新北师大版九年级数学上第四章教案汇编.docx

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新北师大版九年级数学上第四章教案汇编

第四章图形的相似

1．成比例线段

（一）

教学目标

1、了解相似形、线段的比概念；

2、会求两条线段的比,应用线段的比解决实际问题。

重点与难点：

重点：

理解线段比的概念及其求解。

难点：

求线段的比，注意线段长度单位要统一。

教学过程

一.设置情境，引入新课

通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。

二.新课讲解

1.请在下面图形中找出形状相同的图形？

你发现这些形状相同的图形有什么不同？

2.引入线段的比:

如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比（ratio）AB:

CD=m:

n,或写成

其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把

表示成比值k,那么

或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比。

五边形ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形状相同，AB=5cm，

A’B’=3cm。

AB:

A’B’=5:

3，就是线段AB与线段A‘B’的比。

这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。

3.想一想：

两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？

通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识:

两条线段长度的比与所采用的长度单位无关.但要采用同一个长度单位.

4.

做一做：

如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，CD，EH，EF的长度分别是多少？

分别计算值。

你发现了什么？

四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.

上图中AB,EH,AD,EF是成比例线段，AB,AD,EH,EF也是成比例线段。

5.议一议：

如果a,b,c,d四个数成比例，即a/b=c/d，那么ad=bc吗？

反过来如果ad=bc，那么a,b,c,d四个数成比例吗？

比例的基本性质

如果=,那么ad=bc。

如果ad=bc（a,b,c,d都不等于零），那么=。

6.例题1：

如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即,那么a的值应当是多少？

三.随堂练习

1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段之比是______

2、一条线段的长度是另一条线段长度的

，则这两条线段之比是______

3、已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm,b=6cm,d=9cm,则c=____

4、如果

，那么

=____

四.想一想

生活中还有哪些利用线段比的事例?

你能举例吗？

房屋装修平面图，手机模型，汽车模型，深圳世界之窗，建筑物的效果图等等。

五.回顾与思考

这节课我们学习了哪些知识?

你有什么收获?

你有什么发现、探索?

六.布置作业

习题第1题

教学反思

1、教师可以根据学生的实际情况进行适当调整，设置出适合个人教学的情境。

书上的情境设置应该是适用于广大地区的，老师也可以根据自己身边的熟悉的事物来设置情境，或是就用教科书上的情境。

具有地方特色的教学资源，不仅丰富了学生对家乡风景的认识和了解，也上学生感受到数学知识在生活中的应用。

2、教学中穿插了让同桌之间用不同的单位测量课本的长与宽（精确到0.1cm）,并求出这两条线段的长度之比。

添加这个环节目的是对学生得出“两条线段长度的比与所采用的长度单位无关”的结论埋下伏笔。

学生已经有了全等图形和比例的知识作为铺垫，生活中也存在大量相似图形的例子，所以学生学习起来不会很难，可以大胆的放手让学生自己去动手操作、动脑思考，老师可以在适当的时候给予帮助和补充。

3、教材上的例题可以交给学生自学，然后通过随堂联系加以巩固。

如果不能达到预期效果，时间允许的话可以补充相关的练习。

1．成比例线段

（二）

教学目标：

1.了解线比例线段的基本性质；

2.理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；

3.发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。

重点与难点：

重点：

让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。

难点：

运用比例的基本性质解决有关问题。

教学过程

一.温故知新

复习：

（1）成比例线段定义

（2）比例的基本性质

（3）若3m=2n，你可以得到

的值吗？

呢？

二.探究新知

（1）如图，已知

，你能求出

的值吗？

如果

那么

有怎么样的关系？

在求解过

程中，你有什么发现？

已知，a，b，c，d，e，f六个数。

（2）如图，

的值相等吗？

的值又是多少？

在求解过程中，你有什么发现？

已知，a，b，c，d，e，f六个数。

三.知识应用

例题：

四.随堂练习

五.巩固提高：

4、如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB,DE,BC,DC,AC,EC的长，并计算△ABC与△EDC的周长比。

六.小结

通过本节课的学习，我们了解了成比例线段的合比性质及等比性质，并在合比性质及等比性质的推导过程中，培养了推理能力，也学会了运用比例线段的基本性质解决问题，比例线段的知识将对我们今后的学习有重要的帮助。

七.布置作业

习题第1-2题

2．平行线分线段成比例

教学目标：

1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。

2.通过应用，培养识图能力和推理论证能力。

重点与难点

重点：

平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

难点：

平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。

教学过程

一.复习设疑，引入新课

提问：

什么是成比例线段？

你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:

