最新人教版高中数学必修2第二章《平面与平面垂直的判定》教案2.docx

最新人教版高中数学必修2第二章《平面与平面垂直的判定》教案2.docx

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最新人教版高中数学必修2第二章《平面与平面垂直的判定》教案2

《平面与平面垂直的判定》教案

教学目标：

1．理解二面角的概念，会画二面角，能够求出两个平面夹角大小；掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理，能运用概念和定理进行有关计算与证明．

2．通过二面角的概念的探索过程，渗透类比迁移的思想；通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，提高学生抽象概括能力；

3．通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会教学存在于现实生活中，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．

教学重点难点：

1．重点：

二面角的画法和求法；两个平面垂直的判定定理及应用；

2．难点：

二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括．

教法与学法：

1．教法选择：

启发诱导式——启动学生主动学习，启发引导学生实践思维过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力．

2．学法指导：

直观感知，操作确认数学定理，揭示概念的形成、发展和应用过程．

教学过程：

一、设置情境，激发探索

教学环节

教学过程

设计意图

师生活动

设

置

疑

问

突出主题

问题1：

直线与直线相交成一定的角，那么平面与平面相交是否也成一定角？

问题2：

在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出一些例子吗？

如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？

这就是我们今天要研究的内容．

从学生数学的知识和生活背景入手，增加学生对二面角感性认识，也使得学生认识到引入二面角的必要．

教师展示动态图片，学生观察，形成直观认识．

概

念

介绍

为解决

难

点

作铺垫

1．二面角的概念：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

二面角常用直立式和平卧式两种画法：

如图（教师和学生共同动手）．

直立式：

平卧式：

二面角的表示方法：

如图，棱为AB，面为

、

的二面角，记作二面角

-AB-

．有时为了方便也可在

、

内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q．

介绍概念，为平面与平面垂直的判定．

实验探索

辨析研讨

问题3：

我们常说“把门开得大些”，是指哪个角大些，我们应该怎样刻画二面角的大小？

（教师引导学生回忆定义两条异面直线所成角的做法，能否用“平面角”来度量“二面角”?

）

教师引导学生动手操作------翻开教科书成二面角形状，观察书页底部边沿所成的平面角随着翻动幅度的改变（二面角）而改变的情况．

引导学生进分析书页底部边沿所成的平面角的特点：

一是平面角的顶点在棱上；

二是平面角的两边分别在二面角的两个平面内；

三是两边分别垂直于棱．

问题4:

对于确定的二面角而言，满足上述特点的平面角有多少个?

请在二面角模型上任意作两个平面角，平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系?

答案：

平面角与顶点在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关．

问题5:

根据平面角的特点与作法，你能归纳出二面角的平面角的概念吗?

二面角平面角的定义：

在二面角

―l―

的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．

（1）图形语言

教师引导学生观察：

教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角及其度数．

问题6：

类比线线垂直的定义，如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下一个定义？

两个平面相互垂直的定义：

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直．

（2）画法及记法

（3）平面

和

垂直，记作

⊥

问题7：

在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若紧贴墙面的铅锤的线，如垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直．

教师强调：

紧贴墙面的线？

这句话的实质意义是什么？

（学生讨论，期望回答：

即此线在墙所在平面）

此实际问题如何抽象为数学问题呢？

（学生交流讨论，引导学生归纳：

若平面过另一平面的垂线，则平面垂直）

引导学生，画出图形．

问题8:

（动手-思考）

如何用判定定理证明长方体的侧面与底面垂直关系？

引导学生回答定义的实质及二面角的做法，进一步让学生合作交流“过已知平面的垂线再作一个面与已知面是否垂直”．

两个平面垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

引导学生思考判定面面垂直的本质和关键是什么？

思考：

演示开门、关门的过程：

门与地面始终垂直吗？

为什么呢？

引导学生利用平面与平面的判定定理解得此题．

通过直观感知，探求二面角的平面角，使学生更深刻领会到知识源于生活．

让学生经历从直观到抽象，从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深化．

归纳二面角的平面角的定义，为后续学习两个平面垂直做铺垫．

通过实际生活的例子来概括两个平面垂直的条件，提高了学生的抽象概括能力和知识的迁移能力．

进一步探究如何去判断两个平面垂直，从而促进了学生的知识的形成，思想方法的形成．

深化对平面与平面垂直的判定定理的理解．

（用多媒体展示线线垂直的定义）引导学生归纳面面垂直的定义．

二、方法总结，变式演练

教学环节

教学过程

设计意图

师生活动

方法总结

两个平面互相垂直的判定方法有哪些？

（1）定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角.

