高中数学三角恒等式变形解题常用方法.docx

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高中数学三角恒等式变形解题常用方法

高中数学三角恒等式变形解题常用方法

一.知识分析

1.三角函数恒等变形公式

（1）两角和与差公式

（2）二倍角公式

（3）三倍角公式

（4）半角公式

（5）万能公式

，  ，    

（6）积化和差

，

，

，

（7）和差化积

，

，

，

2.网络结构

3.基础知识疑点辨析

（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？

   实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。

另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同：

。

（2）怎样正确理解正切的和差角公式？

   正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：

   ①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。

②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不等于。

③用代替，可把转化为，其限制条件同②。

（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？

   ①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。

②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。

③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。

运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。

（4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？

   先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分别相除，得到，由此得到的三个公式：

，，分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。

公式中根号前的符号，由所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。

另外，容易证明 。

4.三角函数变换的方法总结

三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。

三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。

下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。

（1）变换函数名

对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。

【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。

解析：

已知

显然有：

由①×cos2θ＋②×cosθ，得：

2acos2θ＋2bcosθ=0

即有：

acosθ＋b=0

又  a≠0

所以，cosθ＝－b/a            ③

将③代入①得：

a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a

即a4＋b4＝2a2b2

∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜

点评：

本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。

（2）变换角的形式

对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。

【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。

解析：

设θ＋15°＝α，则

原式＝sin（α＋60°）＋cos（α+30°）－cosα

＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα

＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα

＝0

点评：

本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。

【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β） （其中cosβ≠A），试证明：

tan（α＋β）＝

证明：

已知条件可变为：

sin[（α＋β）－β]＝Ａsin（α＋β）

所以有：

sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝Ａsin（α＋β）

∴sin（α＋β）（cosβ－Ａ）＝cos（α＋β）sinβ

∴tan（α＋β）＝

点评：

在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键。

（3）以式代值

利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。

这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。

“1”可以看作是sin2x＋cos2x,　sec2x－tan2x,　csc2x－cot2x，tanxcotx,　secxcosx,　tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：

解析：

原式＝

　　　＝

　　 　　＝

　　　 　＝

点评：

1＝“”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。

（4）和积互化

积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。

这往往用到倍、半角公式。

【例5】解三角方程：

sin2x＋sin22x＝sin23x

解析：

原方程变形为：

（1－cos2x）＋（1－cos4x）＝（1－cos6x）

即：

　　　　　　　　　　1＋cos6x＝cos2x＋cos4x

2cos23x＝2cos3xcosx　

得：

                   cos3xsin2xsinx＝0

解得：

　　　x＝＋　或　x＝　　（）

∴原方程的解集为｛x|x＝＋　或　x＝,｝

点评：

题中先降次后升幂，这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的是为了提取公因式。

（5）添补法

与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决。

将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形。

【例6】求证：

＝

证明：

左边＝

　　　　　＝

　　　　　＝

　　　　　＝

　　　   ＝＝右边

∴原式成立。

点评：

本例中采用“加一项再减去一项”，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性较强，目的都是为了便于分解因式进行约分化简。

（6）代数方法

三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形，从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。

这其中有设元转化、利用不等式等方法。

【例7】锐角α、β满足条件，则下列结论中正确的是（　　）

A.α+β≠    B.α+β＜

C.α+β＞    D.α+β＝

解析：

令sin,则有

整理得：

　　（a－b）2＝0　　即a＝b

即：

　　　　sin2α＝cos2β　（α，β同为锐角）

∴　　　sinα＝cosβ

∴　α＋β＝，故应选D。

点评：

本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。

换元法这种数学思想应用十分广泛，往往能收到简捷解题的效果．

（7）数形结合

有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，数形渗透，两者交融，则可开辟解题捷径。

利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想。

【例9】已知：

，，求的值。

解析：

∵点Ａ，Ｂ均在单位圆上。

由已知条件知：

AB的中点坐标为Ｃ（1/6,1/8），即直线ＡＢ过  

定点C

如下图所示

∠xOC＝∴

∴据万能公式得：

点评：

本题用和差化积公式也不难求得，但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方法。

数形结合方法在三角变换中应用类型颇多，篇幅所限，仅举一例，本文不赘。

从六、七两种方法可以看出，将代数、几何与三角有机联系起来，综合运用，在解三角变换题中，不仅构思精巧，过程简易，趣味横生，而且还沟通数学知识的纵横关系，也有利于多向探求，广泛渗透，提高和发展学生的创造性思维能力。