3？

二.小组活动，探究定理

1.探究活动一：

如图

（1）小方格的边长都是1，直线a∥b∥c,分别交直线m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3。

（1）计算

你有什么发现？

（2）

将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A2，B2。

你在问题（１）中发现的结论还成立吗？

如果将ｂ平移到其他位置呢？

（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？

归纳：

平行线分线段成比例定理：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

2.议一议：

提问：

1.如何理解“对应线段”？

2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？

3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

若a∥b∥c，则

。

由比例的性质还可以得到：

，

，

等。

2.探究活动二：

如图3，直线a∥b∥c，分别交直线m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3。

过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。

（如图4），图4中有哪些成比例线段？

（图3）（图4）

推论：

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

3.探究活动三：

直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且AB=BC则图中还有哪些线段相等？

思考：

当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？

2.如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是2:

3?

三.灵活应用

例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC,

（1）.如果AE=7,FC=4，那么AF的长是多少？

（2）.如果AB=10,AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？

四.课堂练习：

1、如图，已知l1//l2//l3,

（1）.在图

（1）中AB=5,BC=7，EF=4，求DE的长。

（2）.在图

（2）中DE=6,EF=7，AB=5，求AC的长。

2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC,

（1）.如果AD=3.2cm,DB=1.2cm，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？

（2）.如果AB=5cm,AD=3cm，AC=4cm，那么EC的长是多少？

五.课堂小结：

本节课你有哪些收获？

1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

六.布置作业：

知识技能1、2、

3．相似多边形

教学目标

1.经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义

2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归纳、类比等多方面的能力，提高学生的数学思维水平。

3.使学生体会团队合作精神，充分认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满探索与创造。

教学过程

一.课前准备

图片收集（提前布置）以小组为单位，开展收集活动：

（1）各尽所能收集生活中各类相似图形（在必要的情况下，教师可以对学生选择的对象给予一定的要求，使调查更接近本课教学）。

二.情境引入（获取信息，体会特点）

1、各小组派代表展示自己课前所收集得到的资料（可以是照片、资料、也可以是亲自仿制），并解说从从中获取的信息及对于现实生活的实际意义（选3—4个小组代表讲解）

2、教师展示课件（播放动画）

通过前面的展示和播放两个五边形的对应内角相等及图形的放大缩小动画，提出问题：

（1）在上图两个多边形中,你认为有相等的内角吗?

如果有，请你把他一一表示出来？

（2）在上图两个多边形中,你认为相等内角的两边是否成比例?

如果有，请你把他一一表示出来？

（3）在上述两问题中，你如何描述这些你所列的角和边的关系？

三.例题讲解

例：

下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？

对应边呢？

（1）正三角形ABC与正三角形DEF

（2）正方形ABCD与正方形EFGH

（一）例题讨论及讲解

1．要求学生根据题目提出的问题结合所学的知识,画出图形、小组讨论,得出结果。

（组内互相交流协商、教师给予适当帮助）

2．各小组派出代表将自己的结论进行相互比较，从而得出正确的结论。

（教师给与提示）

（二）提出新问题，由特殊向一般问题转化

1、通过刚才的讨论和学习、你认为其他形状相同的多边形，他们的对应角也相等吗？

对应边也成比例吗？

（归纳相似多边形的本质特征）

板书：

1、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。

2、相似多边形对应边的比叫做相似比。

3、相似用“∽”表示，读作“相似于”。

（这里要提醒学生注意：

在用相似符号记两个多边形时，之所以把表示对应角顶点的字母写在对应位置上，是因为可以一目了然的知道他们的对应边和对应角,与全等形的记法类似）

四.合作学习

1、（想一想）如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？

对应边呢？

（学生分组讨论，互相交流协商、教师给予适当帮助或提示）

板书：

相似多边形的对应角相等，对应边成比例

2、1）观察下面两组图形，提出问题。

图

（1）中的两个图形相似吗？

为什么？

图

（2）中的两个图形呢？

与同伴交流。

2）如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？

它们的各边可能对应成比例吗？

（让学生充分思考、讨论、交流，教师巡回指导，最后引导学生作出归纳）

4、一块长3m，宽1.5m的矩形黑板，如图所示，镶在其外围的木制边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形相似吗？