（2）判定定理，即一个平面经过另一平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

（3）两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．

确定二面角的平面角的方法有以下几种：

方法一：

定义法.

方法二：

垂面法：

过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．

方法三：

垂线法：

过二面角的一个面内一点作另一平面的垂，在平面内过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可以找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用语求二面角的所有题目．

变式演练

提高能力

例1如图7，⊙O在平面

内，AB是⊙O的直径，PA⊥

，C为圆周上不同于A、B的任意一点．

图7

求证：

平面PAC⊥平面PBC．

分析：

欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线．

注意板书证明过程规范、完整，同时引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯．

证明：

设⊙O所在平面为

，由已知条件，PA⊥

，BC

，∴PA⊥BC．

∵C为圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，

∴BC⊥AC．

又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，

∴BC⊥平面PAC．

∵BC

平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．

例2已知二面角

-AB-

等于45°，CD

，D∈AB，∠CDB=45°．

求CD与平面-

所成的角．

分析：

二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：

在一个半平面

内找一点C，作另一个半平面

的垂线，垂足为O，然后通过垂足O作棱AB的垂线，垂足为E，连接AE，则∠CEO为二面角

-AB-

的平面角．这一过程要求学生熟记．

解：

如图10，作CO⊥

交

于点O，连接DO，则∠CDO为DC与

所成的角．

图10

过点O作OE⊥AB于E，连接CE，则CE⊥AB．

∴∠CEO为二面角

—AB—β的平面角，

即∠CEO=45°．

设CD=a，则CE=

，∵CO⊥OE，OC=OE，

∴CO=

．∵CO⊥DO，∴sin∠CDO=

．

∴∠CDO=30°，即DC与

成30°角．

巩固平面与平面垂直的判定定理，加深理解，进一步提高学生利用理论解决实际问题的能力．

例2是二面角的综合应用．

三、实际应用，课堂交流

教学环节

教学过程

设计意图

师生活动

实际应用

如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10m时人升高了多少？

（精确到0．1m）

图9

解：

取CD上一点E，设CE=10m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．

在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连接FG，

则FG⊥AB，即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角，

∠EFG=60°，由此得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×

≈4．3（m）．

答：

沿直道行走到10m时人升高约4．3m．

理论知识的学习的目的就是为了解决实际应用问题，这也是学数学的终极目的，为了培养这种能力，就需要学生不断练习，进而培养学生所需的思想方法和能力．

教师引导分析，学生完成练习．

四、归纳小结，课堂延展

教学环节

教学过程

设计意图

师生活动

归纳

小结

（1）二面角以及平面角的有关概念；

（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？

巩

固

创

新

课

堂

延

展

巩固作业:

课本对应习题

提升练习：

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．

（1）求证：

EN∥平面PCD；

（2）求证：

平面PBC⊥平面ADMN；

（3）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值．

延展作业:

证明：

两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．

教学设计说明

1．教材地位分析：

本节课在前面已经学习了直线与平面垂直的基础上，介绍了面面垂直的定义及判定定理，是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础．所以，本节课的内容及思想方法，在整个立体几何里，具有非常重要的作用．

2．学生现实状况分析：

学生已掌握了空间线面、面面的平行和线面的垂直关系等一些知识和方法，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系也已比较了解．但是对于如何找二面角是学生的难点．

3．通过例题让学生尝试运用定理，引导学生分析问题思路，探究解决问题的策略与途径，归纳解题方法，从而巩固所学知识，提升学生分析、解决问题的能力．同时通过范例书写，规范学生答题格式，提高学生解题的正确率．

4．教师要改变教学观念，以生为本，以学定教．在师生双边活动中，教师不是作为一个权威来告诉学生结果是什么，而是尊重学生的主体地位，使学生学会学习，获得知识，掌握方法．不仅要为当前的学习，而且要为今后的终身学习和终身发展奠定良好的基础，这正是新课程标准的基本理念，也是素质教育的要求．