汽车转向轮摆振的定量研究精.docx
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汽车转向轮摆振的定量研究精
1788
SAE鄄C2009C218
2009中国汽车工程学会年会论文集摇
汽车转向轮摆振的定量研究
张紫广摇刘献栋
北京航空航天大学交通科学与工程学院
摇摇揖摘要铱摇将增量谐波平衡法推广应用于汽车转向轮摆振问题,采用振幅作为控制参数应用谐波平衡过程,求得方程解
的表达式,并由此分析系统的分岔现象和极限环振动现象,用龙格鄄库塔法进行数值计算验证,结果表明:
推广后的增量谐波平衡法在汽车转向轮摆振分析中合理可靠,且具有足够的精度。
最后对极限环的稳定性进行了分析。
摇摇揖关键词铱摇摆振摇Hopf分岔摇增量谐波平衡法摇极限环
QuantitativeStudyonAutomotiveSteeringWheelsShimmy
ZhangZiguang,LiuXiandong
Schooloftransportationscience&engineering,BeihangUniversity
摇摇Abstract:
Theincrementalharmonicbalancemethodisextendedtoanalyzeautomotivesteeringwheelsshimmy.Theexpressionofmethod.Theresultsindicatethattheextendedincrementalharmonicmethodiseffectiveandaccurateintheanalysisofsteeringwheels摇摇Keywords:
shimmy摇hopfbifurcation摇incrementalharmonicbalancemethod摇limitcycle
振幅作为控制参数,反过来求振动频率和其他振幅。
这样可
shimmy.Finally,thestabilityoflimitcycleisanalyzed郾
itcyclephenomenaareeasilyanalyzed.TheresultsthatobtainedbytheproposedprocedureisverifiednumericallyusingRunge鄄Kuttasolutionscanbeobtainedusingacertainamplitudeascontrolparameterintheharmonicbalanceprocedure,thenthebifurcationandlim鄄
引摇摇言
摇摇转向轮摆振是指汽车行驶时所产生的车轮绕主销的持续振动现象,是汽车工程领域典型的非线性动力学现象。
1931年以来,人们对汽车转向轮摆振问题进行了较深入的研究。
但是,以往的研究多采用数值分析方法计算系统的响应,依此分析汽车转向轮摆振系统中存在的分岔、混沌现象;或采用中心流形理论和Hopf分岔范式理论对转向轮摆振的分岔特性进行研究。
然而,数值分析方法得不到解的表达式,不易于分析参数变化对系统振动特性的影响,而中心流形方法和Hopf分岔范式理论又复杂不易操作。
摇摇本文将增量谐波平衡法（简称IHB法）推广应用于汽车Lau和Cheun鄄g提出了增量谐波平衡法,该方法把数值计算中的增量法和谐波平衡法结合在一起,在强非线性研究方面得到了很好的应用。
IHB法通常用频率作为增量,这种频率增量法需要有确定的外激励频率,然而自激型摆振方程是自治方程,频率增量法不再适用。
针对这一情况,本文用某一
以导出摆振方程解的表达式,然后根据谐波平衡项的系数分析系统的分岔和极限环现象,并用数值方法进行了验证,分析了极限环的稳定性。
用IHB法分析汽车转向轮摆振问题,既拓宽了IHB法的应用范围,又为汽车转向轮摆振分析提供了一条新途径。
1摇汽车转向轮摆振系统力学模型
中包含了前桥绕其纵轴线的侧摆运动鬃（逆时针方向为正）和模型的动力学平衡方程如式
（1）所示。
摇摇某国产非独立悬架汽车转向轮摆振模型图1所示。
模型
左右车轮绕主销的摆动兹2,兹1（逆时针方向为正）3自由度。
转向轮自激型摆振问题。
对于强非线性振动的分析方法,
Lvìkl（酌-f）+k4R2酌鬃+F1（R酌+茁）=0鬃忆+ïI1兹义1+（c1+c4）兹忆1+k1兹1-c1兹忆2-k1兹2-I2
25R
ïïLv
k5l（酌-f）+k4R2酌鬃+F2（R酌+茁）=0鬃忆+2+（c1+c2+c4）兹忆2+（k1+k2）兹2-c1兹忆1-k1兹1-I2íI1兹义2R
ï2