为什么？

（让学生先判断，分组讨论，再通过计算验证自己的判断）

五.练习与提高

1、五边形ABCDE∽五边形A´B´C´D´E´，

∠E＝＿＿∠A´＝＿＿C´D´＝＿＿

五边形A´B´C´D´E´与五边形ABCDE的相似比为＿＿

六.课堂小结

通过本节课的学习，你有何收获？

还有哪些疑问？

七.布置作业

习题第1题

教学反思：

学生自主探索的问题拓展不足，应给学生充分时间和空间去自主学习，更加关心和爱护每一名学生，对需要指导的学生给予适当的指导。

4.探索三角形相似的条件

（一）

教学目标:

1.初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单问题。

2.经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。

。

教学过程

1.课前准备

（提前一天布置），以四人为一组，开展以下调查活动：

（1）各小组搜集生活或各学科中的相似三角形例子，

（2）搜集你生活中最感兴趣的一件有关三角形相似的例子，（要求学生用测量的方法加以验证）

二.情景引入

各小组派代表展示自己小组课前调查搜集的相似三角形，并解释从相似三角形中获取的信息，

三.相似三角形的判别

（1）

（1）对应角相等，对应边也相等的两个三角形全等，你还记得三角形全等的其他判别条件吗？

（2）你认为判别两个三角形相似至少需要哪些条件？

（3）如果两个三角形有若干个角对应相等，那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似？

（分小组进行讨论，让学生尽量地联想.猜测，提出自己的见解。

）

四.课堂评价与小结

学完本堂课后，你对自己的表现有何评价？

你学到了哪些知识？

掌握了那些方法？

五.布置作业

习题第1-2题

教学反思

学生以前已经学过相似三角形的特点，而且普遍掌握较好，因此，教学中将重点放在探索“两个三角形在什么条件下相似”科学合理的逻辑推理上。

而且能让学生通过探索和应用、体会数学的实际价值；。

课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。

在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。

教师应对小组讨论给以适当的指导，包括知识的启发、引导学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。

4．探索三角形相似的条件（三）

教学目标：

1、掌握三角形相似的判定方法3。

2.会用相似三角形的判定方法3来判断、证明及计算。

重点与难点

重点：

掌握相似三角形的判定定理：

“三边成比例的两个三角形相似”。

难点：

判定方法的推导及运用

教学过程

一.情景引入、合作探讨

【师】我们上两节课学过什么定理?

师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：

三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似。

【师】那么判定三角形相似还有没有其它条件呢？

今天我们再次踏上探索之旅途。

画△ABC与△A′B′C′，使

、

和

都等于给定的值k.

（1）设法比较∠A与∠A′的大小。

（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？

说说你的理由.

改变k值的大小，再试一试。

二.交流展示、揭示新知

经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？

∠A=∠A′,△ABC∽△A′B′C′,

理由是：

∠A=∠A′，

=

根据“两边成比例及夹角相等的两个三角形相似”可知：

△ABC∽△A′B′C′.

4cm

判定定理3：

三条边成比例的两个三角形相似。

三.应用新知、练习提高

幻灯片展示

1、课本80页例3：

学生独立完成后，教师板书过程

2、课本80页随堂练习：

学生独立完成，学生展示。

四.梳理知识、自我升华

幻灯片展示：

如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？

你有哪些判断方法？

五.课堂小结

相似判定：

6.布置作业：

习题4.7第1题、第2题

教学反思

本节课中，通过“动手操作—验证—推广—说理—应用”的过程，探索出三角形相似的条件。

在这过程中，要发扬着“敢想、敢做；务实、严谨”的数学精神，与同学真诚合作，感受小组合作的快乐，感受数学从未知到已知的魅力。

4.探索三角形相似的条件（四）

教学目标：

1、知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；

2、通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力.

3、理解黄金分割的现实意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识教学与人类生活的密切联系.

重点与难点

重点：

了解黄金分割的意义并能运用.

难点：

找出黄金分割点和作黄金矩形.

教学过程

一.情境引入

展示课件，欣赏图片.

第一组：

建筑中的黄金分割

文明古国埃及的金字塔，它的每面的边长与高之比接近于0.618．

第二组：

摄影中的黄金分割

第三组：

人体与黄金分割

舞蹈演员的腿和身材的比例也近似于0.618的比值，看上去会感到和谐、平衡、舒适，有一种美的感觉．

二.导入新知

在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC，如果

，那么称线段AB被点C分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比.

其中

.

即

.

