），易知A是{¬,→}中公式且与F等值，即F⇔A.
（2）设B=p∧¬q，易知B是{¬,∧}中公式且与F等值，即F⇔B.
（3）设C=¬（¬p∨q），易知C是{¬,∧}中公式，且F⇔C.
（4）设D=（p↑（q↑q））↑（p↑（q↑q）），易知D为{↑}中公式，且F⇔D.
（5）设E=（p↓p）↓q，易知E为{↓}中公式，且F⇔E.
分析1°只要找到一个联结词集中与F等值的公式，经过等值演算就可以找出其他联结词集中与F等值的公式。
例如，已知A=¬（p→q）是{¬,→}公式，且F⇔A。
进行以下演算，就可以找到F等值的其他联结词集中的公式。
对A进行等值演算，消去联结词→，用¬，∧取代，得
9
A=¬（p→q）
⇔¬（¬p∨q）
⇔p∧¬q记为B.
则B为{¬,∧}中公式，且F⇔B。
再对A进行等值演算，消去→，用¬，∧取代，得
A=¬（p→q）
⇔¬（¬p∨q）记为C.
则C为{¬,∧}中公式，且F⇔C。
再对B进行演算，消去¬，→，用↑取代，在演算中，注意，对于任意的公式A，有
¬A⇔¬（A∧A）⇔A↑A.
B=p∧¬q
⇔p∧（q↑q）
⇔¬¬（p∧（q↑q））
⇔¬（p↑（q↑q））
⇔（p↑（q↑q））↑（p↑（q↑q）记为D.
则D为{↑}中公式，且F⇔D.再对C进行演算，消去¬,∨,用↓取代，在演算中注意，对于任意的公式A
¬A⇔¬（A∨A）⇔A↓A.
C=¬（¬p∨q）
⇔¬p↓q
⇔（p↓p）↓q记为E.
则E为{↓}中公式，且F⇔E.
2°开始找一个与某真值函数等值的公式的方法，除观察法外，就是根据
10
该真值函数的真值表，求它的主析取范式，而后进行等值演算即可。
例如，由G的真值表可知G的主析取范式为m1∨m3，于是
G⇔m1∨m3
⇔（¬p∧q）∨（p∧q）
⇔（¬p∨p）∧q
⇔q.
由于公式q不带联结词，所以，它应该为任何联结词集中的合式公式。
3°在各联结词集中找到的与某真值函数等值的公式并不唯一。
例如，取
A=¬q→q.（{¬,→}中公式）
B=q∧q.（{¬,∧}中公式）
C=q∨q.（{¬,∨}中公式）
D=（q↑q）↑（q↑q）.（{↑}中公式）
E=（q↓q）↓（q↓q）.（{↓}中公式）
则G⇔A⇔B⇔C⇔D⇔E,对于同一个真值函数G，找到与它等值的形式各异的公式。
对于H和R，请读者自己去完成。
1.11
（1）对C是否为矛盾式进行讨论。
当C不是矛盾式时，A∨C⇔B∨C，则一定有A⇔B，这是因为，此时，A∨C⇔A,B∨C⇔B，所以，有
A⇔A∨C⇔B∨⇔B
必有A⇔B
而当C不是矛盾式时，A∨C⇔B∨C，不一定有A⇔B，举反例如下：
设A,B,C均为含命题变项p,q的公式，A，B，C及A∨C,B∨C的真值表如表1.4所示，从表1.4可看出，A∨C⇔B∨C，但A⇔B。
表1.4
11
pqABCAVCBVC
0000000
0100000
1011111
1101111
（2）对C是否为重言式进行讨论:
若C为重言式,则A∧C⇔A,C⇔B,于是
A⇔A∧C⇔B∧C⇔B.
因而有
A⇔B
当C不是重言式时,请读者举反例说明,A∧C⇔B∧C时,不一定有A⇔B.
（3）若¬A⇔¬B,则A⇔B.证明如下:
A⇔¬¬A（双重否定律）
⇔¬¬B（¬A⇔¬B）
⇔B（双重否定律）
所以
A⇔B
1.12
（1）设
（1）中公式为A.