以上探讨了三角变换中的七种变换思想和解题方法，在实际解题中这些方法是交织在一起的，混合于同一问题中灵活使用。

掌握这些变换方法的前提是熟悉公式，善于公式的变形运用，同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维考虑问题。

三角变换的技巧除了以上七个方面外，还有平方消元，万能置换，利用正余弦定理进行边角转换，利用辅助角，借用复数表示等方法我们以后有机会再介绍。

5.非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究

   非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类求值问题，由于涉及到的三角公式及其变形灵活多样，因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这类问题的重点，现在我们通过一个题目的解法探寻，体会非特殊角三角函数的求法。

【题目】求的值。

分析1：

这是一道给角求值中非特殊角的化简求值问题，仔细观察可看出在所求式子中有一项是正切函数、一项是正弦函数，因此通常运用切割化弦，然后通过通分化简，使其化为特殊的三角函数值。

解法1：

点评：

通分以后，要将和式转化为积式，需将拆项为，这是将和式转化为积式中常用的变形手段，在将和差化积后要尽可能的出现特殊角特殊值，这样才有可能使化简得以进行下去。

分析2：

运用切割化弦，通过通分化简后，若不考虑将和式转化为积式，而是对角进行变换，观察到运算的式子中出现的两角为20°，40°，与特殊角比较则会有60°－40°＝20°，变角后再应用两角差的正弦公式展开进行化简。

解法2：

分析3：

我们在运用“切割化弦”时，若不利用商数关系，而是将tan200利用半角公式进行化弦，也能进行求值。

解法3：

分析4：

从以上路径可以看出，而是一个特殊的三角函数值，考虑它等于什么呢？

，因而考虑可否会有，这样问题就转化为等式的验证。

解法4：

   ∴有

点评：

本路径采用了综合法，只进行等式的验证，问题就得以解决。

分析5：

利用倍角公式可得到，能否再对角进行适当的变换，出现特殊角，我们发现40°＝60°一20°，这样变角后利用两角差的正弦公式展开化简，也能求值。

解法5：

   将等式可写成

   两边同除以得

点评：

本题利用综合法求得了的值，在这里首先进行角的变换，然后利用两角差的正弦公式展开，合并同类项后，再进行弦化切割，从而得到所要求的值。

以上我们探寻了不查表求非特珠角的三角函数的值的问题，对于这类问题，要从多方面考虑解决的方法，在这里我们是从三角函数的“变名”“变角”“变式”“切割化弦”弦化切割”等方面而进行了三角恒等变形，这在以后的学习训练中要逐步体会掌握。

【典型例题】

例1.化简cos（π＋α）＋cos（π－α），其中k∈Z。

解析：

解法一：

原式＝cos［kπ＋（＋α）］＋cos［kπ－（＋α）］＝coskπcos（＋α）－sinkπsin（＋α）＋coskπcos（＋α）＋sinkπsin（＋α）＝2coskπcos（＋α），（k∈Z）

当k为偶数时，原式＝2cos（＋α）＝cosα－sinα

当k为奇数时，原式＝－2cos（＋α）＝sinα－cosα

总之，原式＝（－1）k（cosα－sinα），k∈Z

解法二：

由（kπ＋＋α）＋（kπ－－α）＝2kπ，知

cos（kπ－－α）＝cos［2kπ－（＋α＋kπ）］＝cos［－（kπ＋＋α）］＝cos（kπ＋＋α）

∴原式＝2cos（kπ＋＋α）＝2×（－1）kcos（＋α）＝（－1）k（cosα－sinα），其中k∈Z

点评：

原式＝cos（kπ＋＋α）＋cos（kπ－－α）＝cos［kπ＋（＋α）］＋cos［kπ－（＋α）］这就启发我们用余弦的和（差）角公式。

例2.已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。

解析：

解法一：

由已知条件及正弦的和（差）角公式，

解法二：

（设未知数）令x＝

解之得

例3.在中，求的值和的面积。

解析：

解法一：

解方程组得，故

。

。

解法二：

由及得

，可得

因为，所以，故，即

解方程组得，故。

（以下同解法一）

解法三：

因为，

所以。

又，

故，

（以下同解法一）

例4.

