二项式定理典型例题.docx

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二项式定理典型例题

高考数学专题复习二项式定理练习题

1.在二项式（仮的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.

I2仮丿

分析：

本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.

解：

二项式的展开式的通项公式为：

前三项的r=01,2.

1111

得系数为：

1=1,上2=。

；一=—n,t3=cn—=—ng-1）,

2248

1由已知：

2t2=匕叫3n=1+—n（n—1）,

8

•••n=8

通项公式为

_16J3r

1

TF=c8-rx4r=0,1,2"8,Tr+为有理项，故16—3r是4的倍数,

2

/.r=0,4,8.

依次得到有理项为「=X4,丁5=C；—4X=—x,T9=c8Ax°=——x2•

282256

说明：

本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类

r的取值，得到共有

似地，（J2+3/3）100的展开式中有多少项是有理项？

可以通过抓通项中

系数和为3n.

2.

（1）求（1—x）3（1+x）10展开式中X5的系数；

（2）求（x+1+2）6展开式中的常数项.

X

（1）可以

分析：

本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，视为两个二项展开式相乘；

（2）可以经过代数式变形转化为二项式.

解：

（1）（1-x）3（1+x）10展开式中的X5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:

用（1—X）3展开式中的常数项乘以（1+x）10展开式中的X5项，可以得到CloX5;用

（1-x）3展开式中的一次项乘以（1+x）10展开式中的X4项可得到（―3x）（C40X4）=—3C40X5

（Co—C4o+3C3o-C!

0）x5=—63x5.

的常数项为C；2=924

说明：

问题

（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.

3.求（1+X-x2）6展开式中X5的系数.

26222

分析：

（1+x-x）不是二项式，我们可以通过1+x-x=（1+x）-x或1+（x-x）

把它看成二项式展开.

解：

方法一：

（1+x-x2）6=（1+x）-X2f

65244

=（1+x）-6（1+x）X+15（1+x）X-

其中含X5的项为clx5

-6C5x5+15。

衣=6x5.

含x5项的系数为6.

其中含x5的项为20（—3）x5+15（—4）x5+6x5=6x5.

二X5项的系数为6.

方法3:

本题还可通过把（1+X-X2）6看成6个1+x-x2相乘，每个因式各取一项相乘

可得到乘积的一项，X5项可由下列几种可能得到.5个因式中取X,—个取1得到c6x5.

（2n+_1）.

n+1

（2）cn+ic^+^c2^+亠㈡

23n+1

分析：

二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式

将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质

C0+Cn+cn+…+cn=2

解:

（1）-kC一二n!

=n•Z二ncn；

k!

（n-k）!

（k—1）!

（n-k）!

（k-1）!

（n+k）!

•••左边=nC0」+nC；」十"+nCni

n!

n!

k!

（n-k）!

"（k-1）!

（n-k）!

=C1十+-^―C241

n+1Cn十n+1Cn勺

=£cJc2十…I

n+1n+1

说明：

本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质

求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定

理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：

求

z'Cw+28C9o+27。

80+…+2^0+10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与（1+2）10的展开式接近，但要注意:

（1+2）10=C00+C10•2+c20讫2+…+C：

。

亡9+c10亡10

=1+2X1O+22c50+…+2^9。

+210C10

=1+2（10+2Cw十…+28吮乜七1。

）

从而可以得到：

10+2G20屮••+28c90+29c10=丄（310-1）.

2

5.利用二项式定理证明：

32"唯-8n-9是64的倍数.

分析：

64是8的平方，问题相当于证明32n*-8n-9是82的倍数，为了使问题向二项

式定理贴近，变形32讦=9n+=（8+1）n^，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起

来.

解：

•/322_8n—9

=9n+—8n-9=（8+1）n十一8n-9

=8n++C爲8n+…+cn；82+cn卡•8+1—8n—9

=8n^+C爲8n十…+cnis2+8（n+1）+1-8n-9

=8n^+C爲8n+•••+C时82

+••+C时）64是64的倍数.

说明：

利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.

10

）.

分析：

（x+y+z）10看作二项式[（x+y）+z]10展开.

10

（x+y+z）10=[（x+y）+z]10=送C1k0（x+y）10±Nk

kz0

8若将（x+y+z）展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（

而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.

故原式展开后的总项数为11+10+9+…+1=66,

•••应选D.

的展开式的常数项为-20,求n.

后写出通项，令含x的幕指数为零，进而解出

令2n-2r=0,得n=r,

•••展开式的常数项为（-1）nC；n；

同理可得，展开式的常数项为（-1）nc；n.

无论哪一种情况，常数项均为（-1）nC；n.

••心以<型空（•••x>0）.

2"3咒2咒1Vx

解得oxfV648.

•应填：

o

9

展开式的倒数第二项为112，求x的值.

=1：

2：

3,

二n=14,k=5所求连续三项为第5、6、7三项.

又由已知，C114xlog2^112.即xlog2^8

两边取以2为底的对数，（log2X）2=3,log2X=±U3,

说明：

当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项,根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.