A⇔（p∨（q∧r））→（p∧q∧r）
A⇔¬（p∨（q∧r））∨（p∧q∧r）
A⇔¬p∧（¬q∧¬r）∨（p∧q∧r）
A⇔（¬p∧¬q）∨（¬q∧¬r）∨（p∧q∧r）
A⇔（¬p∧¬q∧（¬r∧r））∨（¬p∧q∧r）∧¬r）∨（p∧q∧r）
∨（¬p∧q∧¬r）∨（p∧q∧r）
A⇔m0∨m1∨m7
12
于是,公式A的主析取范式为
m0∨m1∨m2∨m7易知,A的主合取范式为
M3∨M4∨M5∨M6A的成真赋值为
000,001,010,111A的成假赋值为
011,100,101,110
（2）设
（2）中公式为B
B⇔（¬p→q）→（¬q∧p）
⇔（¬¬p∨q）→（¬q∧p）
⇔（p∨q）→（¬q∧p）
⇔¬（p∨q）∨（¬q∧p）
⇔（¬p∨¬q）∨¬q∧p
⇔¬q∧p（吸收律）
⇔（（¬p∨q）∧¬）∨p∧（¬q∧p）
⇔（¬p∨¬q）∨p∧（p∧¬q）∨（p∧q）⇔m0∨m2∨m3
所以,B的主析取范式为m0∨m2∨m3.B的主合取范式为M1
B的成真赋值为00,10,11.
B的成假赋值为01.
（3）设（3）中公式为C.
C⇔¬（p→q）∧q∧r
⇔（p∧¬q）∧q∧r]
13⇔p∧（¬q∧q）∧r
⇔p∧0∧r
⇔0.
所以,C的主析取范式为0.
C的主合取范式为M0∧M1∧M2∧M3
C的成假赋值为00,01,10,11
C无成真赋值,C为矛盾式.
分析1°设公式A中含n（n≥1）个命题变项,且A的主析取范式中含l（0≤l≤2n）个极小项,则A的主合邓范式中含2n−l个极大项,而且极大项的角标分别为0到2n−1这2n个十进制数中未在A的主析取范式的极小项角标中出现过的十进制数.
在
（1）中,n=3,A的主析取范式中含4个极小项,所以,A的主合取范式中必含23−4=4个极大项,它们的角标为0到7中未在主析取范式的极小项角标中出现过的3,4,5,6.这样,只要知道A的主析取范式,它的主合邓范式自然也就知道了,在
（2）,（3）中情况类似.
2°A的主析取范式中极小项角标的二进制表示即为A的成真赋值.在
（1）中,由于主析取范式中的极小项角标分别为0,1,2,7,它们的二进制表示分别为000,001,010,111,所以,A的成真赋值为以上各值.类似地,A的主合取范式中所含极大项角标的二进制表示,即为A的成假赋值.
1.13
（1）首先求p→（q→r）的主析取范式.
p→（q→r）
⇔¬p∨（¬q∨r）
⇔¬p∨¬q∨r）.
由于演算过程较长,可以分别先求出由¬p,¬q,r派生的极小项.注意,本公式中含3个命题变项,所以,极小项长度为3.
14
¬p⇔¬p∧（¬q∨q）∧（¬r∨r）
⇔（¬p∧¬q∧r）∨（¬p∧¬q∧r）
∨（¬p∧q∧¬r）∨（¬p∧¬q∧r）
⇔m0∨m1∨m2∨m3
¬p⇔（¬p∨p）∧¬q∧（¬r∨r）
⇔（¬p∧¬q∧¬r）∨（¬p∧¬q∧r）
∨（¬p∧¬q∧¬r）∨（p∧¬q∧r）
⇔m0∨m1∨m4∨m5
r⇔（¬p∨p）∧（¬q∨q）∧r
⇔（¬p∧¬q∧r）∨（¬p∧¬q∧r）
⇔（p∧¬q∧r）∨（p∧q∧r）
⇔m1∨m31∨m5∨m7
p→（q→r）⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7
类似地,可求出q→（p→r）主的析取范式也为上式,由于公式的主析取范式的唯一性,可知,
（p→（q→r））⇔（q→（p→r））.
（2）①
p↑q
⇔¬（p∧q）
⇔¬p∨¬q
⇔（¬p∧（¬q∨q））∨（（¬p∨p）∧¬q）
⇔（¬p∧¬q）∨（¬p∧q））∨（（¬p∨¬p）∨（p∧¬q）
⇔（¬p∧¬q）∨（¬p∧q）∨（p∨¬p）
15
⇔m0∨m1∨m2.