解析：

解法一：

此题可利用降幂、积化和差、和差化积等公式进行恒等变形化简。

原式

解法二：

利用“整体配对”思想，构造对偶式来解题

设

则

两式相加得

即

例5.（第5届IMO试题）证明

解析：

设

则

∴

∴或（舍去）

【模拟试题】

一、选择题：

1.已知的值为（    ）

A.               B.               C.                 D.

2.的值为（    ）

A.0                      B.                 C.                    D.

3.的值为（     ）

A.1                      B.               C.－                  D.

4.的两内角A,B满足，则此三角形的形状为（     ）

A.锐角三角形      B.直角三角形    C.钝角三角形          D.不能确定

5.已知，则的值为（    ）

A.                B.                 C.                       D.

6.,则的值为（     ）

A.                B.－1                C.                  D.

7.若，则的值为（      ）

A.                              B.

C.                                    D.

8.函数的值域是（    ）

A.               B.           C.               D.

9.已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（    ）

A.              B.          C.                 D.

10.等于（    ）

A.－1                  B.1                    C.2                          D.－2

二、填空题

11.在中，已知tanA,tanB是方程的两个实根，则

12.已知，则的值为

13.观察下列各等式：

，，，根据其共同特点，写出能反映一般规律的等式                                     。

14.已知直线，A是之间的一定点，并且A点到的距离分别为，B是直线上一动点，作ACAB，且使AC与直线交于点C，则面积的最小值为

         。

三、解答题：

15.化简 

16.已知，求的值

17.证明：

18.知函数，求

（1）函数的最小值及此时的的集合

（2）函数的单调减区间

（3）此函数的图像可以由函数的图像经过怎样变换而得到

19.已知向量，。

（1）当，且∥时，求的值

（2）当，且时，求的值

【试题答案】

一、选择题：

1.C           2.B       3.D       4.C       5.A

6.C           7.B       8.D       9.C       10.A

二、填空题：

11.－7            12.        13.

14. 

三、解答题：

15.解：

原式

16.解：

（2）＋

（1）得   

（2）－

（1）得       （4）（3）得

17.略

18.解：

由

（1）当时，，此时，由得

（2）由得减区间为

（3）其图像可由的图像向左平移个单位，再向上平移2个单位而得到。

19.

（1）由，得，

（2）由

得

而

所以

关于简单三角变换的问题

1、同角的三角函数有三种关系：

　　平方关系：

sin2α＋cos2α=1；

　　商式关系：

；

　　倒数关系：

tanαcotα=1．

　　它们的主要应用有：

（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一个，求其他两个；

（2）化简三角函数式；

　　（3）证明简单三角恒等式等．

　　同角三角函数变换，要突出弦、切互化，同时要注意各种变换技巧，如“1”可以用“sin2α＋cos2α”代换等．

2、诱导公式有两组，可概括为对k·90°±α（α∈Z）的各三角函数值满足规律“奇变偶不变，符号看象限”，即当k为偶数时，得α的同名函数；当k为奇数时，得α的余名函数；然后在前面加一个把α看成锐角时原函数的符号．在利用诱导公式求任意角的三角函数值时，不必拘泥于课本上列出的几个步骤，可以结合三角函数的性质，灵活使用．

