人教版高中数学必修二 第2章 23 232 平面与平面垂直的判定.docx

人教版高中数学必修二 第2章 23 232 平面与平面垂直的判定.docx

《人教版高中数学必修二 第2章 23 232 平面与平面垂直的判定.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修二 第2章 23 232 平面与平面垂直的判定.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

人教版高中数学必修二第2章23232平面与平面垂直的判定

2.3.2　平面与平面垂直的判定

学习目标

核心素养

1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．（难点、易错点）

2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．（重点）

3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．（重点）

1.通过学习平面与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.

2.通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.

1．二面角的概念

（1）定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．

（2）相关概念：

①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．

（3）画法：

（4）记法：

二面角αlβ或αABβ或PlQ或PABQ.

（5）二面角的平面角：

若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；

③OA⊥l，OB⊥l，则二面角αlβ的平面角是∠AOB．

思考：

二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？

[提示]　无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．

2．平面与平面垂直

（1）定义：

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）画法：

（3）记作：

α⊥β．

（4）判定定理：

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

图形语言

符号语言

l⊥α，l⊂β⇒α⊥β

思考：

两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？

[提示]　不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．

1．如图所示的二面角可记为（　　）

A．αβlB．MlN　　　C．lMN　　　D．lβα

B　[根据二面角的记法规则可知B正确．]

2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面（　　）

A．有一个B．有两个

C．有无数个D．不存在

C　[经过l的任一平面都和α垂直．]

3．如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小等于________．

90°　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.]

二面角的计算问题

【例1】　如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，求二面角ACDB的余弦值．

[解]　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.

由二面角的定义可知∠AMB为二面角ACDB的平面角．

设点H是△BCD的重心，

则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．

在Rt△AMH中，AM＝

×2＝

，

HM＝

×2×

＝

，则cos∠AMB＝

＝

，

即二面角的余弦值为

.

1．求二面角的大小关键是作出平面角：

求二面角大小的步骤是：

（1）找出这个平面角；

（2）证明这个角是二面角的平面角；

（3）作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．

2．确定二面角的平面角的方法：

（1）定义法：

在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．

（2）垂面法：

过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．

1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,AC＝

AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小．

[证明]　因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，

所以BD⊥AC.

又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，

所以BD⊥平面ACD.

因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD，

所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角．

在Rt△ACD中，AC＝

AD，所以∠ADC＝30°.

平面与平面垂直的判定

【例2】　如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.

求证：

平面ABC⊥平面SBC.

[证明]　

（1）法一：

（利用定义证明）

因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，

所以△ASB和△ASC是等边三角形，

则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，

令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．

取BC的中点D，如图所示，

连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，

所以∠ADS为二面角ABCS的平面角．

在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，

所以SD＝

a，BD＝

＝

a.

在Rt△ABD中，AD＝

a，

在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，

所以∠ADS＝90°，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.

法二：

（利用判定定理）

因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，

所以SA＝AB＝AC，

所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．

因为△SBC为直角三角形，

所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，

所以AD⊥平面SBC.

又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.

证明面面垂直常用的方法：

（1）定义法：

即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；

（2）判定定理法：

在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；

（3）性质法：

两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．

2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：

平面BDE⊥平面ABCD.

[证明]　连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.

因为O为AC中点，E为PA的中点，

所以EO是△PAC的中位线，

所以EO∥PC.

因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.

又因为EO⊂平面BDE，

所以平面BDE⊥平面ABCD.

线线、线面垂直的综合

[探究问题]

1．如图所示，如何作出二面角PABQ的平面角？

[提示]　过点P作平面ABQ的垂线，垂足为H.过H作HO⊥棱AB于点O，连OP，则∠POH即为二面角PABQ的平面角．

2．线面、面面垂直关系是如何转化的？

[提示]　欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，再转化为证明线线垂直即可．

【例3】　如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．

（1）求证：

A1E⊥BD；

（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：

平面A1BD⊥平面EBD．

思路探究：

（1）欲证A1E⊥BD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；

（2）要证平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面．

[证明]　连接AC，设AC∩DB＝O，

连接A1O，OE，

（1）因为AA1⊥底面ABCD，

所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，

所以BD⊥平面ACEA1，

因为A1E⊂平面ACEA1，所以A1E⊥BD.

（2）在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，

因为BD⊥平面ACEA1，OE⊂平面ACEA1，

所以BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1BDE的平面角．

在正方体ABCDA1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EO＝

a，A1O＝

a，A1E＝3a，满足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.