12.（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

分析：

根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项.

解：

T6=Cn（2x）5,T7=c；（2x）6，依题意有

C；?

5=c626=n=8.

8444

•••（1+2x）的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C8（2x）=1120x.

设第r+1项系数最大，则有

片2工：

罕5»6.

|c80>c8■2r*

r=5或r=6（vr壬to,1,2，…，8}）.

•••系娄最大的项为：

T6=1792x5,T7=1792x6.

n为奇数时中间两项的二

说明：

（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.

（2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.

13.设f（x）=（1+x）m+（1+x）n（m,n亡N+）,若其展开式中关于x的一次项的系数和

2

为11，问m,n为何值时，含x项的系数取最小值？

并求这个最小值.

分析：

根据已知条件得到X2的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨

最小值问题.

解：

C；+C1=n+m=11.

22

22122m+n—11

Cm+Cn=-（m-m+n-n）=

2

9911

的对称轴方程为x=—，即x=5.5，由于5、6距

42

1199

5.5等距离，且对n亡N+,5、6距5.5最近，所以（n--y）^^的最小值在门=5或门=6

处取得.

求

（1）a1+a2

卡+a7；

（2）81+83+85+a7；（3）ao+82+34+86.

解:

（1）令X=0，贝yao=-1

令X=1，贝y87+a6屮…★ar+a0=27=128.①

•a1+a2卡…+a7=129

（2）令x=—1，则一a7+a6—a5十a4—a3+a2—a1十a0=（^4）②

由鼻②得：

81+83+85+87=1[128_（-4）7]=8256

22

⑶由土空得:

2

a。

+a2七4+a6

1/、

=-[（a^a^a^a^a^a^a^a0）

2

中（一87+86—85+84-83+82—81+80）]

=-[128+（4）7]=£128.

说明：

（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法.这是一种重要的方法，它适用于恒等式.

⑵一般地，对于多项式g（x）=（px+q）n=8。

+8必+a2X2+…+anXn,g（x）的各项

的系数和为g

（1）:

1g（x）的奇数项的系数和为-[g

（1）+g^1）].

1g（x）的偶数项的系数和为-[g

（1）-g^1）].

25

18.在（x+3x+2）的展开式中x的系数为（）.

A.160B.240C.360D.800

分析：

本题考查二项式定理的通项公式的运用•应想办法将三项式转化为二项式求解.

解法1：

由（x2+3x+2）5=[（x2+3x）+2]5,

得T"=C；（x2+3x）5「2k

•Qk"（x2+3x）5°

再一次使用通项公式得，「十0Ga

这里0

所以r=1,k=4，由此得到x的系数为C；'243=240.

解法2：

由（X2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5，知（x+1）5的展开式中x的系数为C；,

常数项为1,（x+2）5的展开式中x的系数为C50，常数项为25.

因此原式中x的系数为C5425+C54=240.

解法3：

将（X2+3X+2）5看作5个三项式相乘,

展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取3x的系数3,

从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即c53c4・24=240.

•••应选B.

•••应填：

4.

20.若n亡N+求证明：

32n*-24n+37能被64整除.

分析：

考虑先将32n^拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开.

32n^-24n+37

9n+-24n+37

（8+1）n+—24n+37

[Ch8n^+Cn+6n+C：

+6^十…+8+C；：

』]-24n+37

[8n++cn+8n+賂8

+（n+1）8+1]-24n+37

[8n++C1+8n+C：

十6nd

十..，82+（8n+9）]-24n+37

82[8z+cn+8^十’gZ+…+C：

¥]+3（8n+9）—24n+37

=364[8n-+Cn^8n-+C2十8n-+…]+64,

•••8心，Cn+82,cn\8心，…均为自然数,

•••上式各项均为64的整数倍.

•••原式能被64整除.

说明：

用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的

和式，再展开证之•该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷.

2

21.已知（X3+3x2）n的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992•

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项.

分析：

先由条件列方程求出n.

（1）需考虑二项式系数的性质；

（2）需列不等式确定r•

解:

令X=1得展开式的各项系数之和为（1+3）n=22n，而展开式的二项式系数的和为

cn?

+c；+C：

十…+C；=2n,

...有22n_2n=992•

•-n=5•

（1）•••n=5,故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.

2

—_2.3、32,26

…Tg=C5（x）（3x）=90x,

222

T4=C3（x和2（3x2）3=270x瓦

⑵设展开式中第r+1项的系数最大.

2

T+=c5（x3）5「（3x2）r=c5M

故有

匕”3r>CF3「十

r+1

即3

5—r

解得7兰r

2

•••r=4，即展开式中第5项的系数最大.

226

T5=C5（X3）1伽2）4=405x'

说明：

展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦

不同.前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几

个r，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小.

22.求二项式（a－2b）4的展开式.

解：

根据二项式定理得（a－2b）4=C04a4+C14a3（－2b）+C24a2（－2b）2+C34a（－2b）3+C4

4（－2b）4=a4－8a3b+24a2b2－32ab3+16b4.