三.操作感知

1.提出问题：

如何找到一条线段的黄金分割点？

多数学生尝试画出1cm、2cm的线段，通过计算找到黄金分割点大概的位置.可以用这种方法大概的找到当线段长为a时黄金分割点的位置，但不能精确地找到.

2.展示课件，学生跟做.

如果已知线段AB，按照如下方法画图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使

；

（2）连接AD，在DA上截取DE=DB；

（3）在AB上截取AC=AE，则点C为线段AB的黄金分割点.

3.提出问题：

为什么点C为线段AB的黄金分割点？

方法提示：

设AB=2，分别求出AC和BC，并计算和，或计算AC2和BC•AB.

四.练习与拓展

练习1.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置？

（结果精确到0.1m）.

练习2.人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应选择多高的高跟鞋看起来更美丽？

（精确到1cm）

练习3.古希腊时的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形，画成如图中的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么，我们可以惊奇的发现

提出问题：

点E是AB的黄金分割点吗？

矩形ABCD宽与长的比是黄金比吗？

观看多媒体演示的内容，观察与思考、交流、讨论、解决问题.

问题解决：

由

，可以得到

即

.所以点E是AB的黄金分割点.

由证明可知，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.

拓展练习：

请用尺规作一个黄金矩形.

练习4.采用如下方法也可以得到黄金分割点.

如图，设AB是已知的线段，在AB上作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是AB的黄金分割点。

任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？

五.课堂小结

1.什么叫做黄金分割？

黄金比是多少？

2.一条线段有几个黄金分割点？

3.如何用尺规作线段的黄金分割点和黄金矩形？

4.如何说明一个点是一条线段的黄金分割点？

六.布置作业习题4.8—1、2

5．相似三角形判定定理的证明

山东省青岛市第二十六中学王俊

教学目标

1.相似三角形判定定理的证明

2.经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。

教学过程

一.复习回顾，导入课题

在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，我们得出的结论是怎样的？

您能证明它们一定成立吗？

二.动手操作，探求新知

命题1、两角分别相等的两个三角形相似。

如何对文字命题进行证明？

与同伴进行交流.

第一步：

引导学生根据文字命题画图，

第二步：

根据图形和文字命题写出已知，求证。

已知：

如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。

求证:

△ABC∽△A’B’C’。

第三步：

写出证明过程。

教师可以以填空的形式进行引导。

证明：

在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A’B’,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,

∠AED=∠C,

________（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）。

过点D作AC的平行线，交BC于点F,则

__________（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）。

∴____________

∵DE∥BC，DF∥AC

∴四边形DFCE是平行四边形。

∴DE=CF

∴____________

∴____________

而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,

∴____________

∵∠A=∠A’,∠ADE=∠B’,AD=A’B’,

∴△____≌△____

∴△ABC∽△A’B’C’.

通过证明，我们可以得到命题1是一个真命题，从而得出相似三角形判定定理1：

两角分别相等的两个三角形相似。

现在，我们已经有两种判定三角形相似的方法。

三.动手实践，推理证明

下面我们可以类比前面的证明方法，来继续证明命题2，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

能自己试试吗？

鼓励学生积极思考，模仿前面的证明过程进行证明。

可让学生板书过程，或老师在学生中寻找资源，通过投影修正过程中存在的问题。

通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理2：

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明。

从而得到相似三角形判定定理：

三边成比例的两个三角形相似。

4.方法选择，合理应用

相似三角形的判定定理的选择：

1.已知有一角相等，可选判定定理1和2；2.已知有两边对应成比例，可选判定定理2和3。

五.课堂小结

通过本节课的学习，您学会了哪些知识和方法？

哪里还有困惑？

六.作业布置

略

教学反思

本节课为九年级第三章第五节内容，要求学生将已有的全等三角形的判定方法，相似三角形的定义，平行线分线段成比例等知识储备灵活运用，经历从特殊到一般，从猜想-实践-证明的过程，感受图形世界的丰富多彩，体会数学类比的思想方法，并学会选择最优方法进行问题的解决。

6.利用相似三角形测高

教学目标

1、知识与技能：

使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质．

2、过程与方法：

通过测量旗杆的高度，使学生运用所学知识解决问题，以课后分组合作活动的方法进行实践以及进行全班交流，进一步积累数学活动经验．

3、情感与态度：

通过问题情境的设置，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心．实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值．

重点与难点：

重点：

综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题

难点：

解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系．

教学过程

一.拓展思维、探究方法

1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度，如图1：

操作方法：

一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．

∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，

∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CBD

∴

即CD=

因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知