　本例中，条件不变，试求二面角EBDC的正切值．

[解]　连接AC交BD于O，连接OE（图略）．

由例题中

（2）知，BD⊥OE，BD⊥OC.

∴∠EOC为二面角EBDC的平面角．

设正方体棱长为a，则CE＝

，OC＝

a.

在Rt△OCE中，tan∠EOC＝

＝

＝

.

所以二面角EBDC的正切值为

.

线面、面面垂直的综合问题的解题策略：

（1）重视转化

涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直.

（2）充分挖掘线面垂直关系

解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．

1．求二面角大小的步骤

简称为“一作、二证、三求”．

2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路

（1）本质：

通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．

（2）证题思路：

处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．

1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是（　　）

A．平行B．可能重合

C．相交且垂直D．相交不垂直

C　[由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]

2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（　　）

A．互为余角B．相等

C．其和为周角D．互为补角

D　[画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.]

3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角等于________．

45°　[根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面

角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角ABCA1的平面角.又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.]

4．如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

证明：

平面AB1C⊥平面A1BC1.

[证明]　因为BCC1B1是菱形，

所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，

所以B1C⊥平面A1BC1，

又B1C⊂平面AB1C，

所以平面AB1C⊥平面A1BC1.

线面垂直性质定理的应用

【例1】　如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.

求证：

MN∥AD1.

[证明]　因为四边形ADD1A1为正方形，

所以AD1⊥A1D.

又因为CD⊥平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1.

因为A1D∩CD＝D，

所以AD1⊥平面A1DC.

又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.

证明线线平行常用如下方法：

（1）利用线线平行定义：

证共面且无公共点；

（2）利用三线平行公理：

证两线同时平行于第三条直线；

（3）利用线面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证线面平行；

（4）利用线面垂直的性质定理：

把证线线平行转化为证线面垂直；

（5）利用面面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证面面平行．

1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：

a∥l.

[证明]　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.

同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.

因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，

又a⊥AB，EB∩AB＝B，

所以a⊥平面EAB.

由线面垂直的性质定理，得a∥l.

面面垂直性质定理的应用

【例2】　如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：

BC⊥AB.

[证明]　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，

∴AD⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.

又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.

1．证明或判定线面垂直的常用方法：

（1）线面垂直的判定定理；

（2）面面垂直的性质定理；

（3）若a∥b，a⊥α，则b⊥α（a、b为直线，α为平面）；

（4）若a⊥α，α∥β，则a⊥β（a为直线，α，β为平面）；

2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线．

2．如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.

求证：

平面VBC⊥平面VAC.

[证明]　∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB，面VAB∩面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD.

∴BC⊥面VAB，

又VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，

又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，

又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，

∵VA⊂面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.

线线、线面、面面垂直的综合应用

[探究问题]

试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．

[提示]　垂直问题转化关系如下所示：

【例3】　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：

（1）DE＝DA；

（2）平面BDM⊥平面ECA；

（3）平面DEA⊥平面ECA.

思路探究：

（1）设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE，即证DM为AE的中垂线即可．

（2）（3）只需证明DM⊥平面ECA即可．

[证明]　

（1）设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，

则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，

所以BC⊥CF，DF⊥EC，

所以DE＝

＝

a.

又因为DB⊥平面ABC，

所以DA＝

＝

a，

所以DE＝DA.

（2）取CA的中点N，连接MN，BN，则MN

CE

DB.

所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.

又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.

又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.

所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.

（3）由

（2）知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，

所以平面DEA⊥平面ECA.

　本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．

[解]　如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，

在△CEN中，由

＝

知B为CN中点，

∴CB＝BN＝2a.

∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，

∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA.

又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，

∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，

且AN为平面ADE与平面ABC的交线．

∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，

在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°.

所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.

垂直关系的互化及解题策略：

空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．

1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．

2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：

1．直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是（　　）

A．a⊥αB．a∥α

C．a⊂αD．a⊂α或a∥α

D　[a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α.选D.]

2．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.

其中正确的两个命题是（　　）

A．①②B．③④

C．②④D．①③

D　[∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．]

3．如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（　　）

A．PD⊂平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

B　[∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.]

4．如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：

平面SCD⊥平面SBC.

[证明]　因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.

又平面SDC⊥平面ABCD，

平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面SCD.

又因为BC⊂平面SBC.

所以平面SCD⊥平面SBC.