ïI鬃义+c鬃忆+k+Lk+2kR2鬃+Iv兹忆+Iv兹忆+FR+FR=0ï334322
25R12R21î
式中,右（左）前轮的动态侧偏力为:
Fi=a1琢i+a3琢3vvai（i=1,2）,ì琢忆1+琢1+兹1-兹忆1=0ïï滓滓滓a1=-64014郾7N,a3=9489805郾5N。
í
ï琢忆2+v琢2+v兹2-a兹忆2=0摇摇侧偏角与摆振角之间的关系如下:
滓滓滓î
图1摇汽车转向轮摆振系统模型
[]
[]
（1）
[]
（2）
摇2009中国汽车工程学会年会论文集
SAE鄄C2009C218
表1摇某国产非独立悬架汽车参数
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参数说明
摇左（右）前轮绕主销的转动惯量I1摇车轮绕其旋转轴线的转动惯量I2摇前桥绕其纵轴线的侧摆惯量I3摇换算到主销的横拉杆刚度k1
参摇数摇值5郾88kg·m2
参数说明
摇车轮绕主销的当量阻尼c4摇轮距L
摇轮胎的滚动半径R
0郾4m
参摇数摇值44郾1N·m·s/rad1郾608m0郾015
4郾753kg·m2156郾8kg·m234郾79kN·m/rad16郾66kN·m/rad31郾36kN·m/rad78郾4kN·m/rad392kN·m/rad
摇换算到主销的直拉杆刚度k2摇悬架当量角刚度k3摇轮胎的垂直刚度k5摇轮胎的侧向刚度k4
摇换算到主销的横拉杆阻尼c1摇换算到主销的直拉杆阻尼c2摇悬架当量角阻尼c3
摇滚动阻尼系数f车轮对称面距离l
摇主销延长线与地面交点到摇轮胎印迹半长度a摇轮胎松弛长度滓摇主销后倾角酌摇轮胎拖距茁
0郾07m0郾07m0郾65m0郾65m0郾04rad0~50m/s
9郾8N·m·s/rad49N·m·s/rad1029N·m·s/rad
摇车辆行驶速度v
2摇IHB法
摇摇以上方程中各参数值见表1。
摇摇考虑到汽车转向轮摆振问题是典型的强非线性问题,采
摇摇
（1）和
（2）:
式中,X=[兹1
兹2
（1）
MX义+CX忆+（1+K2）X=0
用增量谐波平衡法进行定量研究。
鬃
I2véc+cék1-c1-00ù-k1ê14úêR
êúê
Iv2ê-cê-k1k1+k2c1+c2+c4-00úRê1úê
êI2vúêI2v
摇摇=ê0c300ú,K1=ê0
RRêúêv
aê-ú0ê滓0010滓êúê
vêúaê0ê0-001êú滓ë滓ëû
I10000ùéêú0I0001êú=ê00I300ú,
êúê00000úêë00000úû000a3（R酌+茁）琢20éù1êú20000a（R酌+茁）琢ê32ú
（1）úK2=ê000a3R琢2a3R琢212
êú
00ê000ú
êú00ûë000
L
k5l（酌-f）+k4R2酌2
L
k5l（酌-f）+k4R2酌2k3+
L2
k+2k4R225
00
琢1
琢2]T,
（3）
a1（R酌+茁）
0a1Rv滓0ùúú
a1（R酌+茁）ú
úúa1R
ú,ú0ú
úvúú滓û
（5）
（1）
式中,H=-（赘20MX义0+赘0CX忆0+K1X0+K2X0）是误差向量,当
H-[2赘00+CX忆0]驻赘
傅立叶级数,写成矩阵形式:
摇摇IHB法的第二步是谐波平衡过程。
把X0和驻X展开成
X0和赘0为准确解时,其值为零。
{
驻A
=
式中,A=[A1,A2,A3,A4,A5]T,
驻X=S驻A
X0=SA
（6）摇
摇摇IHB法的第一步是Newton鄄Raphson的增量过程。
令X0为增量形式:
X=X0+驻X,赘=赘0+驻赘驻兹2
鬃0
驻鬃琢10
驻琢1
琢20]T,
驻琢2]。
T
和赘0表示振动过程中的某一状态,则其邻近的状态可表示式中,X0=[兹10
兹20
（4）
摇
开并略去其高阶小量可得:
摇摇令子=赘t（赘为响应的频率）,将式（4）代入式（3）,展
（1）
赘20M驻X义+赘0C驻X忆+（K1+3K2）驻X=
驻X=[驻兹1
摇摇Cs=[cos子驻Aj=[驻aj1
Aj=[aj1
…
Cs0000ùé
êú0C000sêúS=ê00Cs00ú,
êúê000Cs0úê0000Cú
sûë
……
ajNcosN子
bj1
sin子…
…
[驻A1,驻A2,驻A3,驻A4,驻A5]T;
驻ajN驻bj1…驻bjN]T,j=1,2,…,5。
bjN]T,
sinN子],
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2009中国汽车工程学会年会论文集摇
到以增量驻A和驻赘为未知量的线性方程组:
Kmc驻A=H-Rmc驻赘
摇摇将式（6）代入增量方程（5）,并应用Galerkin过程,得
（7）
2
式中,Kmc=赘20M+赘0C+K1,H=（赘0M+赘0C+K2）A,Rmc=（2赘0M+C）A;
摇M=
摇K1=
乙
2仔0
STMS义d子,C=
摇摇方程组（7）的未知量数目比方程数目多一个,求解
乙
2仔0
（1）
ST（1+3K2）Sd子,K2=
乙
2仔0
STd子,
乙
2仔0
（1）
ST（1+K2）Sd子。
图2摇右前轮摆角兹1—v分岔图
时必须选定一个未知量为控制参数。
由于研究汽车转向轮自激型摆振,摆振频率赘必须求出,这时可取某一谐波的振幅作为控制参数,从而求得频率赘和其他振幅。
也就是说,用计算机求解方程组（7）,除了给定初值A0和赘0,还要给定某一振幅ak,再通过不断迭代使误差残量H小到满足精度要求,求得方程组（7）的其他未知数。
3摇极限环计算及分岔特性分析
摇摇应用上述IHB法对图1的汽车转向轮摆振系统进行了大量的计算,同时采用变步长四阶龙格鄄库塔法（RK法）进行了验证。
图2是右前轮摆角兹1—v分岔图,图3是v=55km/h时
图3摇v=55km/h时右前轮摆振的极限环
4摇极限环稳定性分析
论来研究。
把式（3）在周期解附近Taylor展开,得到扰动后的线性化方程:
8
式中,Z=（驻兹1,驻兹2,驻鬃,驻兹忆1,驻兹忆2,驻鬃忆,驻琢1,驻琢2）,Z沂R;
T
右前轮摆振的极限环。
由图2可以一目了然地得到转向轮摆振时右前轮摆角兹1的振幅随车速v的变化规律,同时可以此,推广后的IHB法能有效地求解汽车转向轮摆振这类自激振动系统。
由于IHB法是半数值半解析方法,能得到解的表达式,各参数的物理意义和大小都非常明晰,这是RK法无法比拟的
。
清楚地看出IHB法和RK法两者得出的结果几乎相同。
因
摇摇周期解确定以后,其稳定性可采用多变量的Floquet理
Z忆=Q（子）Z
（8）
IQ（子）=éê
ëB
OùDúû
ú。
Q表示3伊5零矩阵,I为3伊3单位矩阵。
c1c+céê-14
赘I1
ê赘I1êc1c1+c2+c4
-êI赘I11ê
L2êk+k5+2k4R2D=êIv3
22
ê-I3R-赘2I3
êêa0
滓ê
aê0
ê滓ë
é
êk1ê-2I
1
êêêk1ê2I1B=êêc1êI1êvê-赘滓êê0ë
k1赘2I1-k1+k2赘2I1
L
kl（酌-f）+k4R2酌ùú25
-ú赘2I1L
kl（酌-f）+k4R2酌ú25ú-2
ú赘I1
000
ú
I2v
-I3Rv赘滓0
-
I2vI1RI2vI1Rc3-I300
a1+3a3琢21）（R酌+茁）-2赘I1
0a1+3a3琢21）R-2赘I1
-v滓0
úúúúúúúû
ùúú
2
a1+3a3琢2）（R酌+茁）ú-ú赘2I1
úú
a1+3a3琢2）Rú2-2ú赘I1
úú0
ú
vú-ú滓û
摇2009中国汽车工程学会年会论文集
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摇摇参考文献[11]中的方法,将每一个周期T等分成N份,1
（子）以常系数矩阵Qk代替:
Qk=
驻k
P=
N
K
第k份驻k=子k-子k-1,在第k份时间间隔中,周期系数矩阵Q
式中,K为指数矩阵展开的矩阵多项式的项数,I为8伊8单位矩阵。
摇摇如果转移矩阵P的特征值的模均小于1,即P的所有特
摇摇因此,转移矩阵P可表示为:
i=1
j=1
乙
i
子
k
子k-1
Q（孜）d孜。
j
征值都在单位圆以内,则系统的运动是有界的,因而周期解是稳定的;否则,周期解不稳定。
由图4可以看出,转移矩阵P特征值的模均小于1。
因此,得出结论:
由IHB法得到的系统周期解是稳定的,根据Poincare鄄Bendixon定理,平衡点一旦失稳就会出现稳定的极限环。
因此,只需使极限环幅值尽可能小,即可控制摆振。
鄯[I+鄱（驻j!
Q）]
i
5摇结论
摆振问题,分析极限环、分岔等非线性现象,与数值方法所得结果一致,有较高的精度。
由于增量谐波平衡法是一种半数值半解析方法,结果有直观的表达式,这既明晰了参数的物理意义,也易于分析参数变化对系统振动特性的影响,这摇摇
（2）对极限环的稳定性进行了分析,发现极限环是摆振。
是数值方法无法比拟的。
摇摇
（1）推广的增量谐波平衡法可有效地求解汽车转向轮
稳定性的,只需使极限环幅值尽可能小,即可控制
图4摇转移矩阵P特征值变化情况
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