②p↓q
⇔¬（p∧q）
⇔¬p∨¬q
⇔m0.
由于p↑q与p↓q的主析取范式不同.因而它们不等值,即p↑q⇔p↓q.
1.14设p:
A输入;
设q:
B输入;
设r:
C输入;
由题的条件,容易写出FA,FB,FC的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的{↓}中的公式即可.
表1.5
pqrFFF
ABC
000000
001001
010010
011010
100100
101100
110100
111100
FA⇔（p∧¬q∧¬r）∨（p∧¬q∧r））∨（p∧q∧¬r）∨（p∧q∧r）
⇔（p∧¬q）∧（¬r∨r）∨（p∧q）∧（¬r∨r）
⇔（p∧¬q）∨（p∧q）
⇔p
16
⇔¬¬（p∧q）
⇔¬（p↓q）
⇔¬（p↓q）
⇔（p↓q）↓（p↓p）
FB⇔（¬p∧q∧¬r）∨（¬p∧q∧r）
⇔（¬p∧q）∧（¬r∨r）
⇔（¬p∧q）
⇔¬¬（¬p∧q）
⇔¬（p∧¬q）
⇔p↓¬q）
⇔p↓（q↓q）.
FC⇔（¬p∧¬p∧r）
⇔¬（p∨q）∧r
⇔（p↓q）∧r
⇔¬¬（（p↓q）∧r
⇔¬（¬（p↓q）∨¬r
⇔¬（p↓q）↓¬r
⇔（（p↓q）↓（p↓q））↓（r↓r）\
分析在将公式化成{↑}或{↓}中公式时,应分以下几步:
（1）先将公式化成全功能集{¬,∧,∨}中的公式.
（2）使用
¬A⇔¬（A∧A）⇔A↑A,
17
或
¬A⇔¬（A∨A）⇔A↓A.使用双重否定律
A∧B⇔¬¬（A∧B）⇔¬（A↑B）
⇔（A↑B）↑（A↑B）或
A∨B⇔¬¬（A∨B）⇔¬（A↓B）
⇔（A↓B）↓（A↓B）使用德·摩根律
A∧B⇔¬¬（A∧B）⇔¬（¬A∨¬B）
⇔¬A↓¬B⇔（A↓A）↓（B↓B）或
A∨B⇔¬¬（A∨B）⇔¬（¬A∧¬B）
⇔¬A↑¬B⇔（A↑A）↑（B↑B）1．15设p：
矿样为铁；
q：
矿样为铜；
r：
矿样为锡.
设
F1⇔（甲全对）∧（乙对一半）∧（丙全错），
⇔（¬p∧¬q）∧（（¬p∧¬r）∨（p∧r））∧（¬p∧r）⇔（¬p∧¬q∧¬p∧¬r∧¬p∧r）
∨（¬p∧¬q∧p∧r∧¬p∧r）
⇔0∨0⇔0.
F2⇔（甲全对）∧（乙全错）∧（丙对一半）
⇔（¬p∧¬q）∧（p∧¬r）∧（（p∧r）∨（¬p∧¬r）
18
⇔（¬p∧¬q∧p∧¬r∧p∧r）
∨（¬p∧¬q∧p∧r∧¬p∧¬r）
⇔0∨0⇔0
F3⇔（甲对一半）∧（乙全对）∧（丙全错）
⇔（（¬p∧q）∨（p∧¬q））∧（¬p∧r）∨（¬p∧¬r）
⇔（¬p∧q∧¬p∧r∧¬p∧r
∨（p∧¬q∧¬p∧r∧¬p∧r）
⇔（¬p∧q∧r）∨0
⇔¬p∧q∧r.
F4⇔（甲对一半）∧（乙全错）∧（丙全对）⇔（（¬p∧q）∨（p∧¬q））∧（p∧¬r）∧（p∧¬r）
⇔（¬p∧q¬∧¬r∧p∧¬r
∨（p∧¬q∧p∧¬r∧p∧¬r）
⇔0∨（p∧¬q∧¬r）
⇔p∧¬q∧¬r.
F5⇔（甲会错）∧（乙对一半）∧（丙全对）
⇔（p∧q）∧（（¬p∧
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