3、三角函数的恒等变换中最基本、最常见的变换有：

（1）公式变换：

要注意正确理解公式中和、差、倍的相对性，抓住公式中角、函数、结构的特点，灵活地对公式进行正向、逆向及变形使用；

（2）角度变换：

要善于分析角之间的和、差、倍、半的关系，要特别注意能否产生特殊角，正确使用诱导公式及辅助角公式；

　　（3）函数变换：

弦切互化；

　　（4）1的变换：

如1=sin2α＋cos2α，1=tanαcotα，等；

　　（5）幂的变换：

用公式来升、降幂．

4、三角恒等变换的基本题型有三种．

（1）求值：

　　①给角求值，其关键是正确分析角间的关系，准确地选用公式，将非特殊角转化为特殊角或将非特殊角的三角函数值相约或相消；

　　②给值求值，其关键是分析已知和待求式之间的角、函数、结构的差异，有目的地消化；

　　③给值求角，其关键是先求出该角某一三角函数值，在对应函数的单调区间内求解．

（2）化简：

　　①未指明答案的恒等变形，应把结果化为最简形式；

　　②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，如一角一函数形式，以便研究函数的各种性质．

　　（3）证明：

　　主要有两种：

无条件恒等式证明和条件恒等式证明．

5、在求值、化简、证明中应注意的问题有：

（1）三角式化简的目标．

　　①项数尽可能少；

　　②三角函数种类尽可能少；

　　③角尽可能少、小；

　　④次数尽可能低；

　　⑤分母尽可能不含三角式；

　　⑥尽可能不带根号；

　　⑦能求出值的要求出值．

（2）三角运算的基本原则．

③异角化同角；（角分析法）

⑦常数的处理（特别注意“1”的代换）．

（3）几个重要的三角变换思想

①sinα·cosα→凑倍角公式；

②1±cosα→升幂公式；

③1±sinα→配方或化为1±cos（π/2－α）再升幂；

④asinα＋bcosα→辅助角公式；

⑤tgα±tgβ→两角和与差的正切公式逆用．

三、例题讲解：

例1、求证：

tan3A－tan2A－tanA=tan3A·tan2A·tanA．

　　证明：

欲证等式即为tan3A（1－tan2A·tanA）=tan2A＋tanA，

　　即．

　　根据正切的和角公式，

　　结论成立．

　　小结：

1、分析法“执果索因”，便于寻找解题途径，也是三角恒等式证明中的一种常用方法；

　　2、本题可以推广如下：

若α=β＋γ，则tanα－tanβ－tanγ=tanα·tanβ·tanγ．特殊地，若△ABC是非直角三角形，则

（1）tanA＋tanB＋tanC=tanA·tanB·tanC，

（2）tannA＋tannB＋tannC=tannA·tannB·tannC．

例2、已知（a≠0）的定义域为[0，]，值域为[－5，1]，求常数a、b的值．

　　分析：

观察函数的特征，需将它化归为形如y=Asin（ωx＋φ）＋B型三角函数求值域，特别注意此时x∈[0，]，故首先要求出ωx＋φ的范围并进而求出sin（ωx＋φ）的取值范围，同时注意系数A的符号．

　　解：

（1）

　　求得a=2，b=－5．

（2）

　　求得a=－2，b=1．

例3、已知sinα是sinθ和cosθ的等差中项，sinβ是sinθ和cosθ的等比中项，求证：

cos4β－4cos4α=3．

　　证明：

由已知条件得：

　　2sinα=sinθ＋cosθ，①

　　sin2β=sinθ·cosθ．②

　　①式平方得：

4sin2α=1＋2sinθcosθ，③

　　②式代入③得：

4sin2α=1＋2sin2β，

　　即2cos2α=cos2β．④

　　④式平方得：

4cos22α=cos22β，

　　再降幂：

2（1＋cos4α）=（1＋cos4β），

　　∴cos4β－4cos4α=3．

　　小结：

在三角变换中，为了达到化繁为简的目的，降幂应该是最主要的手段，但在某些情况下，升幂也是必要的．

例4、已知，求：

（1）x2＋2xy＋y2的最大值与最小值；

（2）求3x＋4y的最大值与最小值．

　　分析：

由已知条件的结构特征：

两数的平方和为1，联想到sin2θ＋cos2θ=1，由此可作三角代换，将上述问题转化成三角函数的最值问题．因而本题考查三角函数作为工具被应用的能力．

　　解：

（2）

例5、如图所示，一条河宽1千米，两岸各有一座城市A和B，A和B的直线距离是4千米，今需铺设一条电缆线连结A与B．已知地下电缆的修建费是2万元/千米，水下电缆的修建费是4万元/千米．假定河两岸是平行直线，问应如何铺设电缆方可使总施工费用最少．

　　分析：

解决实际应用问题，关键是建立数学模型．此处有两种选择：

一是建立函数模型，可以考虑以AD或DB为自变量，函数式易立，但最值难求；二是建立三角模型，转化为求三角函数最值，处理稍容易些．

　　解：

设∠CAD=θ，由AC=1，AB=4，则

　　．

　　依题意，设由A到B铺设电缆的总费用为y，则

　　答：

水下电缆应从距B城（）千米处向A城铺设．

8.基本初等函数（Ⅱ）及三角恒等变换

　　同角三角函数关系式：

（1）平方关系：

sin2α＋cos2α